Aprašomoji statistika
- Vidurkis
- x̄ = Σx/n
- Imties standartinis nuokrypis
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Mediana
- vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
- z įvertis
- z = (x − μ)/σ
- Normalusis skirstinys
- 68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ
Psichologijos tyrimų metodai ir statistika: pasiruošimo paketas
Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 16 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.
1Formulės ir metodai
Tikimybė
- Priešingas įvykis
- P(not A) = 1 − P(A)
- Sudėties taisyklė
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Nepriklausomi įvykiai
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Sąlyginė tikimybė
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binominis skirstinys
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Normalusis skirstinys
- z įvertis
- z = (x − μ)/σ
- Mažiau nei x
- P(X < x) = Φ(z)
- Daugiau nei x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Tarp
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Procentilis
- x = μ + z·σ
Metodas
- Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
- Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
- Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
- Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.
Pasikliautinieji intervalai
- σ žinomas
- x̄ ± z·σ/√n
- σ nežinomas
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Kritinė z reikšmė
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Imties dydis
- n = (z·σ/E)², rounded up
Metodas
- Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
- Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
- Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
- Intervalas: x̄ ± E.
Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
- z testas vidurkiui
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- t testas vidurkiui
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo
- atmeskite H0, jei |z| > 1,96
- Pasikliautinasis intervalas
- x̄ ± z·σ/√n
Metodas
- Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
- Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
- Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
- H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.
Tiesinė regresija ir koreliacija
- Kvadratų sumos
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Krypties koeficientas
- b = Sxy/Sxx
- Laisvasis narys
- a = ȳ − b·x̄
- Koreliacija
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Liekana
- e = y − ŷ
Chi kvadrato testai
- Testo statistika
- χ² = Σ(O − E)²/E
- Suderinamumo kriterijus
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- Nepriklausomumas
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- Kritinės reikšmės (α = 0,05)
- df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
- Sprendimas
- atmeskite H0, jei χ² > χ²crit
2Uždaviniai
1.Psichologijos tyrimų metodaiVidutinis
Kuris planas kiekvienoje sąlygoje naudoja skirtingus dalyvius?
- ASuporuotų porų planas su tais pačiais žmonėmis
- BPakartotinių matavimų planas
- CVidinių tiriamųjų planas
- DNepriklausomų grupių planas
2.Psichologijos tyrimų metodaiSunkus
Tyrėjas matuoja triukšmo poveikį koncentracijai. Triukšmo sąlygos dalyviai atsitiktinai buvo tiriami ryte, o tylos sąlygos – po pietų. Kokia problema?
- AParos laikas yra painiojantysis kintamasis
- BDuomenys yra nominaliosios skalės
- CParos laikas yra priklausomasis kintamasis
- DTyrime per daug sąlygų
3.Aprašomoji statistikaVidutinis
Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 28, 15, 20, 54, 57.
n = 5
s =
4.Aprašomoji statistikaSunkus
Egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 100, standartinis nuokrypis 15. Raskite rezultato 82 z įvertį z.
μ = 100σ = 15x = 82
z =
5.TikimybėVidutinis
Maišelyje yra 3 raudoni ir 8 mėlyni rutuliai. Ištraukiate du rutulius, pirmojo negrąžindami. Kokia tikimybė P, kad abu raudoni?
3 / 8
P =
6.TikimybėSunkus
Žaidimo kaina yra €3. Laimite €9 su tikimybe 0,2 ir €150 su tikimybe 0,01; kitu atveju nelaimite nieko. Statymas negrąžinamas. Raskite laukiamą grynąjį laimėjimą E(G) per žaidimą.
statymas = €3€9: p = 0,2€150: p = 0,01
E(G) = €
7.Normalusis skirstinysVidutinis
Tarkime, kad baterijų veikimo trukmės pasiskirstę normaliai, vidurkis 500 h, standartinis nuokrypis 40 h. Kokia dalis reikšmių yra tarp 502 ir 532 h? P pateikite dešimtaine trupmena.
μ = 500σ = 40x1 = 502x2 = 532
P =
8.Normalusis skirstinysSunkus
Tarkime, kad IQ testų rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 100 tšk., standartinis nuokrypis 15 tšk.. Raskite reikšmę x, už kurią mažesnės yra 20 % reikšmių (20-asis procentilis).
μ = 100σ = 15P = 20%
x = tšk.
9.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis
7 elementų imties vidurkis – 111,5, standartinis nuokrypis s = 12,5. Populiacija pasiskirsčiusi apytiksliai normaliai. Raskite vidurkio 99 % pasikliautinojo intervalo viršutinį rėžį.
n = 7x̄ = 111,5s = 12,599%t(6) = 3,707
viršutinis rėžis =
10.Pasikliautinieji intervalaiSunkus
Populiacijos standartinis nuokrypis – 12. Kokio dydžio imties n reikia, kad vidurkio 99 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 0,5?
σ = 12E = 0,599%
n =
11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
Teigiama, kad populiacijos vidurkis lygus 100; žinoma, kad populiacijos standartinis nuokrypis yra 24. Atsitiktinės 36 stebėjimų imties vidurkis 90,32. Tikrinkite H₀: μ = 100 prieš H₁: μ < 100. Raskite p reikšmę p.
μ₀ = 100σ = 24n = 36x̄ = 90,32H₁: μ < μ₀
p =
12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
Vienpusis z testas, kai α = 0,01, turi aptikti 2,5 vienetų vidurkio poslinkį su 95 % galia. Standartinis nuokrypis 13. Raskite mažiausią imties dydį n.
α = 0,01galia = 95%δ = 2,5σ = 13zα = 2,326zβ = 1,645
n =
13.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis
Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = automobilio amžius metais ir y = kaina k€. Pateiktos jų sumos. Pagal šias sumas raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.
n = 5Σx = 15Σy = 107Σx² = 55Σy² = 2311Σxy = 308
r =
14.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus
Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = apkrova kN ir y = pailgėjimas mm. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Gautas naujas stebėjimas (7, 9). Raskite jo liekaną e = y − ŷ.
n = 6(7, 9)
e =
15.Chi kvadrato testaiVidutinis
Kryžminėje lentelėje pateikti stebėti dažniai. Apskaičiuokite eilučių ir stulpelių kintamųjų nepriklausomumo testo chi kvadrato statistiką χ². Tolydumo pataisos nenaudokite.
N = 1602 × 2
χ² =
16.Chi kvadrato testaiSunkus
Lentelėje pateikti stebėti dažniai. Esant α = 0,05 patikrinkite, ar abu kintamieji nepriklausomi (be tolydumo pataisos). Apskaičiuokite testo statistiką χ², tada palyginkite ją su kritine reikšme iš lentelės.
N = 2403 × 2α = 0,05
χ² =
3Tirpalai
1.Psichologijos tyrimų metodai
Atsakymas: D · Nepriklausomų grupių planas
Kodėl tai yra atsakymas
Nepriklausomų grupių plane kiekviena sąlyga turi skirtingus dalyvius; taip išvengiama eilės efektų, bet atsiranda dalyvių kintamųjų rizika.
Atsakymas
D · Nepriklausomų grupių planas
2.Psichologijos tyrimų metodai
Atsakymas: A · Paros laikas yra painiojantysis kintamasis
Kodėl tai yra atsakymas
Kadangi triukšmas ir tyrimo laikas kinta kartu, bet koks skirtumas gali kilti dėl bet kurio iš jų. Atsitiktinis tyrimo laiko paskirstymas arba pastovus laikas pašalintų painiojantįjį veiksnį.
Atsakymas
A · Paros laikas yra painiojantysis kintamasis
3.Aprašomoji statistika
Atsakymas: s = 19,49
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Vidurkis
x̄ = 174/5 = 34,8
Nuokrypių kvadratai
Σ(x − x̄)² = (−6,8)² + (−19,8)² + (−14,8)² + 19,2² + 22,2² = 1519
Standartinis nuokrypis
s = √(1519/4) = 19,49
Atsakymas
s = 19,49
4.Aprašomoji statistika
Atsakymas: z = −1,2
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Standartizuokite
z = (82 − 100)/15 = −1,2
Atsakymas
z = −1,2
5.Tikimybė
Atsakymas: P = 0,05455
Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Pirmas ir antras traukimas
P = 3/11 · 2/10 = 6/110 = 0,05455
Atsakymas
P = 0,05455
6.Tikimybė
Atsakymas: E(G) = 0,3 €
Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.
Grynosios baigtys
G: 6 (p = 0,2), 147 (p = 0,01), −3 (p = 0,79)
Laukiamoji vertė
E(G) = 6·0,2 + 147·0,01 − 3·0,79 = 0,3 €
Atsakymas
E(G) = 0,3 €
Teigiama vertė reiškia, kad vidutiniškai laimite pinigų.
7.Normalusis skirstinys
Atsakymas: P = 0,2682
Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.
z įverčiai
z₁ = (502 − 500)/40 = 0,05
z₂ = (532 − 500)/40 = 0,8
Plotas tarp
P = Φ(0,8) − Φ(0,05) = 0,7881 − 0,5199 = 0,2682
Atsakymas
P = 0,2682
8.Normalusis skirstinys
Atsakymas: x = 87,38 tšk.
Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.
Procentilio z
Φ(z) = 0,2 → z = −0,8416
Atgal į x
x = 100 + −0,8416·15 = 87,38 tšk.
Atsakymas
x = 87,38 tšk.
9.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: viršutinis rėžis = 129
Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.
Kritinė reikšmė
df = n − 1 = 6, t = 3,707
Paklaidos riba
E = 3,707·12,5/√7 = 17,51
Intervalas
111,5 ± 17,51 → [93,99, 129]
Atsakymas
viršutinis rėžis = 129
10.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: n = 3823
Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.
Išreikškite n
n = (2,576·12/0,5)² = 3822
Apvalinkite aukštyn
Imties dydis yra sveikasis skaičius, o apvalinant žemyn paklaidos riba būtų per didelė.
n = 3823
Atsakymas
n = 3823
11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: p = 0,00776
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Testo statistika
SE = σ/√n = 24/√36 = 4
z = (90,32 − 100)/4 = −2,42
Uodegos plotas
Φ(2,42) = 0,9922
1 − Φ(2,42) = 0,0078
p reikšmė
p = 0,00776
Atsakymas
p = 0,00776
p ≤ 0,05, todėl H₀ atmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu.
12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: n = 427
Imties dydis testui: kad vienpusis z testas α lygmeniu aptiktų tikrąjį poslinkį δ su galia 1 − β, standartinė paklaida turi tenkinti δ = (z_α + z_β)·σ/√n, todėl n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², suapvalinta į didesnę pusę.
Išreikškite n
n = ((2,326 + 1,645)·13/2,5)² = 426,4
Apvalinkite aukštyn
n = 427
Atsakymas
n = 427
13.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: r = −0,8928
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Centruotos sumos
Sxy = 308 − 15·107/5 = −13
Sxx = 55 − 15²/5 = 10
Syy = 2311 − 107²/5 = 21,2
Koreliacijos koeficientas
r = −13/√(10·21,2) = −0,8928
Atsakymas
r = −0,8928
14.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: e = −1,833
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 65/6 = 10,83
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 119
Regresijos tiesė
b = 119/70 = 1,7
a = 10,83 − 1,7·7 = −1,067
ŷ = −1,067 + 1,7·x
Prognozuojama reikšmė
ŷ = −1,067 + 1,7·7 = 10,83
Liekana
e = 9 − 10,83 = −1,833
Atsakymas
e = −1,833
Taškas yra po tiese.
15.Chi kvadrato testai
Atsakymas: χ² = 0,127
Chi kvadrato testai: stebėtus dažnius O palyginkite su pagal H₀ tikėtinais dažniais E naudodami χ² = Σ(O − E)²/E. Suderinamumo kriterijus: kiekvienai kategorijai E = n·p, df = k − 1 (ir dar minus vienas už kiekvieną iš duomenų įvertintą parametrą). Nepriklausomumas r × c lentelėje: E = eilutės suma × stulpelio suma / bendra suma, df = (r − 1)(c − 1). H₀ atmeskite, kai χ² viršija pasirinktą α atitinkančią kritinę reikšmę.
Tikėtini dažniai
vyrai: 60·112/160 = 42, 60·48/160 = 18
moterys: 100·112/160 = 70, 100·48/160 = 30
Chi kvadrato statistika
χ² = (41 − 42)²/42 + (19 − 18)²/18 + (71 − 70)²/70 + (29 − 30)²/30
χ² = 0,127
Atsakymas
χ² = 0,127
df = 1. Kai α = 0,05, kritinė reikšmė yra 3,841, todėl H₀ (nepriklausomumas) neatmetama.
16.Chi kvadrato testai
Atsakymas: χ² = 10,29
Chi kvadrato testai: stebėtus dažnius O palyginkite su pagal H₀ tikėtinais dažniais E naudodami χ² = Σ(O − E)²/E. Suderinamumo kriterijus: kiekvienai kategorijai E = n·p, df = k − 1 (ir dar minus vienas už kiekvieną iš duomenų įvertintą parametrą). Nepriklausomumas r × c lentelėje: E = eilutės suma × stulpelio suma / bendra suma, df = (r − 1)(c − 1). H₀ atmeskite, kai χ² viršija pasirinktą α atitinkančią kritinę reikšmę.
Tikėtini dažniai
amžius 18–30: 40, 60
amžius 31–50: 24, 36
amžius 51+: 32, 48
Chi kvadrato statistika
χ² = (52 − 40)²/40 + (48 − 60)²/60 + (19 − 24)²/24 + (41 − 36)²/36 + (25 − 32)²/32 + (55 − 48)²/48
χ² = 10,29
Sprendimas
df = 2, χ²crit = 5,991
10,29 > 5,991
Atsakymas
χ² = 10,29
χ² didesnis už kritinę reikšmę, todėl H₀ atmetama: atrodo, kad kintamieji susiję.
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology