Psichologijos tyrimų metodai ir statistika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 16 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Aprašomoji statistika

Vidurkis: x̄ = Σx/n
Imties standartinis nuokrypis: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
z įvertis: z = (x − μ)/σ
Normalusis skirstinys: 68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ

Tikimybė

Priešingas įvykis: P(not A) = 1 − P(A)
Sudėties taisyklė: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Nepriklausomi įvykiai: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Sąlyginė tikimybė: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binominis skirstinys: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normalusis skirstinys

z įvertis: z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x: P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Procentilis: x = μ + z·σ

Metodas

Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

Pasikliautinieji intervalai

σ žinomas: x̄ ± z·σ/√n
σ nežinomas: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritinė z reikšmė: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Imties dydis: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodas

Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
Intervalas: x̄ ± E.

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

z testas vidurkiui: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t testas vidurkiui: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo: atmeskite H₀, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas: x̄ ± z·σ/√n

Metodas

Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.

Tiesinė regresija ir koreliacija

Kvadratų sumos: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Krypties koeficientas: b = S_xy/S_xx
Laisvasis narys: a = ȳ − b·x̄
Koreliacija: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Liekana: e = y − ŷ

Chi kvadrato testai

Testo statistika: χ² = Σ(O − E)²/E
Suderinamumo kriterijus: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Nepriklausomumas: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Kritinės reikšmės (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Sprendimas: atmeskite H₀, jei χ² > χ²_crit

2Uždaviniai

1.Psichologijos tyrimų metodaiVidutinis

Ekspertai tikrina, ar matematikos egzamino punktai apima visas programos temas. Tai vertina:

ATurinio validumą
BTesto ir pakartotinio testo patikimumą
CEkologinį validumą
DPrognostinį validumą

2.Psichologijos tyrimų metodaiSunkus

Teminėje analizėje analitikas daugiausia:

ATikrina skaitinę hipotezę
BApskaičiuoja kiekvienos temos vidutinį įvertį, kad jas būtų galima statistiškai palyginti
CSkaičiuoja tik žodžių dažnius
DNustato pasikartojančius prasmės modelius kokybiniuose duomenyse

3.Aprašomoji statistikaVidutinis

Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 20, 32, 20, 21, 26, 20, 38.

n = 7

s =

4.Aprašomoji statistikaSunkus

Dydis pasiskirstęs normaliai, vidurkis 70, standartinis nuokrypis 10. Kokia reikšmių dalis P yra mažesnė už 76?

μ = 70σ = 10x = 76

P =

5.TikimybėVidutinis

Parodytam skirstiniui raskite X dispersiją Var(X).

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,25, 0,15, 0,1, 0,2, 0,3

Var(X) =

6.TikimybėSunkus

X turi parodytą skirstinį, o Y = 2X + 20. Raskite Y standartinį nuokrypį σ_Y.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,3, 0,2, 0,25, 0,25Y = 2X + 20

σ_Y =

7.Normalusis skirstinysVidutinis

Nuvilkite z, kad nuspalvintas plotas tarp −z ir z po standartine normaliąja kreive būtų 0,6424. Raskite z dviejų ženklų po kablelio tikslumu.

A = 0,6424

z =

8.Normalusis skirstinysSunkus

Gaminio masė X iš 1 linijos ir Y iš 2 linijos yra nepriklausomi ir normalieji: X vidurkis 500 g ir standartinis nuokrypis 8 g, Y vidurkis 490 g ir standartinis nuokrypis 6 g. Raskite tikimybę P, kad X yra didesnis už Y. Suapvalinkite z iki dviejų skaitmenų po kablelio.

μ_X = 500 g, σ_X = 8 gμ_Y = 490 g, σ_Y = 6 g

P =

9.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis

25 elementų imties vidurkis – 53, standartinis nuokrypis s = 11. Populiacija pasiskirsčiusi apytiksliai normaliai. Raskite vidurkio 90 % pasikliautinojo intervalo paklaidos ribą E.

n = 25x̄ = 53s = 1190%t(24) = 1,711

E =

10.Pasikliautinieji intervalaiSunkus

Populiacijos standartinis nuokrypis – 13. Kokio dydžio imties n reikia, kad vidurkio 90 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 0,5?

σ = 13E = 0,590%

n =

11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis

100 studentų imties vidutinis rezultatas – 117,4, imties standartinis nuokrypis – 12. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ = 120.

μ₀ = 120x̄ = 117,4s = 12n = 100

t =

12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus

Kokia didelė turi būti imtis, kad vidurkio 90 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 1? Standartinis nuokrypis – 15. Raskite mažiausią imties dydį n.

σ = 15E = 190%

n =

13.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis

Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = reklamos išlaidos k€ ir y = pardavimai k€. Pateiktos jų sumos. Pagal šias sumas raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.

n = 5Σx = 35Σy = 318Σx² = 285Σy² = 20878Σxy = 2382

r =

14.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = apkrova kN ir y = pailgėjimas mm. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Gautas naujas stebėjimas (11, 22). Raskite jo liekaną e = y − ŷ.

n = 6(11, 22)

e =

15.Chi kvadrato testaiVidutinis

Kryžminėje lentelėje pateikti stebėti dažniai. Chi kvadrato nepriklausomumo testui raskite langelio „naktinė pamaina, be defektų“ tikėtiną dažnį E.

eilutės suma = 112stulpelio suma = 56N = 158

E =

16.Chi kvadrato testaiSunkus

Chi kvadrato nepriklausomumo testas atliekamas kryžminei lentelei, turinčiai 2 eilutes ir 5 stulpelius (neskaičiuojant sumų). Kiek laisvės laipsnių df turi testas?

2 × 5

df =

3Tirpalai

1.Psichologijos tyrimų metodai

Atsakymas: A · Turinio validumą

Kodėl tai yra atsakymas

Turinio validumas yra tai, kiek matas apima visus svarbius konstrukto aspektus; paprastai jį vertina ekspertai.

Atsakymas

A · Turinio validumą

2.Psichologijos tyrimų metodai

Atsakymas: D · Nustato pasikartojančius prasmės modelius kokybiniuose duomenyse

Kodėl tai yra atsakymas

Teminė analizė apima susipažinimą su duomenimis, kodavimą, temų kūrimą, peržiūrą ir įvardijimą bei ataskaitos rašymą; jos dėmesys – prasmė, o ne statistika.

Atsakymas

D · Nustato pasikartojančius prasmės modelius kokybiniuose duomenyse

3.Aprašomoji statistika

Atsakymas: s = 7,181

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Vidurkis

x̄ = 177/7 = 25,29

Nuokrypių kvadratai

Σ(x − x̄)² = (−5,286)² + 6,714² + (−5,286)² + (−4,286)² + 0,7143² + (−5,286)² + 12,71² = 309,4

Standartinis nuokrypis

s = √(309,4/6) = 7,181

Atsakymas

s = 7,181

4.Aprašomoji statistika

Atsakymas: P = 0,7257

Standartizuokite

z = 0,6

Standartinio normaliojo skirstinio lentelė

Φ(0,6) = 0,7257

P = 0,7257

Atsakymas

P = 0,7257

5.Tikimybė

Atsakymas: Var(X) = 2,528

Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σ_Y = |a|·σ_X; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.

Vidurkis

μ = 0·0,25 + 1·0,15 + 2·0,1 + 3·0,2 + 4·0,3 = 2,15

Kvadratų vidurkis

E(X²) = 0·0,25 + 1·0,15 + 4·0,1 + 9·0,2 + 16·0,3 = 7,15

Dispersija

Var(X) = 7,15 − 2,15² = 2,528

Atsakymas

Var(X) = 2,528

6.Tikimybė

Atsakymas: σ_Y = 2,322

X sklaida

μ = 2,45, Var(X) = 1,347, σ_X = 1,161

Tiesinis pokytis

σ_Y = |2|·1,161 = 2,322

Atsakymas

σ_Y = 2,322

Vidurkis pasislenka: E(Y) = 2·2,45 + 20 = 24,9.

7.Normalusis skirstinys

Atsakymas: z = 0,92

Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.

Plotas kairėje nuo z

Φ(z) = (1 + 0,6424)/2 = 0,8212

Skaitykite z lentelę atvirkščiai

Lentelėje suraskite 0,8212 ir nuskaitykite z.

z = 0,92

Atsakymas

z = 0,92

8.Normalusis skirstinys

Atsakymas: P = 0,8413

Normaliųjų dydžių sumos ir skirtumai: jei X ir Y yra nepriklausomi ir normalieji, tai X + Y ir X − Y taip pat normalieji. Vidurkiai sudedami arba atimami: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Dispersijos visada sudedamos, net ir skirtumui: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², todėl σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standartiniai nuokrypiai tiesiogiai niekada nesudedami. n nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių elementų sumos vidurkis yra n·μ, o standartinis nuokrypis σ·√n. Tada standartizuokite kaip įprasta: z = (x − vidurkis)/σ ir raskite Φ(z).

Skirtumo skirstinys

μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g

Standartizuokite

z = (0 − 10)/10 = −1

Tikimybė

P = 1 − Φ(−1) = 0,8413

Atsakymas

P = 0,8413

9.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: E = 3,764

Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.

Kritinė reikšmė

df = n − 1 = 24, t = 1,711

Paklaidos riba

E = 1,711·11/√25 = 3,764

Atsakymas

E = 3,764

10.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: n = 1830

Išreikškite n

n = (1,645·13/0,5)² = 1829

Apvalinkite aukštyn

Imties dydis yra sveikasis skaičius, o apvalinant žemyn paklaidos riba būtų per didelė.

n = 1830

Atsakymas

n = 1830

11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: t = −2,167

Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).

Standartinė paklaida

SE = 12/√100 = 12/10 = 1,2

Testo statistika

t = (117,4 − 120)/1,2 = −2,167

Atsakymas

t = −2,167

t_{0,025; df = 99} = 1,984

|t| > 1,984, todėl H₀ atmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).

12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: n = 609

Išreikškite n

n = (1,645·15/1)² = 608,9

Apvalinkite aukštyn

n = 609

Atsakymas

n = 609

13.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: r = 0,9651

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Centruotos sumos

S_xy = 2382 − 35·318/5 = 156

S_xx = 285 − 35²/5 = 40

S_yy = 20878 − 318²/5 = 653,2

Koreliacijos koeficientas

r = 156/√(40·653,2) = 0,9651

Atsakymas

r = 0,9651

14.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: e = 4,043

Vidurkiai

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 69/6 = 11,5

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 113

Regresijos tiesė

b = 113/70 = 1,614

a = 11,5 − 1,614·7 = 0,2

ŷ = 0,2 + 1,614·x

Prognozuojama reikšmė

ŷ = 0,2 + 1,614·11 = 17,96

Liekana

e = 22 − 17,96 = 4,043

Atsakymas

e = 4,043

Taškas yra virš tiesės.

15.Chi kvadrato testai

Atsakymas: E = 39,7

Chi kvadrato testai: stebėtus dažnius O palyginkite su pagal H₀ tikėtinais dažniais E naudodami χ² = Σ(O − E)²/E. Suderinamumo kriterijus: kiekvienai kategorijai E = n·p, df = k − 1 (ir dar minus vienas už kiekvieną iš duomenų įvertintą parametrą). Nepriklausomumas r × c lentelėje: E = eilutės suma × stulpelio suma / bendra suma, df = (r − 1)(c − 1). H₀ atmeskite, kai χ² viršija pasirinktą α atitinkančią kritinę reikšmę.

Tikėtinas dažnis

E = 112·56/158 = 39,7

Atsakymas

E = 39,7

16.Chi kvadrato testai

Atsakymas: df = 4

Laisvės laipsniai

df = (2 − 1)·(5 − 1) = 4

Atsakymas

df = 4

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology