Psichologijos tyrimų metodai ir statistika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 16 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Aprašomoji statistika

Vidurkis: x̄ = Σx/n
Imties standartinis nuokrypis: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
z įvertis: z = (x − μ)/σ
Normalusis skirstinys: 68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ

Tikimybė

Priešingas įvykis: P(not A) = 1 − P(A)
Sudėties taisyklė: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Nepriklausomi įvykiai: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Sąlyginė tikimybė: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binominis skirstinys: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normalusis skirstinys

z įvertis: z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x: P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Procentilis: x = μ + z·σ

Metodas

Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

Pasikliautinieji intervalai

σ žinomas: x̄ ± z·σ/√n
σ nežinomas: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritinė z reikšmė: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Imties dydis: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodas

Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
Intervalas: x̄ ± E.

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

z testas vidurkiui: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t testas vidurkiui: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo: atmeskite H₀, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas: x̄ ± z·σ/√n

Metodas

Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.

Tiesinė regresija ir koreliacija

Kvadratų sumos: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Krypties koeficientas: b = S_xy/S_xx
Laisvasis narys: a = ȳ − b·x̄
Koreliacija: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Liekana: e = y − ŷ

Chi kvadrato testai

Testo statistika: χ² = Σ(O − E)²/E
Suderinamumo kriterijus: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Nepriklausomumas: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Kritinės reikšmės (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Sprendimas: atmeskite H₀, jei χ² > χ²_crit

2Uždaviniai

1.Psichologijos tyrimų metodaiVidutinis

I rūšies klaida įvyksta, kai tyrėjas:

ANaudoja netinkamą statistinį testą
BAtmeta nulinę hipotezę, kuri iš tikrųjų teisinga
CNeatmeta klaidingos nulinės hipotezės
DSurenka per daug duomenų

2.Psichologijos tyrimų metodaiSunkus

Grindžiamosios teorijos (grounded theory) metodu duomenys renkami tol, kol:

AApklausta bent 1,000 dalyvių
BGaunama p reikšmė, mažesnė nei 0,05
CPatvirtinama pradinė hipotezė
DPasiekiamas teorinis prisotinimas ir nauji duomenys nebeprideda naujų kategorijų

3.Aprašomoji statistikaVidutinis

Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 14, 43, 60, 54, 28, 39, 43.

n = 7

s =

4.Aprašomoji statistikaSunkus

Dydis pasiskirstęs normaliai, vidurkis 100, standartinis nuokrypis 10. Kokia reikšmių dalis P yra mažesnė už 104?

μ = 100σ = 10x = 104

P =

5.TikimybėVidutinis

Maišelyje yra 8 raudoni ir 8 mėlyni rutuliai. Ištraukiate du rutulius, pirmojo negrąžindami. Kokia tikimybė P, kad abu raudoni?

8 / 8

P =

6.TikimybėSunkus

Teste yra 12 klausimų su pasirenkamaisiais atsakymais. Spėliojanti studentė į kiekvieną atsako teisingai su tikimybe 0,4, nepriklausomai. Kokia tikimybė P, kad teisingų atsakymų bus lygiai 1?

n = 12p = 0,4k = 1

P =

7.Normalusis skirstinysVidutinis

Tarkime, kad suaugusių vyrų ūgiai pasiskirstę normaliai, vidurkis 178 cm, standartinis nuokrypis 7 cm. Kokia dalis reikšmių yra tarp 167,5 ir 190,6 cm? P pateikite dešimtaine trupmena.

μ = 178σ = 7x₁ = 167,5x₂ = 190,6

P =

8.Normalusis skirstinysSunkus

Skylių skersmenys D yra normalieji, jų vidurkis 25,02 mm ir standartinis nuokrypis 0,01 mm. Velenų skersmenys d yra nepriklausomi normalieji, jų vidurkis 25 mm ir standartinis nuokrypis 0,02 mm. Atsitiktinai pasirinktas velenas tinka, kai D − d > 0. Raskite tikimybę P, kad jis tinka. Suapvalinkite z iki dviejų skaitmenų po kablelio.

skylė: μ = 25,02 mm, σ = 0,01 mmvelenas: μ = 25 mm, σ = 0,02 mm

P =

9.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis

7 elementų imties vidurkis – 29,5, standartinis nuokrypis s = 16. Populiacija pasiskirsčiusi apytiksliai normaliai. Raskite vidurkio 99 % pasikliautinojo intervalo apatinį rėžį.

n = 7x̄ = 29,5s = 1699%t(6) = 3,707

apatinis rėžis =

10.Pasikliautinieji intervalaiSunkus

Bandomos dvi trąšos. 1 sklypų grupė: 6 sklypų, vidutinis derlius 87 kg, standartinis nuokrypis 4 kg. 2 sklypų grupė: 6 sklypų, vidurkis 92,5 kg, standartinis nuokrypis 7,5 kg. Laikykite, kad dispersijos lygios (jungtinis t, df = n₁ + n₂ − 2). Raskite μ₁ − μ₂ 99 % pasikliautinojo intervalo paklaidos ribą E.

n₁ = 6x̄₁ = 87s₁ = 4n₂ = 6x̄₂ = 92,5s₂ = 7,599%t(10) = 3,169

E = kg

11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis

16 studentų imties vidutinis rezultatas – 198,9, imties standartinis nuokrypis – 5. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ = 200.

μ₀ = 200x̄ = 198,9s = 5n = 16

t =

12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus

Kokia didelė turi būti imtis, kad vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 3? Standartinis nuokrypis – 15. Raskite mažiausią imties dydį n.

σ = 15E = 395%

n =

13.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = reklamos išlaidos k€ ir y = pardavimai k€. Raskite mažiausiųjų kvadratų tiesės determinacijos koeficientą r².

n = 6

r² =

14.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus

Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = temperatūra °C ir y = parduoti ledai. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Kuriai reikšmei x tiesė prognozuoja ŷ = 157?

n = 5ŷ = 157

x =

15.Chi kvadrato testaiVidutinis

Kryžminėje lentelėje pateikti stebėti dažniai. Apskaičiuokite eilučių ir stulpelių kintamųjų nepriklausomumo testo chi kvadrato statistiką χ². Tolydumo pataisos nenaudokite.

N = 1802 × 2

χ² =

16.Chi kvadrato testaiSunkus

Chi kvadrato nepriklausomumo testas atliekamas kryžminei lentelei, turinčiai 3 eilutes ir 5 stulpelius (neskaičiuojant sumų). Kiek laisvės laipsnių df turi testas?

3 × 5

df =

3Tirpalai

1.Psichologijos tyrimų metodai

Atsakymas: B · Atmeta nulinę hipotezę, kuri iš tikrųjų teisinga

Kodėl tai yra atsakymas

I rūšies klaida skelbia poveikį, kurio nėra. Jos tikimybė lygi reikšmingumo lygmeniui (dažnai 0,05). II rūšies klaida praleidžia tikrą poveikį.

Atsakymas

B · Atmeta nulinę hipotezę, kuri iš tikrųjų teisinga

2.Psichologijos tyrimų metodai

Atsakymas: D · Pasiekiamas teorinis prisotinimas ir nauji duomenys nebeprideda naujų kategorijų

Kodėl tai yra atsakymas

Grindžiamoji teorija kuria teoriją induktyviai, kartu renkant ir koduojant duomenis, ir atranka nutraukiama, kai nauji duomenys nebeplėtoja kategorijų.

Atsakymas

D · Pasiekiamas teorinis prisotinimas ir nauji duomenys nebeprideda naujų kategorijų

3.Aprašomoji statistika

Atsakymas: s = 15,46

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Vidurkis

x̄ = 281/7 = 40,14

Nuokrypių kvadratai

Σ(x − x̄)² = (−26,14)² + 2,857² + 19,86² + 13,86² + (−12,14)² + (−1,143)² + 2,857² = 1435

Standartinis nuokrypis

s = √(1435/6) = 15,46

Atsakymas

s = 15,46

4.Aprašomoji statistika

Atsakymas: P = 0,6554

Standartizuokite

z = 0,4

Standartinio normaliojo skirstinio lentelė

Φ(0,4) = 0,6554

P = 0,6554

Atsakymas

P = 0,6554

5.Tikimybė

Atsakymas: P = 0,2333

Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Pirmas ir antras traukimas

P = 8/16 · 7/15 = 56/240 = 0,2333

Atsakymas

P = 0,2333

6.Tikimybė

Atsakymas: P = 0,01741

Binominė formulė

P(X = 1) = 12·0,4¹·0,6¹¹ = 12·0,4·0,003628 = 0,01741

Atsakymas

P = 0,01741

7.Normalusis skirstinys

Atsakymas: P = 0,8973

Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.

z įverčiai

z₁ = (167,5 − 178)/7 = −1,5

z₂ = (190,6 − 178)/7 = 1,8

Plotas tarp

P = Φ(1,8) − Φ(−1,5) = 0,9641 − 0,06681 = 0,8973

Atsakymas

P = 0,8973

8.Normalusis skirstinys

Atsakymas: P = 0,8133

Normaliųjų dydžių sumos ir skirtumai: jei X ir Y yra nepriklausomi ir normalieji, tai X + Y ir X − Y taip pat normalieji. Vidurkiai sudedami arba atimami: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Dispersijos visada sudedamos, net ir skirtumui: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², todėl σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standartiniai nuokrypiai tiesiogiai niekada nesudedami. n nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių elementų sumos vidurkis yra n·μ, o standartinis nuokrypis σ·√n. Tada standartizuokite kaip įprasta: z = (x − vidurkis)/σ ir raskite Φ(z).

Skirtumo skirstinys

μ = 25,02 − 25 = 0,02 mm, σ = 0,02236 mm

Standartizuokite

z = (0 − 0,02)/0,02236 = −0,89

Tikimybė

P = 1 − Φ(−0,89) = 0,8133

Atsakymas

P = 0,8133

9.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: apatinis rėžis = 7,082

Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.

Kritinė reikšmė

df = n − 1 = 6, t = 3,707

Paklaidos riba

E = 3,707·16/√7 = 22,42

Intervalas

29,5 ± 22,42 → [7,082, 51,92]

Atsakymas

apatinis rėžis = 7,082

10.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: E = 11 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Jungtinis standartinis nuokrypis

s_p² = (5·4² + 5·7,5²)/10 = 36,13

s_p = 6,01

Paklaidos riba

E = 3,169·6,01·√(1/6 + 1/6) = 11

Atsakymas

E = 11 kg

11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: t = −0,88

Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).

Standartinė paklaida

SE = 5/√16 = 5/4 = 1,25

Testo statistika

t = (198,9 − 200)/1,25 = −0,88

Atsakymas

t = −0,88

t_{0,025; df = 15} = 2,131

|t| < 2.131, todėl H₀ neatmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).

12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: n = 97

Išreikškite n

n = (1,96·15/3)² = 96,04

Apvalinkite aukštyn

n = 97

Atsakymas

n = 97

13.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: r² = 0,8607

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Vidurkiai

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 305/6 = 50,83

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 65,5

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 284,8

Determinacijos koeficientas

r² = 65,5²/(17,5·284,8) = 0,8607

Atsakymas

r² = 0,8607

Apie 86,07% y kitimo paaiškinama tiese.

14.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: x = 28,46

Vidurkiai

x̄ = 120/5 = 24

ȳ = 637/5 = 127,4

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 597

Regresijos tiesė

b = 597/90 = 6,633

a = 127,4 − 6,633·24 = −31,8

ŷ = −31,8 + 6,633·x

Išspręskite x atžvilgiu

x = (157 − (−31,8))/6,633 = 28,46

Atsakymas

x = 28,46

15.Chi kvadrato testai

Atsakymas: χ² = 15,84

Chi kvadrato testai: stebėtus dažnius O palyginkite su pagal H₀ tikėtinais dažniais E naudodami χ² = Σ(O − E)²/E. Suderinamumo kriterijus: kiekvienai kategorijai E = n·p, df = k − 1 (ir dar minus vienas už kiekvieną iš duomenų įvertintą parametrą). Nepriklausomumas r × c lentelėje: E = eilutės suma × stulpelio suma / bendra suma, df = (r − 1)(c − 1). H₀ atmeskite, kai χ² viršija pasirinktą α atitinkančią kritinę reikšmę.

Tikėtini dažniai

naujas vaistas: 100·72/180 = 40, 100·108/180 = 60

placebas: 80·72/180 = 32, 80·108/180 = 48

Chi kvadrato statistika

χ² = (53 − 40)²/40 + (47 − 60)²/60 + (19 − 32)²/32 + (61 − 48)²/48

χ² = 15,84

Atsakymas

χ² = 15,84

df = 1. Kai α = 0,05, kritinė reikšmė yra 3,841, todėl H₀ (nepriklausomumas) atmetama.

16.Chi kvadrato testai

Atsakymas: df = 8

Laisvės laipsniai

df = (3 − 1)·(5 − 1) = 8

Atsakymas

df = 8

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology