Psichologijos tyrimų metodai ir statistika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 16 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Aprašomoji statistika

Vidurkis: x̄ = Σx/n
Imties standartinis nuokrypis: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
z įvertis: z = (x − μ)/σ
Normalusis skirstinys: 68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ

Tikimybė

Priešingas įvykis: P(not A) = 1 − P(A)
Sudėties taisyklė: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Nepriklausomi įvykiai: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Sąlyginė tikimybė: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binominis skirstinys: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normalusis skirstinys

z įvertis: z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x: P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Procentilis: x = μ + z·σ

Metodas

Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

Pasikliautinieji intervalai

σ žinomas: x̄ ± z·σ/√n
σ nežinomas: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritinė z reikšmė: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Imties dydis: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodas

Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
Intervalas: x̄ ± E.

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

z testas vidurkiui: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t testas vidurkiui: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo: atmeskite H₀, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas: x̄ ± z·σ/√n

Metodas

Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.

Tiesinė regresija ir koreliacija

Kvadratų sumos: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Krypties koeficientas: b = S_xy/S_xx
Laisvasis narys: a = ȳ − b·x̄
Koreliacija: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Liekana: e = y − ŷ

Chi kvadrato testai

Testo statistika: χ² = Σ(O − E)²/E
Suderinamumo kriterijus: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Nepriklausomumas: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Kritinės reikšmės (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Sprendimas: atmeskite H₀, jei χ² > χ²_crit

2Uždaviniai

1.Psichologijos tyrimų metodaiVidutinis

Vidinis validumas reiškia:

AAr testas laikui bėgant duoda tuos pačius rezultatus
BAr stebėtą poveikį iš tikrųjų sukėlė NK, o ne kiti veiksniai
CAr rezultatai tinka už tyrimo ribų kitoms populiacijoms, aplinkoms ir laikotarpiams
DAr dalyviams tyrimas buvo įdomus

2.Psichologijos tyrimų metodaiSunkus

Poveikio dydžio matai, pvz., Koheno d, pateikiami todėl, kad jie:

ANurodo, kiek dalyvių pasitraukė
BParodo, koks didelis yra poveikis, nepriklausomai nuo imties dydžio
CPanaikina bet kokios hipotezės poreikį
DParodo, ar rezultatas statistiškai reikšmingas pasirinktu alfa lygmeniu

3.Aprašomoji statistikaVidutinis

Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 58, 41, 52, 30, 47, 33.

n = 6

s =

4.Aprašomoji statistikaSunkus

Egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 60, standartinis nuokrypis 15. Raskite rezultato 30 z įvertį z.

μ = 60σ = 15x = 30

z =

5.TikimybėVidutinis

Simetriškas kauliukas metamas 3 kartus. Kokia tikimybė P gauti bent vieną šešetą?

n = 3

P =

6.TikimybėSunkus

X turi parodytą skirstinį, o Y = 2X + 20. Raskite Y standartinį nuokrypį σ_Y.

x: 0, 1, 2p(x): 0,3, 0,35, 0,35Y = 2X + 20

σ_Y =

7.Normalusis skirstinysVidutinis

keleiviai su bagažu masės yra nepriklausomos ir normaliosios, jų vidurkis 85 kg, standartinis nuokrypis 12 kg. Raskite tikimybę P, kad 8 iš jų bendra masė viršija 747,9 kg. Suapvalinkite z iki dviejų skaitmenų po kablelio.

μ = 85 kgσ = 12 kgn = 8> 747,9 kg

P =

8.Normalusis skirstinysSunkus

Tarkime, kad maišų masės pasiskirstę normaliai, vidurkis 250 g, standartinis nuokrypis 5 g. Raskite reikšmę x, už kurią mažesnės yra 20 % reikšmių (20-asis procentilis).

μ = 250σ = 5P = 20%

x = g

9.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis

11 elementų imties vidurkis – 113, standartinis nuokrypis s = 19. Populiacija pasiskirsčiusi apytiksliai normaliai. Raskite vidurkio 99 % pasikliautinojo intervalo apatinį rėžį.

n = 11x̄ = 113s = 1999%t(10) = 3,169

apatinis rėžis =

10.Pasikliautinieji intervalaiSunkus

Populiacijos standartinis nuokrypis – 36. Kokio dydžio imties n reikia, kad vidurkio 90 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 2,5?

σ = 36E = 2,590%

n =

11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis

Lyginami du mokymo metodai. 1 grupė: 9 studentų, vidutinis rezultatas 44, standartinis nuokrypis 12. 2 grupė: 8 studentų, vidutinis rezultatas 36,1, standartinis nuokrypis 11. Laikykite, kad populiacijų dispersijos lygios, ir taikykite jungtinės dispersijos dviejų imčių t testą. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ₁ = μ₂, skirtumą imdami kaip x̄₁ − x̄₂ (1 grupė atėmus 2 grupę).

n₁ = 9x̄₁ = 44s₁ = 12n₂ = 8x̄₂ = 36,1s₂ = 11

t =

12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus

Klinikiniame tyrime pasveiksta 23 iš 150 pacientų, gydytų A būdu, ir 60 iš 200 pacientų, gydytų B būdu. Naudodami jungtinę dalį, raskite testo statistiką z hipotezei H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 23n₁ = 150x₂ = 60n₂ = 200

z =

13.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis

Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = temperatūra °C ir y = parduoti ledai. Raskite mažiausiųjų kvadratų tiesės determinacijos koeficientą r².

n = 5

r² =

14.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus

Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = reklamos išlaidos k€ ir y = pardavimai k€. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Prognozuokite ŷ, kai x = 5,5.

n = 5x = 5,5

ŷ =

15.Chi kvadrato testaiVidutinis

Kryžminėje lentelėje pateikti stebėti dažniai. Apskaičiuokite eilučių ir stulpelių kintamųjų nepriklausomumo testo chi kvadrato statistiką χ². Tolydumo pataisos nenaudokite.

N = 2202 × 2

χ² =

16.Chi kvadrato testaiSunkus

Chi kvadrato suderinamumo testas tikrina, ar dažniai 4 kategorijose atitinka Puasono skirstinį, kurio vidurkis įvertintas iš tų pačių duomenų. Kiek laisvės laipsnių df turi testas?

k = 4

df =

3Tirpalai

1.Psichologijos tyrimų metodai

Atsakymas: B · Ar stebėtą poveikį iš tikrųjų sukėlė NK, o ne kiti veiksniai

Kodėl tai yra atsakymas

Didelis vidinis validumas reiškia, kad alternatyvūs paaiškinimai, pvz., painiojantys veiksniai, užduoties reikalavimų požymiai ar eksperimentatoriaus šališkumas, atmesti. Išorinis validumas susijęs su apibendrinimu.

Atsakymas

B · Ar stebėtą poveikį iš tikrųjų sukėlė NK, o ne kiti veiksniai

2.Psichologijos tyrimų metodai

Atsakymas: B · Parodo, koks didelis yra poveikis, nepriklausomai nuo imties dydžio

Kodėl tai yra atsakymas

Didelėse imtyse net menki poveikiai gali būti reikšmingi. Poveikio dydis išreiškia skirtumo mastą, pvz., d = 0,2 mažas, 0,5 vidutinis, 0,8 didelis.

Atsakymas

B · Parodo, koks didelis yra poveikis, nepriklausomai nuo imties dydžio

3.Aprašomoji statistika

Atsakymas: s = 10,89

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Vidurkis

x̄ = 261/6 = 43,5

Nuokrypių kvadratai

Σ(x − x̄)² = 14,5² + (−2,5)² + 8,5² + (−13,5)² + 3,5² + (−10,5)² = 593,5

Standartinis nuokrypis

s = √(593,5/5) = 10,89

Atsakymas

s = 10,89

4.Aprašomoji statistika

Atsakymas: z = −2

Standartizuokite

z = (30 − 60)/15 = −2

Atsakymas

z = −2

5.Tikimybė

Atsakymas: P = 0,4213

Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Priešingas įvykis

P(nėra šešeto) = (5/6)³ = 0,5787

P = 1 − 0,5787 = 0,4213

Atsakymas

P = 0,4213

6.Tikimybė

Atsakymas: σ_Y = 1,609

Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σ_Y = |a|·σ_X; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.

X sklaida

μ = 1,05, Var(X) = 0,6475, σ_X = 0,8047

Tiesinis pokytis

σ_Y = |2|·0,8047 = 1,609

Atsakymas

σ_Y = 1,609

Vidurkis pasislenka: E(Y) = 2·1,05 + 20 = 22,1.

7.Normalusis skirstinys

Atsakymas: P = 0,02275

Normaliųjų dydžių sumos ir skirtumai: jei X ir Y yra nepriklausomi ir normalieji, tai X + Y ir X − Y taip pat normalieji. Vidurkiai sudedami arba atimami: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Dispersijos visada sudedamos, net ir skirtumui: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², todėl σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standartiniai nuokrypiai tiesiogiai niekada nesudedami. n nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių elementų sumos vidurkis yra n·μ, o standartinis nuokrypis σ·√n. Tada standartizuokite kaip įprasta: z = (x − vidurkis)/σ ir raskite Φ(z).

Sumos skirstinys

μ_T = 680 kg, σ_T = 12·√8 = 33,94 kg

Standartizuokite

z = (747,9 − 680)/33,94 = 2

Tikimybė

P = 1 − Φ(2) = 0,02275

Atsakymas

P = 0,02275

8.Normalusis skirstinys

Atsakymas: x = 245,8 g

Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.

Procentilio z

Φ(z) = 0,2 → z = −0,8416

Atgal į x

x = 250 + −0,8416·5 = 245,79 g

Atsakymas

x = 245,79 g

9.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: apatinis rėžis = 94,85

Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.

Kritinė reikšmė

df = n − 1 = 10, t = 3,169

Paklaidos riba

E = 3,169·19/√11 = 18,15

Intervalas

113 ± 18,15 → [94,85, 131,2]

Atsakymas

apatinis rėžis = 94,85

10.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: n = 562

Išreikškite n

n = (1,645·36/2,5)² = 561,1

Apvalinkite aukštyn

Imties dydis yra sveikasis skaičius, o apvalinant žemyn paklaidos riba būtų per didelė.

n = 562

Atsakymas

n = 562

11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: t = 1,408

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Jungtinė dispersija

s_p² = (8·12² + 7·11²)/15 = 133,3

s_p = 11,54

Standartinė paklaida

SE = 11,54·√(1/9 + 1/8) = 5,609

Testo statistika

t = (44 − 36,1)/5,609 = 1,408

Atsakymas

t = 1,408

Kai df = 15, dvipusio 5 % testo kritinė reikšmė yra 2,131; |t| mažesnis, todėl H₀ neatmetama.

12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: z = −3,193

Imčių dalys

p̂₁ = 23/150 = 0,1533

p̂₂ = 60/200 = 0,3

p̂ = 83/350 = 0,2371

Standartinė paklaida pagal H₀

SE = √(0,2371·0,7629·(1/150 + 1/200)) = 0,04594

Testo statistika

z = (0,1533 − 0,3)/0,04594 = −3,193

Atsakymas

z = −3,193

|z| > 1,96, todėl H₀ atmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).

13.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: r² = 0,9066

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Vidurkiai

x̄ = 115/5 = 23

ȳ = 397/5 = 79,4

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 303

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1125

Determinacijos koeficientas

r² = 303²/(90·1125) = 0,9066

Atsakymas

r² = 0,9066

Apie 90,66% y kitimo paaiškinama tiese.

14.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: ŷ = 46,15

Vidurkiai

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 225/5 = 45

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 23

Regresijos tiesė

b = 23/10 = 2,3

a = 45 − 2,3·5 = 33,5

ŷ = 33,5 + 2,3·x

Prognozė

ŷ = 33,5 + 2,3·5,5 = 46,15

Atsakymas

ŷ = 46,15

15.Chi kvadrato testai

Atsakymas: χ² = 0,6667

Chi kvadrato testai: stebėtus dažnius O palyginkite su pagal H₀ tikėtinais dažniais E naudodami χ² = Σ(O − E)²/E. Suderinamumo kriterijus: kiekvienai kategorijai E = n·p, df = k − 1 (ir dar minus vienas už kiekvieną iš duomenų įvertintą parametrą). Nepriklausomumas r × c lentelėje: E = eilutės suma × stulpelio suma / bendra suma, df = (r − 1)(c − 1). H₀ atmeskite, kai χ² viršija pasirinktą α atitinkančią kritinę reikšmę.

Tikėtini dažniai

rūkantieji: 100·99/220 = 45, 100·121/220 = 55

nerūkantieji: 120·99/220 = 54, 120·121/220 = 66

Chi kvadrato statistika

χ² = (48 − 45)²/45 + (52 − 55)²/55 + (51 − 54)²/54 + (69 − 66)²/66

χ² = 0,6667

Atsakymas

χ² = 0,6667

df = 1. Kai α = 0,05, kritinė reikšmė yra 3,841, todėl H₀ (nepriklausomumas) neatmetama.

16.Chi kvadrato testai

Atsakymas: df = 2

Laisvės laipsniai

df = 4 − 1 − 1 = 2

Atsakymas

df = 2

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology