Psichologijos tyrimų metodai ir statistika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 16 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Aprašomoji statistika

Vidurkis: x̄ = Σx/n
Imties standartinis nuokrypis: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
z įvertis: z = (x − μ)/σ
Normalusis skirstinys: 68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ

Tikimybė

Priešingas įvykis: P(not A) = 1 − P(A)
Sudėties taisyklė: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Nepriklausomi įvykiai: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Sąlyginė tikimybė: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binominis skirstinys: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normalusis skirstinys

z įvertis: z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x: P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Procentilis: x = μ + z·σ

Metodas

Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

Pasikliautinieji intervalai

σ žinomas: x̄ ± z·σ/√n
σ nežinomas: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritinė z reikšmė: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Imties dydis: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodas

Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
Intervalas: x̄ ± E.

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

z testas vidurkiui: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t testas vidurkiui: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo: atmeskite H₀, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas: x̄ ± z·σ/√n

Metodas

Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.

Tiesinė regresija ir koreliacija

Kvadratų sumos: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Krypties koeficientas: b = S_xy/S_xx
Laisvasis narys: a = ȳ − b·x̄
Koreliacija: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Liekana: e = y − ŷ

Chi kvadrato testai

Testo statistika: χ² = Σ(O − E)²/E
Suderinamumo kriterijus: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Nepriklausomumas: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Kritinės reikšmės (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Sprendimas: atmeskite H₀, jei χ² > χ²_crit

2Uždaviniai

1.Psichologijos tyrimų metodaiVidutinis

Teigiamai asimetriškame skirstinyje, pvz., pajamų:

AVidurkis mažesnis už medianą
BVidurkis didesnis už medianą
CKraštutinių įverčių nėra
DVidurkis ir mediana visada lygūs

2.Psichologijos tyrimų metodaiSunkus

Grindžiamosios teorijos (grounded theory) metodu duomenys renkami tol, kol:

APatvirtinama pradinė hipotezė
BGaunama p reikšmė, mažesnė nei 0,05
CApklausta bent 1,000 dalyvių
DPasiekiamas teorinis prisotinimas ir nauji duomenys nebeprideda naujų kategorijų

3.Aprašomoji statistikaVidutinis

Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 18, 42, 11, 44, 40, 45.

n = 6

s =

4.Aprašomoji statistikaSunkus

Dydis pasiskirstęs normaliai, vidurkis 500, standartinis nuokrypis 75. Kokia reikšmių dalis P yra didesnė už 575?

μ = 500σ = 75x = 575

P =

5.TikimybėVidutinis

Maišelyje yra 4 raudoni ir 5 mėlyni rutuliai. Ištraukiate du rutulius, pirmojo negrąžindami. Kokia tikimybė P, kad abu raudoni?

4 / 5

P =

6.TikimybėSunkus

X turi parodytą skirstinį, o Y = 2X + 5. Raskite Y standartinį nuokrypį σ_Y.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,15, 0,25, 0,3, 0,3Y = 2X + 5

σ_Y =

7.Normalusis skirstinysVidutinis

Nuvilkite z, kad nuspalvintas plotas tarp −z ir z po standartine normaliąja kreive būtų 0,7737. Raskite z dviejų ženklų po kablelio tikslumu.

A = 0,7737

z =

8.Normalusis skirstinysSunkus

Tarkime, kad egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 65 tšk., standartinis nuokrypis 10 tšk.. Raskite reikšmę x, už kurią mažesnės yra 99 % reikšmių (99-asis procentilis).

μ = 65σ = 10P = 99%

x = tšk.

9.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis

Vidurkio 99 % pasikliautinojo intervalo, pagrįsto 50 stebėjimais ir žinomu σ, paklaidos riba yra 4,1. Kokia yra 95 % intervalo, pagrįsto 200 stebėjimais, paklaidos riba E₂?

99%n₁ = 50E₁ = 4,195%n₂ = 200

E₂ =

10.Pasikliautinieji intervalaiSunkus

Bandomasis tyrimas rodo, kad brokuotų gaminių dalis yra apie 0,2. Kiek gaminių n reikia patikrinti, kad dalies 95 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 0,04?

p ≈ 0,2E = 0,0495%

n =

11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis

Dvi gamybos linijos gamina tą pačią detalę. 1 linija: 40 detalių imties vidutinis ilgis 113 mm, o žinomas linijos standartinis nuokrypis 19 mm. 2 linija: 60 detalių imties vidurkis 119 mm, žinomas standartinis nuokrypis 14 mm. Raskite testo statistiką z hipotezei H₀: μ₁ = μ₂, skirtumą imdami kaip x̄₁ − x̄₂ (1 linija atėmus 2 liniją).

n₁ = 40x̄₁ = 113 mmσ₁ = 19 mmn₂ = 60x̄₂ = 119 mmσ₂ = 14 mm

z =

12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus

Vienpusis z testas H₀: μ = 50 prieš H₁: μ > 50 atliekamas, kai α = 0,01, su 36 dydžio imtimi; žinoma, kad standartinis nuokrypis yra 6. Iš tikrųjų vidurkis lygus 54. Raskite testo galią 1 − β procentais.

μ₀ = 50μ = 54σ = 6n = 36α = 0,01

1 − β = %

13.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis

Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = automobilio amžius metais ir y = kaina k€. Raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.

n = 5

r =

14.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = automobilio amžius metais ir y = kaina k€. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Gautas naujas stebėjimas (1,5, 27). Raskite jo liekaną e = y − ŷ.

n = 6(1,5, 27)

e =

15.Chi kvadrato testaiVidutinis

Kryžminėje lentelėje pateikti stebėti dažniai. Apskaičiuokite eilučių ir stulpelių kintamųjų nepriklausomumo testo chi kvadrato statistiką χ². Tolydumo pataisos nenaudokite.

N = 1002 × 3

χ² =

16.Chi kvadrato testaiSunkus

Chi kvadrato suderinamumo testas palygina stebėtus dažnius 9 kategorijose su visiškai nurodytomis tikėtinomis dalimis (jokie parametrai iš duomenų nevertinami). Kiek laisvės laipsnių df turi testas?

k = 9

df =

3Tirpalai

1.Psichologijos tyrimų metodai

Atsakymas: B · Vidurkis didesnis už medianą

Kodėl tai yra atsakymas

Kelios labai didelės reikšmės dešinėje uodegoje pakelia vidurkį virš medianos, todėl asimetriškiems duomenims dažnai nurodoma mediana.

Atsakymas

B · Vidurkis didesnis už medianą

2.Psichologijos tyrimų metodai

Atsakymas: D · Pasiekiamas teorinis prisotinimas ir nauji duomenys nebeprideda naujų kategorijų

Kodėl tai yra atsakymas

Grindžiamoji teorija kuria teoriją induktyviai, kartu renkant ir koduojant duomenis, ir atranka nutraukiama, kai nauji duomenys nebeplėtoja kategorijų.

Atsakymas

D · Pasiekiamas teorinis prisotinimas ir nauji duomenys nebeprideda naujų kategorijų

3.Aprašomoji statistika

Atsakymas: s = 14,85

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Vidurkis

x̄ = 200/6 = 33,33

Nuokrypių kvadratai

Σ(x − x̄)² = (−15,33)² + 8,667² + (−22,33)² + 10,67² + 6,667² + 11,67² = 1103

Standartinis nuokrypis

s = √(1103/5) = 14,85

Atsakymas

s = 14,85

4.Aprašomoji statistika

Atsakymas: P = 0,1587

Standartizuokite

z = 1

Standartinio normaliojo skirstinio lentelė

Φ(1) = 0,8413

P = 1 − 0,8413 = 0,1587

Atsakymas

P = 0,1587

5.Tikimybė

Atsakymas: P = 0,1667

Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Pirmas ir antras traukimas

P = 4/9 · 3/8 = 12/72 = 0,1667

Atsakymas

P = 0,1667

6.Tikimybė

Atsakymas: σ_Y = 2,086

Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σ_Y = |a|·σ_X; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.

X sklaida

μ = 1,75, Var(X) = 1,087, σ_X = 1,043

Tiesinis pokytis

σ_Y = |2|·1,043 = 2,086

Atsakymas

σ_Y = 2,086

Vidurkis pasislenka: E(Y) = 2·1,75 + 5 = 8,5.

7.Normalusis skirstinys

Atsakymas: z = 1,21

Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.

Plotas kairėje nuo z

Φ(z) = (1 + 0,7737)/2 = 0,8869

Skaitykite z lentelę atvirkščiai

Lentelėje suraskite 0,8869 ir nuskaitykite z.

z = 1,21

Atsakymas

z = 1,21

8.Normalusis skirstinys

Atsakymas: x = 88,26 tšk.

Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.

Procentilio z

Φ(z) = 0,99 → z = 2,326

Atgal į x

x = 65 + 2,326·10 = 88,26 tšk.

Atsakymas

x = 88,26 tšk.

9.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: E₂ = 1,56

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Paklaidos ribų santykis

E₂/E₁ = (1,96/2,576)·√(50/200) = 0,3804

Nauja paklaidos riba

E₂ = 4,1·0,3804 = 1,56

Atsakymas

E₂ = 1,56

10.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: n = 385

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Išreikškite n

n = 1,96²·0,2·0,8/0,04² = 384,2

Apvalinkite aukštyn

n = 385

Atsakymas

n = 385

11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: z = −1,711

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Skirtumo standartinė paklaida

SE = √(19²/40 + 14²/60) = √12,29 = 3,506

Testo statistika

z = (113 − 119)/3,506 = −1,711

Atsakymas

z = −1,711

|z| < 1.96, todėl H₀ neatmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).

12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: 1 − β = 95,29 %

Testo galia: galia = 1 − β yra tikimybė atmesti H₀, kai ji klaidinga. Iš μ₀ ir z_α raskite ribą x̄c, tada naudodami tikrąjį vidurkį apskaičiuokite tikimybę patekti už x̄c: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Kritinis imties vidurkis

SE = 6/√36 = 1

x̄_c = 50 + 2,326·1 = 52,33

z esant tikrajam vidurkiui

z = (52,33 − 54)/1 = −1,674

Galia

galia = P(Z > −1,674) = 95,29%

1 − β = 95,29%

Atsakymas

1 − β = 95,29%

13.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: r = −0,9504

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Vidurkiai

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 93/5 = 18,6

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −25

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 69,2

Koreliacijos koeficientas

r = −25/√(10·69,2) = −0,9504

Atsakymas

r = −0,9504

14.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: e = 4,248

Vidurkiai

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 94/6 = 15,67

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −62

Regresijos tiesė

b = −62/17,5 = −3,543

a = 15,67 − (−3,543)·3,5 = 28,07

ŷ = 28,07 − 3,543·x

Prognozuojama reikšmė

ŷ = 28,07 + (−3,543)·1,5 = 22,75

Liekana

e = 27 − 22,75 = 4,248

Atsakymas

e = 4,248

Taškas yra virš tiesės.

15.Chi kvadrato testai

Atsakymas: χ² = 0,2917

Chi kvadrato testai: stebėtus dažnius O palyginkite su pagal H₀ tikėtinais dažniais E naudodami χ² = Σ(O − E)²/E. Suderinamumo kriterijus: kiekvienai kategorijai E = n·p, df = k − 1 (ir dar minus vienas už kiekvieną iš duomenų įvertintą parametrą). Nepriklausomumas r × c lentelėje: E = eilutės suma × stulpelio suma / bendra suma, df = (r − 1)(c − 1). H₀ atmeskite, kai χ² viršija pasirinktą α atitinkančią kritinę reikšmę.

Tikėtini dažniai

miesto: 40·20/100 = 8, 40·30/100 = 12, 40·50/100 = 20

kaimo: 60·20/100 = 12, 60·30/100 = 18, 60·50/100 = 30

Chi kvadrato statistika

χ² = (9 − 8)²/8 + (12 − 12)²/12 + (19 − 20)²/20 + (11 − 12)²/12 + (18 − 18)²/18 + (31 − 30)²/30

χ² = 0,2917

Atsakymas

χ² = 0,2917

df = 2. Kai α = 0,05, kritinė reikšmė yra 5,991, todėl H₀ (nepriklausomumas) neatmetama.

16.Chi kvadrato testai

Atsakymas: df = 8

Laisvės laipsniai

df = 9 − 1 = 8

Atsakymas

df = 8

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology