Psichologijos tyrimų metodai ir statistika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 16 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Aprašomoji statistika

Vidurkis: x̄ = Σx/n
Imties standartinis nuokrypis: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
z įvertis: z = (x − μ)/σ
Normalusis skirstinys: 68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ

Tikimybė

Priešingas įvykis: P(not A) = 1 − P(A)
Sudėties taisyklė: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Nepriklausomi įvykiai: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Sąlyginė tikimybė: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binominis skirstinys: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normalusis skirstinys

z įvertis: z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x: P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Procentilis: x = μ + z·σ

Metodas

Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

Pasikliautinieji intervalai

σ žinomas: x̄ ± z·σ/√n
σ nežinomas: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritinė z reikšmė: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Imties dydis: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodas

Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
Intervalas: x̄ ± E.

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

z testas vidurkiui: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t testas vidurkiui: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo: atmeskite H₀, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas: x̄ ± z·σ/√n

Metodas

Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.

Tiesinė regresija ir koreliacija

Kvadratų sumos: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Krypties koeficientas: b = S_xy/S_xx
Laisvasis narys: a = ȳ − b·x̄
Koreliacija: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Liekana: e = y − ŷ

Chi kvadrato testai

Testo statistika: χ² = Σ(O − E)²/E
Suderinamumo kriterijus: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Nepriklausomumas: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Kritinės reikšmės (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Sprendimas: atmeskite H₀, jei χ² > χ²_crit

2Uždaviniai

1.Psichologijos tyrimų metodaiVidutinis

Kokie duomenys surenkami užduodant atvirą klausimą interviu?

AIntervalinės skalės duomenys
BSantykių skalės duomenys
CKokybiniai duomenys
DTik nominalieji kiekybiniai duomenys

2.Psichologijos tyrimų metodaiSunkus

Vienfaktorė ANOVA, lyginanti keturias grupes, yra reikšminga. Ką tyrėjas turėtų daryti toliau, kad nustatytų, kurios grupės skiriasi?

AAtlikti post hoc testus, pvz., Tukey HSD
BRezultatą pateikti kaip koreliaciją
CAtlikti vidurkių chi kvadrato testą
DDaryti išvadą, kad visos keturios grupės skiriasi viena nuo kitos

3.Aprašomoji statistikaVidutinis

Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 33, 20, 36, 33, 53, 56, 51.

n = 7

s =

4.Aprašomoji statistikaSunkus

Dydis pasiskirstęs normaliai, vidurkis 70, standartinis nuokrypis 8. Kokia reikšmių dalis P yra mažesnė už 73,2?

μ = 70σ = 8x = 73,2

P =

5.TikimybėVidutinis

Maišelyje yra 4 raudoni ir 8 mėlyni rutuliai. Ištraukiate du rutulius, pirmojo negrąžindami. Kokia tikimybė P, kad abu raudoni?

4 / 8

P =

6.TikimybėSunkus

Tikrinami 9 komponentai, kiekvienas sugenda nepriklausomai su tikimybe 0,7. Kokia tikimybė P, kad suges daugiausia vienas?

n = 9p = 0,7

P =

7.Normalusis skirstinysVidutinis

Nuvilkite z, kad nuspalvintas plotas tarp −z ir z po standartine normaliąja kreive būtų 0,8415. Raskite z dviejų ženklų po kablelio tikslumu.

A = 0,8415

z =

8.Normalusis skirstinysSunkus

maišų masės pasiskirstę normaliai, vidurkis 250 g, standartinis nuokrypis 5 g. Nuvilkite ribą taip, kad nuspalvinti apatiniai 15 % būtų kairėje nuo jos. Raskite ribą x.

μ = 250 gσ = 5 g15%

x = g

9.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis

7 elementų imties vidurkis – 81,5, standartinis nuokrypis s = 2,5. Populiacija pasiskirsčiusi apytiksliai normaliai. Raskite vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo apatinį rėžį.

n = 7x̄ = 81,5s = 2,595%t(6) = 2,447

apatinis rėžis =

10.Pasikliautinieji intervalaiSunkus

25 apdirbtų velenų skersmenų imties standartinis nuokrypis 11,3 µm. Laikydami, kad skersmenys pasiskirstę normaliai, raskite populiacijos standartinio nuokrypio 95 % pasikliautinojo intervalo rėžį (viršutinis rėžis) σ. Kai df = 24, 2,5 % χ² skirstinio yra žemiau 12,401, o 2,5 % – aukščiau 39,364.

n = 25s = 11,3 µmχ² = 12,401, 39,364

σ = µm

11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis

Teigiama, kad populiacijos vidurkis lygus 80; žinoma, kad populiacijos standartinis nuokrypis yra 25. Atsitiktinės 100 stebėjimų imties vidurkis 76. Tikrinkite H₀: μ = 80 prieš H₁: μ < 80. Raskite p reikšmę p.

μ₀ = 80σ = 25n = 100x̄ = 76H₁: μ < μ₀

p =

12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus

64 matavimų imties vidurkis – 102,8. Populiacijos standartinis nuokrypis – 12. Raskite vidurkio 90 % pasikliautinojo intervalo viršutinį rėžį U.

x̄ = 102,8σ = 12n = 6490%

U =

13.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis

Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = reklamos išlaidos k€ ir y = pardavimai k€. Raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.

n = 5

r =

14.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = mokymosi valandos ir y = egzamino rezultatas. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Prognozuokite ŷ, kai x = 7.

n = 6x = 7

ŷ =

15.Chi kvadrato testaiVidutinis

Kryžminėje lentelėje pateikti stebėti dažniai. Apskaičiuokite eilučių ir stulpelių kintamųjų nepriklausomumo testo chi kvadrato statistiką χ². Tolydumo pataisos nenaudokite.

N = 1202 × 3

χ² =

16.Chi kvadrato testaiSunkus

Chi kvadrato nepriklausomumo testas atliekamas kryžminei lentelei, turinčiai 2 eilutes ir 2 stulpelius (neskaičiuojant sumų). Kiek laisvės laipsnių df turi testas?

2 × 2

df =

3Tirpalai

1.Psichologijos tyrimų metodai

Atsakymas: C · Kokybiniai duomenys

Kodėl tai yra atsakymas

Atviri klausimai duoda turtingų kokybinių duomenų, kuriuos sunkiau statistiškai analizuoti nei atsakymus į uždarus klausimus.

Atsakymas

C · Kokybiniai duomenys

2.Psichologijos tyrimų metodai

Atsakymas: A · Atlikti post hoc testus, pvz., Tukey HSD

Kodėl tai yra atsakymas

Reikšmingas F rodo, kad ne visi vidurkiai lygūs. Post hoc testai ar planuoti kontrastai nustato, kurios poros skiriasi, kontroliuojant klaidų lygį.

Atsakymas

A · Atlikti post hoc testus, pvz., Tukey HSD

3.Aprašomoji statistika

Atsakymas: s = 13,29

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Vidurkis

x̄ = 282/7 = 40,29

Nuokrypių kvadratai

Σ(x − x̄)² = (−7,286)² + (−20,29)² + (−4,286)² + (−7,286)² + 12,71² + 15,71² + 10,71² = 1059

Standartinis nuokrypis

s = √(1059/6) = 13,29

Atsakymas

s = 13,29

4.Aprašomoji statistika

Atsakymas: P = 0,6554

Standartizuokite

z = 0,4

Standartinio normaliojo skirstinio lentelė

Φ(0,4) = 0,6554

P = 0,6554

Atsakymas

P = 0,6554

5.Tikimybė

Atsakymas: P = 0,09091

Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Pirmas ir antras traukimas

P = 4/12 · 3/11 = 12/132 = 0,09091

Atsakymas

P = 0,09091

6.Tikimybė

Atsakymas: P = 0,000433

Nulis ir vienas gedimas

P(X = 0) = 0,3⁹ = 1,968 × 10⁻⁵

P(X = 1) = 9·0,7·0,3⁸ = 0,0004133

Sudėkite

P = 1,968 × 10⁻⁵ + 0,0004133 = 0,000433

Atsakymas

P = 0,000433

7.Normalusis skirstinys

Atsakymas: z = 1,41

Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.

Plotas kairėje nuo z

Φ(z) = (1 + 0,8415)/2 = 0,9207

Skaitykite z lentelę atvirkščiai

Lentelėje suraskite 0,9207 ir nuskaitykite z.

z = 1,41

Atsakymas

z = 1,41

8.Normalusis skirstinys

Atsakymas: x = 244,8 g

Plotas kairėje

Φ(z) = 0,15

z iš lentelės

z ≈ −1,04

Atgal į pradinius vienetus

x = 250 − 1,04·5 = 244,8 g

Atsakymas

x = 244,8 g

9.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: apatinis rėžis = 79,19

Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.

Kritinė reikšmė

df = n − 1 = 6, t = 2,447

Paklaidos riba

E = 2,447·2,5/√7 = 2,312

Intervalas

81,5 ± 2,312 → [79,19, 83,81]

Atsakymas

apatinis rėžis = 79,19

10.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: σ = 15,72 µm

Dispersijos intervalas: (n − 1)s²/σ² turi χ² skirstinį su n − 1 laisvės laipsniu. σ² 95 % intervalas tęsiasi nuo (n − 1)s², padalyto iš viršutinės χ² reikšmės (virš jos 2,5 %), iki (n − 1)s², padalyto iš apatinės χ² reikšmės (žemiau jos 2,5 %); σ intervalas gaunamas ištraukus šaknį iš abiejų rėžių. Jis nesimetriškas s atžvilgiu.

Kvadratų suma

(n − 1)s² = 24·11,3² = 3065

σ² rėžiai

3065/39,364 = 77,85

3065/12,401 = 247,1

σ rėžis

σ = √247,1 = 15,72 µm

Atsakymas

σ = 15,72 µm

σ 95 % intervalas: [8,823, 15,72] µm.

11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: p = 0,0548

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Testo statistika

SE = σ/√n = 25/√100 = 2,5

z = (76 − 80)/2,5 = −1,6

Uodegos plotas

Φ(1,6) = 0,9452

1 − Φ(1,6) = 0,0548

p reikšmė

p = 0,0548

Atsakymas

p = 0,0548

p > 0,05, todėl H₀ neatmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu.

12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: U = 105,3

Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).

Paklaidos riba

E = 1,645·12/√64 = 2,468

Intervalo rėžis

U = 102,8 + 2,468 = 105,3

Atsakymas

U = 105,3

13.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: r = 0,9793

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Vidurkiai

x̄ = 20/5 = 4

ȳ = 211/5 = 42,2

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 57

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 338,8

Koreliacijos koeficientas

r = 57/√(10·338,8) = 0,9793

Atsakymas

r = 0,9793

14.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: ŷ = 99,83

Vidurkiai

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 599/6 = 99,83

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 501

Regresijos tiesė

b = 501/70 = 7,157

a = 99,83 − 7,157·7 = 49,73

ŷ = 49,73 + 7,157·x

Prognozė

ŷ = 49,73 + 7,157·7 = 99,83

Atsakymas

ŷ = 99,83

15.Chi kvadrato testai

Atsakymas: χ² = 2,438

Chi kvadrato testai: stebėtus dažnius O palyginkite su pagal H₀ tikėtinais dažniais E naudodami χ² = Σ(O − E)²/E. Suderinamumo kriterijus: kiekvienai kategorijai E = n·p, df = k − 1 (ir dar minus vienas už kiekvieną iš duomenų įvertintą parametrą). Nepriklausomumas r × c lentelėje: E = eilutės suma × stulpelio suma / bendra suma, df = (r − 1)(c − 1). H₀ atmeskite, kai χ² viršija pasirinktą α atitinkančią kritinę reikšmę.

Tikėtini dažniai

dieninė pamaina: 40·24/120 = 8, 40·54/120 = 18, 40·42/120 = 14

naktinė pamaina: 80·24/120 = 16, 80·54/120 = 36, 80·42/120 = 28

Chi kvadrato statistika

χ² = (11 − 8)²/8 + (15 − 18)²/18 + (14 − 14)²/14 + (13 − 16)²/16 + (39 − 36)²/36 + (28 − 28)²/28

χ² = 2,438

Atsakymas

χ² = 2,438

df = 2. Kai α = 0,05, kritinė reikšmė yra 5,991, todėl H₀ (nepriklausomumas) neatmetama.

16.Chi kvadrato testai

Atsakymas: df = 1

Laisvės laipsniai

df = (2 − 1)·(2 − 1) = 1

Atsakymas

df = 1

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology