Psichologijos tyrimų metodai ir statistika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 16 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Aprašomoji statistika

Vidurkis: x̄ = Σx/n
Imties standartinis nuokrypis: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
z įvertis: z = (x − μ)/σ
Normalusis skirstinys: 68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ

Tikimybė

Priešingas įvykis: P(not A) = 1 − P(A)
Sudėties taisyklė: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Nepriklausomi įvykiai: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Sąlyginė tikimybė: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binominis skirstinys: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normalusis skirstinys

z įvertis: z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x: P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Procentilis: x = μ + z·σ

Metodas

Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

Pasikliautinieji intervalai

σ žinomas: x̄ ± z·σ/√n
σ nežinomas: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritinė z reikšmė: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Imties dydis: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodas

Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
Intervalas: x̄ ± E.

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

z testas vidurkiui: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t testas vidurkiui: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo: atmeskite H₀, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas: x̄ ± z·σ/√n

Metodas

Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.

Tiesinė regresija ir koreliacija

Kvadratų sumos: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Krypties koeficientas: b = S_xy/S_xx
Laisvasis narys: a = ȳ − b·x̄
Koreliacija: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Liekana: e = y − ŷ

Chi kvadrato testai

Testo statistika: χ² = Σ(O − E)²/E
Suderinamumo kriterijus: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Nepriklausomumas: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Kritinės reikšmės (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Sprendimas: atmeskite H₀, jei χ² > χ²_crit

2Uždaviniai

1.Psichologijos tyrimų metodaiVidutinis

Reikalavimų charakteristikos (demand characteristics) yra:

AStatistinės testo prielaidos
BImties savybės
CUžuominos, dėl kurių dalyviai atspėja tikslą ir pakeičia elgesį
DFormalūs reikalavimai, kuriuos etikos komitetas iškelia prieš pradedant tyrimą

2.Psichologijos tyrimų metodaiSunkus

Daugialypėje regresijoje, prognozuojančioje egzamino įverčius pagal mokymosi valandas ir miegą, R² = 0,36. Ką tai reiškia?

APrediktoriai kartu paaiškina 36% egzamino įverčių dispersijos
B36% studentų išlaikė egzaminą
CPrediktorių koreliacija yra 0,36
DMokymosi valandos lemia 36% egzamino sėkmės

3.Aprašomoji statistikaVidutinis

Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 16, 29, 24, 44, 12, 46.

n = 6

s =

4.Aprašomoji statistikaSunkus

Dydis pasiskirstęs normaliai, vidurkis 170, standartinis nuokrypis 15. Kokia reikšmių dalis P yra didesnė už 192,5?

μ = 170σ = 15x = 192,5

P =

5.TikimybėVidutinis

Parodytam skirstiniui raskite X standartinį nuokrypį σ.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,05, 0,25, 0,35, 0,35

σ =

6.TikimybėSunkus

Žaidimo kaina yra €2. Laimite €10 su tikimybe 0,25 ir €40 su tikimybe 0,01; kitu atveju nelaimite nieko. Statymas negrąžinamas. Raskite laukiamą grynąjį laimėjimą E(G) per žaidimą.

statymas = €2€10: p = 0,25€40: p = 0,01

E(G) = €

7.Normalusis skirstinysVidutinis

Nuvilkite z, kad nuspalvintas plotas po standartine normaliąja kreive, dešinėje nuo z, būtų 0,3520. Raskite z dviejų ženklų po kablelio tikslumu.

A = 0,3520

z =

8.Normalusis skirstinysSunkus

egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 65 tšk., standartinis nuokrypis 10 tšk.. Nuvilkite ribą taip, kad nuspalvinti apatiniai 70 % būtų kairėje nuo jos. Raskite ribą x.

μ = 65 tšk.σ = 10 tšk.70%

x = tšk.

9.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis

Vidurkio 99 % pasikliautinojo intervalo, pagrįsto 100 stebėjimais ir žinomu σ, paklaidos riba yra 10,8. Kokia bus paklaidos riba E₂, jei tame pačiame tyrime bus naudojama 25 stebėjimų?

99%n₁ = 100E₁ = 10,8n₂ = 25

E₂ =

10.Pasikliautinieji intervalaiSunkus

Populiacijos standartinis nuokrypis – 40. Kokio dydžio imties n reikia, kad vidurkio 90 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 4?

σ = 40E = 490%

n =

11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis

Dvi gamybos linijos gamina tą pačią detalę. 1 linija: 100 detalių imties vidutinis ilgis 105,5 mm, o žinomas linijos standartinis nuokrypis 8 mm. 2 linija: 30 detalių imties vidurkis 101,1 mm, žinomas standartinis nuokrypis 9 mm. Raskite testo statistiką z hipotezei H₀: μ₁ = μ₂, skirtumą imdami kaip x̄₁ − x̄₂ (1 linija atėmus 2 liniją).

n₁ = 100x̄₁ = 105,5 mmσ₁ = 8 mmn₂ = 30x̄₂ = 101,1 mmσ₂ = 9 mm

z =

12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus

Kokia didelė turi būti imtis, kad vidurkio 99 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 2? Standartinis nuokrypis – 8. Raskite mažiausią imties dydį n.

σ = 8E = 299%

n =

13.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = reklamos išlaidos k€ ir y = pardavimai k€. Raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.

n = 6

r =

14.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus

Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = temperatūra °C ir y = parduoti ledai. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Prognozuokite ŷ, kai x = 16.

n = 5x = 16

ŷ =

15.Chi kvadrato testaiVidutinis

Kryžminėje lentelėje pateikti stebėti dažniai. Apskaičiuokite eilučių ir stulpelių kintamųjų nepriklausomumo testo chi kvadrato statistiką χ². Tolydumo pataisos nenaudokite.

N = 1802 × 2

χ² =

16.Chi kvadrato testaiSunkus

Chi kvadrato suderinamumo testas tikrina, ar dažniai 9 kategorijose atitinka Puasono skirstinį, kurio vidurkis įvertintas iš tų pačių duomenų. Kiek laisvės laipsnių df turi testas?

k = 9

df =

3Tirpalai

1.Psichologijos tyrimų metodai

Atsakymas: C · Užuominos, dėl kurių dalyviai atspėja tikslą ir pakeičia elgesį

Kodėl tai yra atsakymas

Kai dalyviai atspėja hipotezę, jie gali elgtis taip, kad ją patvirtintų ar sužlugdytų, o tai kelia grėsmę validumui. Tai mažina apgaulė ir akli tyrimai.

Atsakymas

C · Užuominos, dėl kurių dalyviai atspėja tikslą ir pakeičia elgesį

2.Psichologijos tyrimų metodai

Atsakymas: A · Prediktoriai kartu paaiškina 36% egzamino įverčių dispersijos

Kodėl tai yra atsakymas

R² rodo, kiek rezultato kintamumo paaiškina visi prediktoriai kartu. Jis neįrodo priežastingumo.

Atsakymas

A · Prediktoriai kartu paaiškina 36% egzamino įverčių dispersijos

3.Aprašomoji statistika

Atsakymas: s = 14,11

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Vidurkis

x̄ = 171/6 = 28,5

Nuokrypių kvadratai

Σ(x − x̄)² = (−12,5)² + 0,5² + (−4,5)² + 15,5² + (−16,5)² + 17,5² = 995,5

Standartinis nuokrypis

s = √(995,5/5) = 14,11

Atsakymas

s = 14,11

4.Aprašomoji statistika

Atsakymas: P = 0,06681

Standartizuokite

z = 1,5

Standartinio normaliojo skirstinio lentelė

Φ(1,5) = 0,9332

P = 1 − 0,9332 = 0,06681

Atsakymas

P = 0,06681

5.Tikimybė

Atsakymas: σ = 0,8944

Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σ_Y = |a|·σ_X; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.

Vidurkis

μ = 1·0,05 + 2·0,25 + 3·0,35 + 4·0,35 = 3

Kvadratų vidurkis

E(X²) = 1·0,05 + 4·0,25 + 9·0,35 + 16·0,35 = 9,8

Dispersija

Var(X) = 9,8 − 3² = 0,8

σ = √0,8 = 0,8944

Atsakymas

σ = 0,8944

6.Tikimybė

Atsakymas: E(G) = 0,9 €

Grynosios baigtys

G: 8 (p = 0,25), 38 (p = 0,01), −2 (p = 0,74)

Laukiamoji vertė

E(G) = 8·0,25 + 38·0,01 − 2·0,74 = 0,9 €

Atsakymas

E(G) = 0,9 €

Teigiama vertė reiškia, kad vidutiniškai laimite pinigų.

7.Normalusis skirstinys

Atsakymas: z = 0,38

Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.

Plotas kairėje nuo z

Φ(z) = 1 − 0,3520 = 0,6480

Skaitykite z lentelę atvirkščiai

Lentelėje suraskite 0,6480 ir nuskaitykite z.

z = 0,38

Atsakymas

z = 0,38

8.Normalusis skirstinys

Atsakymas: x = 70,2 tšk.

Plotas kairėje

Φ(z) = 0,7

z iš lentelės

z ≈ 0,52

Atgal į pradinius vienetus

x = 65 + 0,52·10 = 70,2 tšk.

Atsakymas

x = 70,2 tšk.

9.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: E₂ = 21,6

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Paklaidos ribų santykis

E₂/E₁ = (2,576/2,576)·√(100/25) = 2

Nauja paklaidos riba

E₂ = 10,8·2 = 21,6

Atsakymas

E₂ = 21,6

10.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: n = 271

Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.

Išreikškite n

n = (1,645·40/4)² = 270,6

Apvalinkite aukštyn

Imties dydis yra sveikasis skaičius, o apvalinant žemyn paklaidos riba būtų per didelė.

n = 271

Atsakymas

n = 271

11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: z = 2,408

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Skirtumo standartinė paklaida

SE = √(8²/100 + 9²/30) = √3,34 = 1,828

Testo statistika

z = (105,5 − 101,1)/1,828 = 2,408

Atsakymas

z = 2,408

|z| > 1,96, todėl H₀ atmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).

12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: n = 107

Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).

Išreikškite n

n = (2,576·8/2)² = 106,2

Apvalinkite aukštyn

n = 107

Atsakymas

n = 107

13.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: r = 0,9886

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Vidurkiai

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 458/6 = 76,33

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 368

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1979

Koreliacijos koeficientas

r = 368/√(70·1979) = 0,9886

Atsakymas

r = 0,9886

14.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: ŷ = 64,3

Vidurkiai

x̄ = 95/5 = 19

ȳ = 398/5 = 79,6

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 204

Regresijos tiesė

b = 204/40 = 5,1

a = 79,6 − 5,1·19 = −17,3

ŷ = −17,3 + 5,1·x

Prognozė

ŷ = −17,3 + 5,1·16 = 64,3

Atsakymas

ŷ = 64,3

15.Chi kvadrato testai

Atsakymas: χ² = 10,1

Chi kvadrato testai: stebėtus dažnius O palyginkite su pagal H₀ tikėtinais dažniais E naudodami χ² = Σ(O − E)²/E. Suderinamumo kriterijus: kiekvienai kategorijai E = n·p, df = k − 1 (ir dar minus vienas už kiekvieną iš duomenų įvertintą parametrą). Nepriklausomumas r × c lentelėje: E = eilutės suma × stulpelio suma / bendra suma, df = (r − 1)(c − 1). H₀ atmeskite, kai χ² viršija pasirinktą α atitinkančią kritinę reikšmę.

Tikėtini dažniai

vyrai: 120·81/180 = 54, 120·99/180 = 66

moterys: 60·81/180 = 27, 60·99/180 = 33

Chi kvadrato statistika

χ² = (44 − 54)²/54 + (76 − 66)²/66 + (37 − 27)²/27 + (23 − 33)²/33

χ² = 10,1

Atsakymas

χ² = 10,1

df = 1. Kai α = 0,05, kritinė reikšmė yra 3,841, todėl H₀ (nepriklausomumas) atmetama.

16.Chi kvadrato testai

Atsakymas: df = 7

Laisvės laipsniai

df = 9 − 1 − 1 = 7

Atsakymas

df = 7

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology