Psichologijos tyrimų metodai ir statistika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 16 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Aprašomoji statistika

Vidurkis: x̄ = Σx/n
Imties standartinis nuokrypis: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
z įvertis: z = (x − μ)/σ
Normalusis skirstinys: 68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ

Tikimybė

Priešingas įvykis: P(not A) = 1 − P(A)
Sudėties taisyklė: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Nepriklausomi įvykiai: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Sąlyginė tikimybė: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binominis skirstinys: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normalusis skirstinys

z įvertis: z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x: P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Procentilis: x = μ + z·σ

Metodas

Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

Pasikliautinieji intervalai

σ žinomas: x̄ ± z·σ/√n
σ nežinomas: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritinė z reikšmė: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Imties dydis: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodas

Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
Intervalas: x̄ ± E.

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

z testas vidurkiui: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t testas vidurkiui: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo: atmeskite H₀, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas: x̄ ± z·σ/√n

Metodas

Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.

Tiesinė regresija ir koreliacija

Kvadratų sumos: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Krypties koeficientas: b = S_xy/S_xx
Laisvasis narys: a = ȳ − b·x̄
Koreliacija: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Liekana: e = y − ŷ

Chi kvadrato testai

Testo statistika: χ² = Σ(O − E)²/E
Suderinamumo kriterijus: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Nepriklausomumas: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Kritinės reikšmės (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Sprendimas: atmeskite H₀, jei χ² > χ²_crit

2Uždaviniai

1.Psichologijos tyrimų metodaiVidutinis

Pakartotinių matavimų plane eilės efektus galima kontroliuoti:

AVienpusiškai aklu tyrimu
BTik didesne imtimi
CAtsveriant eilės tvarką (counterbalancing)
DAtsitiktine atranka

2.Psichologijos tyrimų metodaiSunkus

Grindžiamosios teorijos (grounded theory) metodu duomenys renkami tol, kol:

APasiekiamas teorinis prisotinimas ir nauji duomenys nebeprideda naujų kategorijų
BPatvirtinama pradinė hipotezė
CGaunama p reikšmė, mažesnė nei 0,05
DApklausta bent 1,000 dalyvių

3.Aprašomoji statistikaVidutinis

Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 22, 13, 32, 52, 45.

n = 5

s =

4.Aprašomoji statistikaSunkus

Dydis pasiskirstęs normaliai, vidurkis 50, standartinis nuokrypis 15. Kokia reikšmių dalis P yra didesnė už 72,5?

μ = 50σ = 15x = 72,5

P =

5.TikimybėVidutinis

Parodytam skirstiniui raskite X dispersiją Var(X).

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,3, 0,1, 0,3, 0,3

Var(X) =

6.TikimybėSunkus

Teste yra 11 klausimų su pasirenkamaisiais atsakymais. Spėliojanti studentė į kiekvieną atsako teisingai su tikimybe 0,2, nepriklausomai. Kokia tikimybė P, kad teisingų atsakymų bus lygiai 5?

n = 11p = 0,2k = 5

P =

7.Normalusis skirstinysVidutinis

Tarkime, kad egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 65 tšk., standartinis nuokrypis 10 tšk.. Kokia dalis reikšmių yra tarp 53,5 ir 85 tšk.? P pateikite dešimtaine trupmena.

μ = 65σ = 10x₁ = 53,5x₂ = 85

P =

8.Normalusis skirstinysSunkus

Skylių skersmenys D yra normalieji, jų vidurkis 25,03 mm ir standartinis nuokrypis 0,01 mm. Velenų skersmenys d yra nepriklausomi normalieji, jų vidurkis 25 mm ir standartinis nuokrypis 0,015 mm. Atsitiktinai pasirinktas velenas tinka, kai D − d > 0. Raskite tikimybę P, kad jis tinka. Suapvalinkite z iki dviejų skaitmenų po kablelio.

skylė: μ = 25,03 mm, σ = 0,01 mmvelenas: μ = 25 mm, σ = 0,015 mm

P =

9.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis

Vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo, pagrįsto 100 stebėjimais ir žinomu σ, paklaidos riba yra 8,3. Kokia yra tų pačių duomenų 90 % intervalo paklaidos riba E₂?

95%n₁ = 100E₁ = 8,390%

E₂ =

10.Pasikliautinieji intervalaiSunkus

Apie brokuotų gaminių dalį iš anksto nieko nežinoma. Kiek gaminių n reikia patikrinti, kad dalies 90 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 0,04?

p = 0,5E = 0,0490%

n =

11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis

13 darbuotojų rašymo klaviatūra testą atlieka prieš mokymo kursus ir po jų. Kiekvienam asmeniui užrašomas skirtumas d = po − prieš (žodžiai per minutę). Vidutinis skirtumas −2,06, o skirtumų standartinis nuokrypis 5,7. Raskite porinio testo statistiką t hipotezei H₀: μ_d = 0.

n = 13d̄ = −2,06s_d = 5,7

t =

12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus

Kokia didelė turi būti imtis, kad vidurkio 90 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 0,5? Standartinis nuokrypis – 4. Raskite mažiausią imties dydį n.

σ = 4E = 0,590%

n =

13.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis

Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = mokymosi valandos ir y = egzamino rezultatas. Raskite mažiausiųjų kvadratų tiesės determinacijos koeficientą r².

n = 5

r² =

14.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = temperatūra °C ir y = parduoti ledai. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Gautas naujas stebėjimas (27,5, 127). Raskite jo liekaną e = y − ŷ.

n = 6(27,5, 127)

e =

15.Chi kvadrato testaiVidutinis

Kryžminėje lentelėje pateikti stebėti dažniai. Chi kvadrato nepriklausomumo testui raskite langelio „miesto, žemas“ tikėtiną dažnį E.

eilutės suma = 60stulpelio suma = 42N = 154

E =

16.Chi kvadrato testaiSunkus

Lentelėje pateikti stebėti dažniai. Esant α = 0,01 patikrinkite, ar abu kintamieji nepriklausomi (be tolydumo pataisos). Apskaičiuokite testo statistiką χ², tada palyginkite ją su kritine reikšme iš lentelės.

N = 2003 × 2α = 0,01

χ² =

3Tirpalai

1.Psichologijos tyrimų metodai

Atsakymas: C · Atsveriant eilės tvarką (counterbalancing)

Kodėl tai yra atsakymas

Eilės atsvėrimas tolygiai paskirsto praktikos ir nuovargio efektus tarp sąlygų.

Atsakymas

C · Atsveriant eilės tvarką (counterbalancing)

2.Psichologijos tyrimų metodai

Atsakymas: A · Pasiekiamas teorinis prisotinimas ir nauji duomenys nebeprideda naujų kategorijų

Kodėl tai yra atsakymas

Grindžiamoji teorija kuria teoriją induktyviai, kartu renkant ir koduojant duomenis, ir atranka nutraukiama, kai nauji duomenys nebeplėtoja kategorijų.

Atsakymas

A · Pasiekiamas teorinis prisotinimas ir nauji duomenys nebeprideda naujų kategorijų

3.Aprašomoji statistika

Atsakymas: s = 16,02

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Vidurkis

x̄ = 164/5 = 32,8

Nuokrypių kvadratai

Σ(x − x̄)² = (−10,8)² + (−19,8)² + (−0,8)² + 19,2² + 12,2² = 1027

Standartinis nuokrypis

s = √(1027/4) = 16,02

Atsakymas

s = 16,02

4.Aprašomoji statistika

Atsakymas: P = 0,06681

Standartizuokite

z = 1,5

Standartinio normaliojo skirstinio lentelė

Φ(1,5) = 0,9332

P = 1 − 0,9332 = 0,06681

Atsakymas

P = 0,06681

5.Tikimybė

Atsakymas: Var(X) = 1,44

Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σ_Y = |a|·σ_X; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.

Vidurkis

μ = 1·0,3 + 2·0,1 + 3·0,3 + 4·0,3 = 2,6

Kvadratų vidurkis

E(X²) = 1·0,3 + 4·0,1 + 9·0,3 + 16·0,3 = 8,2

Dispersija

Var(X) = 8,2 − 2,6² = 1,44

Atsakymas

Var(X) = 1,44

6.Tikimybė

Atsakymas: P = 0,03876

Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Binominė formulė

P(X = 5) = 462·0,2⁵·0,8⁶ = 462·0,00032·0,2621 = 0,03876

Atsakymas

P = 0,03876

7.Normalusis skirstinys

Atsakymas: P = 0,8522

Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.

z įverčiai

z₁ = (53,5 − 65)/10 = −1,15

z₂ = (85 − 65)/10 = 2

Plotas tarp

P = Φ(2) − Φ(−1,15) = 0,9772 − 0,1251 = 0,8522

Atsakymas

P = 0,8522

8.Normalusis skirstinys

Atsakymas: P = 0,9515

Normaliųjų dydžių sumos ir skirtumai: jei X ir Y yra nepriklausomi ir normalieji, tai X + Y ir X − Y taip pat normalieji. Vidurkiai sudedami arba atimami: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Dispersijos visada sudedamos, net ir skirtumui: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², todėl σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standartiniai nuokrypiai tiesiogiai niekada nesudedami. n nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių elementų sumos vidurkis yra n·μ, o standartinis nuokrypis σ·√n. Tada standartizuokite kaip įprasta: z = (x − vidurkis)/σ ir raskite Φ(z).

Skirtumo skirstinys

μ = 25,03 − 25 = 0,03 mm, σ = 0,01803 mm

Standartizuokite

z = (0 − 0,03)/0,01803 = −1,66

Tikimybė

P = 1 − Φ(−1,66) = 0,9515

Atsakymas

P = 0,9515

9.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: E₂ = 6,966

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Paklaidos ribų santykis

E₂/E₁ = (1,645/1,96)·√(100/100) = 0,8393

Nauja paklaidos riba

E₂ = 8,3·0,8393 = 6,966

Atsakymas

E₂ = 6,966

10.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: n = 423

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Išreikškite n

n = 1,645²·0,5·0,5/0,04² = 422,8

Apvalinkite aukštyn

n = 423

Atsakymas

n = 423

11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: t = −1,303

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Vidutinio skirtumo standartinė paklaida

SE = 5,7/√13 = 1,581

Testo statistika

t = −2,06/1,581 = −1,303

Atsakymas

t = −1,303

Kai df = 12, dvipusio 5 % testo kritinė reikšmė yra 2,179; |t| mažesnis, todėl H₀ neatmetama.

12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: n = 174

Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).

Išreikškite n

n = (1,645·4/0,5)² = 173,2

Apvalinkite aukštyn

n = 174

Atsakymas

n = 174

13.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: r² = 0,9738

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Vidurkiai

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 351/5 = 70,2

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 190

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 926,8

Determinacijos koeficientas

r² = 190²/(40·926,8) = 0,9738

Atsakymas

r² = 0,9738

Apie 97,38% y kitimo paaiškinama tiese.

14.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: e = −5,233

Vidurkiai

x̄ = 147/6 = 24,5

ȳ = 689/6 = 114,8

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 913,5

Regresijos tiesė

b = 913,5/157,5 = 5,8

a = 114,8 − 5,8·24,5 = −27,27

ŷ = −27,27 + 5,8·x

Prognozuojama reikšmė

ŷ = −27,27 + 5,8·27,5 = 132,2

Liekana

e = 127 − 132,2 = −5,233

Atsakymas

e = −5,233

Taškas yra po tiese.

15.Chi kvadrato testai

Atsakymas: E = 16,36

Chi kvadrato testai: stebėtus dažnius O palyginkite su pagal H₀ tikėtinais dažniais E naudodami χ² = Σ(O − E)²/E. Suderinamumo kriterijus: kiekvienai kategorijai E = n·p, df = k − 1 (ir dar minus vienas už kiekvieną iš duomenų įvertintą parametrą). Nepriklausomumas r × c lentelėje: E = eilutės suma × stulpelio suma / bendra suma, df = (r − 1)(c − 1). H₀ atmeskite, kai χ² viršija pasirinktą α atitinkančią kritinę reikšmę.

Tikėtinas dažnis

E = 60·42/154 = 16,36

Atsakymas

E = 16,36

16.Chi kvadrato testai

Atsakymas: χ² = 2,778

Tikėtini dažniai

amžius 18–30: 40, 60

amžius 31–50: 16, 24

amžius 51+: 24, 36

Chi kvadrato statistika

χ² = (35 − 40)²/40 + (65 − 60)²/60 + (20 − 16)²/16 + (20 − 24)²/24 + (25 − 24)²/24 + (35 − 36)²/36

χ² = 2,778

Sprendimas

df = 2, χ²_crit = 9,210

2,778 < 9,210

Atsakymas

χ² = 2,778

χ² mažesnis už kritinę reikšmę, todėl H₀ neatmetama: reikšmingų ryšio įrodymų nėra.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology