Psichologijos tyrimų metodai ir statistika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 16 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Aprašomoji statistika

Vidurkis
x̄ = Σx/n
Imties standartinis nuokrypis
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana
vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
z įvertis
z = (x − μ)/σ
Normalusis skirstinys
68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ

Tikimybė

Priešingas įvykis
P(not A) = 1 − P(A)
Sudėties taisyklė
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Nepriklausomi įvykiai
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Sąlyginė tikimybė
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binominis skirstinys
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Normalusis skirstinys

z įvertis
z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x
P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp
Φ(z2) − Φ(z1)
Procentilis
x = μ + z·σ

Metodas

  1. Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
  2. Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
  3. Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
  4. Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

Pasikliautinieji intervalai

σ žinomas
x̄ ± z·σ/√n
σ nežinomas
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritinė z reikšmė
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Imties dydis
n = (z·σ/E)², rounded up

Metodas

  1. Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
  2. Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
  3. Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
  4. Intervalas: x̄ ± E.

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

z testas vidurkiui
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t testas vidurkiui
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo
atmeskite H0, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas
x̄ ± z·σ/√n

Metodas

  1. Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
  2. Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
  3. Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
  4. H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.

Tiesinė regresija ir koreliacija

Kvadratų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Krypties koeficientas
b = Sxy/Sxx
Laisvasis narys
a = ȳ − b·x̄
Koreliacija
r = Sxy/√(SxxSyy)
Liekana
e = y − ŷ

Chi kvadrato testai

Testo statistika
χ² = Σ(O − E)²/E
Suderinamumo kriterijus
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Nepriklausomumas
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Kritinės reikšmės (α = 0,05)
df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Sprendimas
atmeskite H0, jei χ² > χ²crit

2Uždaviniai

1.Psichologijos tyrimų metodaiVidutinis

Standartizuotos instrukcijos eksperimente naudojamos tam, kad:

  1. AVisi dalyviai gautų tą pačią informaciją tuo pačiu būdu
  2. BTyrėjas galėtų pritaikyti procedūrą kiekvieno dalyvio poreikiams
  3. CRezultatai taptų statistiškai reikšmingi
  4. DDalyviai galėtų patys pasirinkti sąlygas
2.Psichologijos tyrimų metodaiSunkus

Tyrėjas nustato, kad ledų pardavimai ir nuskendimų skaičius teigiamai koreliuoja. Kuris paaiškinimas tikėtiniausias?

  1. AKoreliacija turi būti skaičiavimo klaida
  2. BLedai sukelia nuskendimus
  3. CNuskendimai didina ledų pardavimus
  4. DKarštas oras didina ir ledų pardavimus, ir maudymąsi
3.Aprašomoji statistikaVidutinis
253035404550

Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 29, 33, 54, 32, 26, 23, 49.

n = 7
s =
4.Aprašomoji statistikaSunkus
z −2−1012

Egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 70, standartinis nuokrypis 20. Raskite rezultato 60 z įvertį z.

μ = 70σ = 20x = 60
z =
5.TikimybėVidutinis
xp(x)100,15200,35300,3400,2μ = 25,5

Parodytam skirstiniui raskite X dispersiją Var(X).

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,15, 0,35, 0,3, 0,2
Var(X) =
6.TikimybėSunkus
€p(x)−100,73200,251900,02

Žaidimo kaina yra €10. Laimite €30 su tikimybe 0,25 ir €200 su tikimybe 0,02; kitu atveju nelaimite nieko. Statymas negrąžinamas. Raskite laukiamą grynąjį laimėjimą E(G) per žaidimą.

statymas = €10€30: p = 0,25€200: p = 0,02
E(G) = €
7.Normalusis skirstinysVidutinis
−3−2−10123znuspalvintas plotas tarp −z ir z = 0,6047

Nuvilkite z, kad nuspalvintas plotas tarp −z ir z po standartine normaliąja kreive būtų 0,6047. Raskite z dviejų ženklų po kablelio tikslumu.

A = 0,6047
z =
8.Normalusis skirstinysSunkus
μ = 500x = ?75%

Tarkime, kad baterijų veikimo trukmės pasiskirstę normaliai, vidurkis 500 h, standartinis nuokrypis 40 h. Raskite reikšmę x, už kurią mažesnės yra 75 % reikšmių (75-asis procentilis).

μ = 500σ = 40P = 75%
x = h
9.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis
n = 6, s = 10,5LUx̄ = 42E = ?99%

6 elementų imties vidurkis – 42, standartinis nuokrypis s = 10,5. Populiacija pasiskirsčiusi apytiksliai normaliai. Raskite vidurkio 99 % pasikliautinojo intervalo paklaidos ribą E.

n = 6x̄ = 42s = 10,599%t(5) = 4,032
E =
10.Pasikliautinieji intervalaiSunkus
σ = 17, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 590%

Populiacijos standartinis nuokrypis – 17. Kokio dydžio imties n reikia, kad vidurkio 90 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 5?

σ = 17E = 590%
n =
11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
t −2,01102,011

49 studentų imties vidutinis rezultatas – 45,29, imties standartinis nuokrypis – 15. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ = 50.

μ₀ = 50x̄ = 45,29s = 15n = 49
t =
12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
H₀H₁μ₀x̄cμ₀ + 3α = 0,05βσ = 16, galia 95%, n = ?

Vienpusis z testas, kai α = 0,05, turi aptikti 3 vienetų vidurkio poslinkį su 95 % galia. Standartinis nuokrypis 16. Raskite mažiausią imties dydį n.

α = 0,05galia = 95%δ = 3σ = 16zα = 1,645zβ = 1,645
n =
13.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis
xy2841662483410421246xy5102040

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = apkrova kN ir y = pailgėjimas mm. Raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.

n = 6
r =
14.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus
xy1446176620662380269129106xy152025306080100x = 18,5

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = temperatūra °C ir y = parduoti ledai. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Gautas naujas stebėjimas (18,5, 63). Raskite jo liekaną e = y − ŷ.

n = 6(18,5, 63)
e =
15.Chi kvadrato testaiVidutinis
autobusasdviratisautomobilisIš visostudentai34162777darbuotojai33431793Iš viso675944170

Kryžminėje lentelėje pateikti stebėti dažniai. Chi kvadrato nepriklausomumo testui raskite langelio „darbuotojai, autobusas“ tikėtiną dažnį E.

eilutės suma = 93stulpelio suma = 67N = 170
E =
16.Chi kvadrato testaiSunkus

Chi kvadrato suderinamumo testas tikrina, ar dažniai 9 kategorijose atitinka Puasono skirstinį, kurio vidurkis įvertintas iš tų pačių duomenų. Kiek laisvės laipsnių df turi testas?

k = 9
df =

3Tirpalai

1.Psichologijos tyrimų metodai

Atsakymas: A · Visi dalyviai gautų tą pačią informaciją tuo pačiu būdu

Kodėl tai yra atsakymas

Standartizavimas pašalina procedūros svyravimus kaip pašalinį kintamąjį ir leidžia tyrimą pakartoti.

Atsakymas

A · Visi dalyviai gautų tą pačią informaciją tuo pačiu būdu
2.Psichologijos tyrimų metodai

Atsakymas: D · Karštas oras didina ir ledų pardavimus, ir maudymąsi

Kodėl tai yra atsakymas

Abu sukelia trečiasis kintamasis – temperatūra. Tai iliustruoja, kodėl vien koreliacija negali parodyti priežastingumo.

Atsakymas

D · Karštas oras didina ir ledų pardavimus, ir maudymąsi
3.Aprašomoji statistika

Atsakymas: s = 11,77

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Vidurkis

x̄ = 246/7 = 35,14

Nuokrypių kvadratai

Σ(x − x̄)² = (−6,143)² + (−2,143)² + 18,86² + (−3,143)² + (−9,143)² + (−12,14)² + 13,86² = 830,9

Standartinis nuokrypis

s = √(830,9/6) = 11,77

Atsakymas

s = 11,77
4.Aprašomoji statistika

Atsakymas: z = −0,5

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Standartizuokite

z = (60 − 70)/20 = −0,5

Atsakymas

z = −0,5
5.Tikimybė

Atsakymas: Var(X) = 94,75

Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.

Vidurkis

μ = 10·0,15 + 20·0,35 + 30·0,3 + 40·0,2 = 25,5

Kvadratų vidurkis

E(X²) = 100·0,15 + 400·0,35 + 900·0,3 + 1600·0,2 = 745

Dispersija

Var(X) = 745 − 25,5² = 94,75

Atsakymas

Var(X) = 94,75
6.Tikimybė

Atsakymas: E(G) = 1,5 €

Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.

Grynosios baigtys

G: 20 (p = 0,25), 190 (p = 0,02), −10 (p = 0,73)

Laukiamoji vertė

E(G) = 20·0,25 + 190·0,02 − 10·0,73 = 1,5 €

Atsakymas

E(G) = 1,5 €

Teigiama vertė reiškia, kad vidutiniškai laimite pinigų.

7.Normalusis skirstinys

Atsakymas: z = 0,85

Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.

Plotas kairėje nuo z

Φ(z) = (1 + 0,6047)/2 = 0,8023

Skaitykite z lentelę atvirkščiai

Lentelėje suraskite 0,8023 ir nuskaitykite z.

z = 0,85

Atsakymas

z = 0,85
8.Normalusis skirstinys

Atsakymas: x = 527 h

Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.

Procentilio z

Φ(z) = 0,75 → z = 0,6745

Atgal į x

x = 500 + 0,6745·40 = 526,98 h

Atsakymas

x = 526,98 h
9.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: E = 17,28

Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.

Kritinė reikšmė

df = n − 1 = 5, t = 4,032

Paklaidos riba

E = 4,032·10,5/√6 = 17,28

Atsakymas

E = 17,28
10.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: n = 32

Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.

Išreikškite n

n = (1,645·17/5)² = 31,28

Apvalinkite aukštyn

Imties dydis yra sveikasis skaičius, o apvalinant žemyn paklaidos riba būtų per didelė.

n = 32

Atsakymas

n = 32
11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: t = −2,198

Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).

Standartinė paklaida

SE = 15/√49 = 15/7 = 2,143

Testo statistika

t = (45,29 − 50)/2,143 = −2,198

Atsakymas

t = −2,198
t0,025; df = 48 = 2,011

|t| > 2,011, todėl H₀ atmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).

12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: n = 308

Imties dydis testui: kad vienpusis z testas α lygmeniu aptiktų tikrąjį poslinkį δ su galia 1 − β, standartinė paklaida turi tenkinti δ = (z_α + z_β)·σ/√n, todėl n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², suapvalinta į didesnę pusę.

Išreikškite n

n = ((1,645 + 1,645)·16/3)² = 307,9

Apvalinkite aukštyn

n = 308

Atsakymas

n = 308
13.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: r = 0,9949

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Vidurkiai

x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 170/6 = 28,33

Kvadratų ir sandaugų sumos

Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 278
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1115

Koreliacijos koeficientas

r = 278/√(70·1115) = 0,9949

Atsakymas

r = 0,9949
14.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: e = −1,719

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Vidurkiai

x̄ = 129/6 = 21,5
ȳ = 455/6 = 75,83

Kvadratų ir sandaugų sumos

Sxx = Σ(x − x̄)² = 157,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 583,5

Regresijos tiesė

b = 583,5/157,5 = 3,705
a = 75,83 − 3,705·21,5 = −3,819
ŷ = −3,819 + 3,705·x

Prognozuojama reikšmė

ŷ = −3,819 + 3,705·18,5 = 64,72

Liekana

e = 63 − 64,72 = −1,719

Atsakymas

e = −1,719

Taškas yra po tiese.

15.Chi kvadrato testai

Atsakymas: E = 36,65

Chi kvadrato testai: stebėtus dažnius O palyginkite su pagal H₀ tikėtinais dažniais E naudodami χ² = Σ(O − E)²/E. Suderinamumo kriterijus: kiekvienai kategorijai E = n·p, df = k − 1 (ir dar minus vienas už kiekvieną iš duomenų įvertintą parametrą). Nepriklausomumas r × c lentelėje: E = eilutės suma × stulpelio suma / bendra suma, df = (r − 1)(c − 1). H₀ atmeskite, kai χ² viršija pasirinktą α atitinkančią kritinę reikšmę.

Tikėtinas dažnis

E = 93·67/170 = 36,65

Atsakymas

E = 36,65
16.Chi kvadrato testai

Atsakymas: df = 7

Chi kvadrato testai: stebėtus dažnius O palyginkite su pagal H₀ tikėtinais dažniais E naudodami χ² = Σ(O − E)²/E. Suderinamumo kriterijus: kiekvienai kategorijai E = n·p, df = k − 1 (ir dar minus vienas už kiekvieną iš duomenų įvertintą parametrą). Nepriklausomumas r × c lentelėje: E = eilutės suma × stulpelio suma / bendra suma, df = (r − 1)(c − 1). H₀ atmeskite, kai χ² viršija pasirinktą α atitinkančią kritinę reikšmę.

Laisvės laipsniai

df = 9 − 1 − 1 = 7

Atsakymas

df = 7

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology