Aprašomoji statistika
- Vidurkis
- x̄ = Σx/n
- Imties standartinis nuokrypis
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Mediana
- vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
- z įvertis
- z = (x − μ)/σ
- Normalusis skirstinys
- 68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ
Psichologijos tyrimų metodai ir statistika: pasiruošimo paketas
Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 16 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.
1Formulės ir metodai
Tikimybė
- Priešingas įvykis
- P(not A) = 1 − P(A)
- Sudėties taisyklė
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Nepriklausomi įvykiai
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Sąlyginė tikimybė
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binominis skirstinys
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Normalusis skirstinys
- z įvertis
- z = (x − μ)/σ
- Mažiau nei x
- P(X < x) = Φ(z)
- Daugiau nei x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Tarp
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Procentilis
- x = μ + z·σ
Metodas
- Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
- Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
- Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
- Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.
Pasikliautinieji intervalai
- σ žinomas
- x̄ ± z·σ/√n
- σ nežinomas
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Kritinė z reikšmė
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Imties dydis
- n = (z·σ/E)², rounded up
Metodas
- Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
- Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
- Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
- Intervalas: x̄ ± E.
Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
- z testas vidurkiui
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- t testas vidurkiui
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo
- atmeskite H0, jei |z| > 1,96
- Pasikliautinasis intervalas
- x̄ ± z·σ/√n
Metodas
- Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
- Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
- Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
- H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.
Tiesinė regresija ir koreliacija
- Kvadratų sumos
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Krypties koeficientas
- b = Sxy/Sxx
- Laisvasis narys
- a = ȳ − b·x̄
- Koreliacija
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Liekana
- e = y − ŷ
Chi kvadrato testai
- Testo statistika
- χ² = Σ(O − E)²/E
- Suderinamumo kriterijus
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- Nepriklausomumas
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- Kritinės reikšmės (α = 0,05)
- df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
- Sprendimas
- atmeskite H0, jei χ² > χ²crit
2Uždaviniai
1.Psichologijos tyrimų metodaiVidutinis
Standartizuotos instrukcijos eksperimente naudojamos tam, kad:
- ADalyviai galėtų patys pasirinkti sąlygas
- BTyrėjas galėtų pritaikyti procedūrą kiekvieno dalyvio poreikiams
- CRezultatai taptų statistiškai reikšmingi
- DVisi dalyviai gautų tą pačią informaciją tuo pačiu būdu
2.Psichologijos tyrimų metodaiSunkus
Teminėje analizėje analitikas daugiausia:
- AApskaičiuoja kiekvienos temos vidutinį įvertį, kad jas būtų galima statistiškai palyginti
- BSkaičiuoja tik žodžių dažnius
- CTikrina skaitinę hipotezę
- DNustato pasikartojančius prasmės modelius kokybiniuose duomenyse
3.Aprašomoji statistikaVidutinis
Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 31, 50, 28, 50, 45.
n = 5
s =
4.Aprašomoji statistikaSunkus
Egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 100, standartinis nuokrypis 20. Raskite rezultato 76 z įvertį z.
μ = 100σ = 20x = 76
z =
5.TikimybėVidutinis
Simetriškas kauliukas metamas 3 kartus. Kokia tikimybė P gauti bent vieną šešetą?
n = 3
P =
6.TikimybėSunkus
Tikrinami 7 komponentai, kiekvienas sugenda nepriklausomai su tikimybe 0,3. Kokia tikimybė P, kad suges daugiausia vienas?
n = 7p = 0,3
P =
7.Normalusis skirstinysVidutinis
Nuvilkite z, kad nuspalvintas plotas po standartine normaliąja kreive, dešinėje nuo z, būtų 0,2119. Raskite z dviejų ženklų po kablelio tikslumu.
A = 0,2119
z =
8.Normalusis skirstinysSunkus
baterijų veikimo trukmės pasiskirstę normaliai, vidurkis 500 h, standartinis nuokrypis 40 h. Nuvilkite ribą taip, kad nuspalvinti viršutiniai 80 % būtų dešinėje nuo jos. Raskite ribą x.
μ = 500 hσ = 40 h80%
x = h
9.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis
Vidurkio 90 % pasikliautinojo intervalo, pagrįsto 36 stebėjimais ir žinomu σ, paklaidos riba yra 1,8. Kokia yra tų pačių duomenų 99 % intervalo paklaidos riba E₂?
90%n₁ = 36E₁ = 1,899%
E₂ =
10.Pasikliautinieji intervalaiSunkus
Bandomos dvi trąšos. 1 sklypų grupė: 16 sklypų, vidutinis derlius 40,5 kg, standartinis nuokrypis 2,5 kg. 2 sklypų grupė: 10 sklypų, vidurkis 42 kg, standartinis nuokrypis 8,5 kg. Laikykite, kad dispersijos lygios (jungtinis t, df = n₁ + n₂ − 2). Raskite μ₁ − μ₂ 95 % pasikliautinojo intervalo apatinį rėžį.
n₁ = 16x̄₁ = 40,5s₁ = 2,5n₂ = 10x̄₂ = 42s₂ = 8,595%t(24) = 2,064
apatinis rėžis = kg
11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
10 darbuotojų rašymo klaviatūra testą atlieka prieš mokymo kursus ir po jų. Kiekvienam asmeniui užrašomas skirtumas d = po − prieš (žodžiai per minutę). Vidutinis skirtumas 12,75, o skirtumų standartinis nuokrypis 11,2. Raskite porinio testo statistiką t hipotezei H₀: μd = 0.
n = 10d̄ = 12,75sd = 11,2
t =
12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
Kokia didelė turi būti imtis, kad vidurkio 90 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 3? Standartinis nuokrypis – 5. Raskite mažiausią imties dydį n.
σ = 5E = 390%
n =
13.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis
Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = temperatūra °C ir y = parduoti ledai. Pateiktos jų sumos. Pagal šias sumas raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.
n = 5Σx = 110Σy = 590Σx² = 2460Σy² = 71192Σxy = 13224
r =
14.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus
Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = apkrova kN ir y = pailgėjimas mm. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Kuriai reikšmei x tiesė prognozuoja ŷ = 14?
n = 5ŷ = 14
x =
15.Chi kvadrato testaiVidutinis
Kryžminėje lentelėje pateikti stebėti dažniai. Apskaičiuokite eilučių ir stulpelių kintamųjų nepriklausomumo testo chi kvadrato statistiką χ². Tolydumo pataisos nenaudokite.
N = 1402 × 3
χ² =
16.Chi kvadrato testaiSunkus
Lentelėje pateikti stebėti dažniai. Esant α = 0,05 patikrinkite, ar abu kintamieji nepriklausomi (be tolydumo pataisos). Apskaičiuokite testo statistiką χ², tada palyginkite ją su kritine reikšme iš lentelės.
N = 2003 × 2α = 0,05
χ² =
3Tirpalai
1.Psichologijos tyrimų metodai
Atsakymas: D · Visi dalyviai gautų tą pačią informaciją tuo pačiu būdu
Kodėl tai yra atsakymas
Standartizavimas pašalina procedūros svyravimus kaip pašalinį kintamąjį ir leidžia tyrimą pakartoti.
Atsakymas
D · Visi dalyviai gautų tą pačią informaciją tuo pačiu būdu
2.Psichologijos tyrimų metodai
Atsakymas: D · Nustato pasikartojančius prasmės modelius kokybiniuose duomenyse
Kodėl tai yra atsakymas
Teminė analizė apima susipažinimą su duomenimis, kodavimą, temų kūrimą, peržiūrą ir įvardijimą bei ataskaitos rašymą; jos dėmesys – prasmė, o ne statistika.
Atsakymas
D · Nustato pasikartojančius prasmės modelius kokybiniuose duomenyse
3.Aprašomoji statistika
Atsakymas: s = 10,57
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Vidurkis
x̄ = 204/5 = 40,8
Nuokrypių kvadratai
Σ(x − x̄)² = (−9,8)² + 9,2² + (−12,8)² + 9,2² + 4,2² = 446,8
Standartinis nuokrypis
s = √(446,8/4) = 10,57
Atsakymas
s = 10,57
4.Aprašomoji statistika
Atsakymas: z = −1,2
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Standartizuokite
z = (76 − 100)/20 = −1,2
Atsakymas
z = −1,2
5.Tikimybė
Atsakymas: P = 0,4213
Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Priešingas įvykis
P(nėra šešeto) = (5/6)3 = 0,5787
P = 1 − 0,5787 = 0,4213
Atsakymas
P = 0,4213
6.Tikimybė
Atsakymas: P = 0,3294
Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Nulis ir vienas gedimas
P(X = 0) = 0,77 = 0,08235
P(X = 1) = 7·0,3·0,76 = 0,2471
Sudėkite
P = 0,08235 + 0,2471 = 0,3294
Atsakymas
P = 0,3294
7.Normalusis skirstinys
Atsakymas: z = 0,8
Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.
Plotas kairėje nuo z
Φ(z) = 1 − 0,2119 = 0,7881
Skaitykite z lentelę atvirkščiai
Lentelėje suraskite 0,7881 ir nuskaitykite z.
z = 0,80
Atsakymas
z = 0,80
8.Normalusis skirstinys
Atsakymas: x = 466 h
Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.
Plotas kairėje
Φ(z) = 0,2
z iš lentelės
z ≈ −0,84
Atgal į pradinius vienetus
x = 500 − 0,84·40 = 466 h
Atsakymas
x = 466 h
9.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: E₂ = 2,819
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Paklaidos ribų santykis
E₂/E₁ = (2,576/1,645)·√(36/36) = 1,566
Nauja paklaidos riba
E₂ = 1,8·1,566 = 2,819
Atsakymas
E₂ = 2,819
10.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: apatinis rėžis = −6,133 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Jungtinis standartinis nuokrypis
sp² = (15·2,5² + 9·8,5²)/24 = 31
sp = 5,568
Paklaidos riba
E = 2,064·5,568·√(1/16 + 1/10) = 4,633
Intervalas
−1,5 ± 4,633 → [−6,133, 3,133]
Atsakymas
apatinis rėžis = −6,133 kg
11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: t = 3,6
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Vidutinio skirtumo standartinė paklaida
SE = 11,2/√10 = 3,542
Testo statistika
t = 12,75/3,542 = 3,6
Atsakymas
t = 3,6
Kai df = 9, dvipusio 5 % testo kritinė reikšmė yra 2,262; |t| didesnis, todėl H₀ atmetama.
12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: n = 8
Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).
Išreikškite n
n = (1,645·5/3)² = 7,517
Apvalinkite aukštyn
n = 8
Atsakymas
n = 8
13.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: r = 0,973
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Centruotos sumos
Sxy = 13224 − 110·590/5 = 244
Sxx = 2460 − 110²/5 = 40
Syy = 71192 − 590²/5 = 1572
Koreliacijos koeficientas
r = 244/√(40·1572) = 0,973
Atsakymas
r = 0,973
14.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: x = 3,063
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 128/5 = 25,6
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 158
Regresijos tiesė
b = 158/40 = 3,95
a = 25,6 − 3,95·6 = 1,9
ŷ = 1,9 + 3,95·x
Išspręskite x atžvilgiu
x = (14 − 1,9)/3,95 = 3,063
Atsakymas
x = 3,063
15.Chi kvadrato testai
Atsakymas: χ² = 15,33
Chi kvadrato testai: stebėtus dažnius O palyginkite su pagal H₀ tikėtinais dažniais E naudodami χ² = Σ(O − E)²/E. Suderinamumo kriterijus: kiekvienai kategorijai E = n·p, df = k − 1 (ir dar minus vienas už kiekvieną iš duomenų įvertintą parametrą). Nepriklausomumas r × c lentelėje: E = eilutės suma × stulpelio suma / bendra suma, df = (r − 1)(c − 1). H₀ atmeskite, kai χ² viršija pasirinktą α atitinkančią kritinę reikšmę.
Tikėtini dažniai
dieninė pamaina: 100·70/140 = 50, 100·35/140 = 25, 100·35/140 = 25
naktinė pamaina: 40·70/140 = 20, 40·35/140 = 10, 40·35/140 = 10
Chi kvadrato statistika
χ² = (43 − 50)²/50 + (34 − 25)²/25 + (23 − 25)²/25 + (27 − 20)²/20 + (1 − 10)²/10 + (12 − 10)²/10
χ² = 15,33
Atsakymas
χ² = 15,33
df = 2. Kai α = 0,05, kritinė reikšmė yra 5,991, todėl H₀ (nepriklausomumas) atmetama.
16.Chi kvadrato testai
Atsakymas: χ² = 10,81
Chi kvadrato testai: stebėtus dažnius O palyginkite su pagal H₀ tikėtinais dažniais E naudodami χ² = Σ(O − E)²/E. Suderinamumo kriterijus: kiekvienai kategorijai E = n·p, df = k − 1 (ir dar minus vienas už kiekvieną iš duomenų įvertintą parametrą). Nepriklausomumas r × c lentelėje: E = eilutės suma × stulpelio suma / bendra suma, df = (r − 1)(c − 1). H₀ atmeskite, kai χ² viršija pasirinktą α atitinkančią kritinę reikšmę.
Tikėtini dažniai
linija 1: 75, 25
linija 2: 30, 10
linija 3: 45, 15
Chi kvadrato statistika
χ² = (81 − 75)²/75 + (19 − 25)²/25 + (22 − 30)²/30 + (18 − 10)²/10 + (47 − 45)²/45 + (13 − 15)²/15
χ² = 10,81
Sprendimas
df = 2, χ²crit = 5,991
10,81 > 5,991
Atsakymas
χ² = 10,81
χ² didesnis už kritinę reikšmę, todėl H₀ atmetama: atrodo, kad kintamieji susiję.
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology