Psichologijos tyrimų metodai ir statistika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 16 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Aprašomoji statistika

Vidurkis: x̄ = Σx/n
Imties standartinis nuokrypis: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
z įvertis: z = (x − μ)/σ
Normalusis skirstinys: 68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ

Tikimybė

Priešingas įvykis: P(not A) = 1 − P(A)
Sudėties taisyklė: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Nepriklausomi įvykiai: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Sąlyginė tikimybė: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binominis skirstinys: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normalusis skirstinys

z įvertis: z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x: P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Procentilis: x = μ + z·σ

Metodas

Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

Pasikliautinieji intervalai

σ žinomas: x̄ ± z·σ/√n
σ nežinomas: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritinė z reikšmė: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Imties dydis: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodas

Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
Intervalas: x̄ ± E.

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

z testas vidurkiui: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t testas vidurkiui: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo: atmeskite H₀, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas: x̄ ± z·σ/√n

Metodas

Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.

Tiesinė regresija ir koreliacija

Kvadratų sumos: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Krypties koeficientas: b = S_xy/S_xx
Laisvasis narys: a = ȳ − b·x̄
Koreliacija: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Liekana: e = y − ŷ

Chi kvadrato testai

Testo statistika: χ² = Σ(O − E)²/E
Suderinamumo kriterijus: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Nepriklausomumas: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Kritinės reikšmės (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Sprendimas: atmeskite H₀, jei χ² > χ²_crit

2Uždaviniai

1.Psichologijos tyrimų metodaiVidutinis

Tie patys 25 dalyviai atlieka atminties testą prieš kofeiną ir po jo. Įverčiai intervaliniai ir apytiksliai normalūs. Kuris testas tinkamas?

AManno–Whitney U testas
BNepriklausomų imčių t testas
CPorinis (susijusių imčių) t testas
DChi kvadrato testas

2.Psichologijos tyrimų metodaiSunkus

Tyrimas rodo, kad klausimynas stipriai koreliuoja su pripažintu to paties konstrukto testu. Tai patvirtina:

AAkivaizdųjį validumą
BTesto ir pakartotinio testo patikimumą
CEkologinį validumą
DSutampamąjį validumą

3.Aprašomoji statistikaVidutinis

Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 45, 50, 57, 37, 38, 18, 50.

n = 7

s =

4.Aprašomoji statistikaSunkus

Egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 500, standartinis nuokrypis 50. Raskite rezultato 520 z įvertį z.

μ = 500σ = 50x = 520

z =

5.TikimybėVidutinis

Parodytam skirstiniui raskite X standartinį nuokrypį σ.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,2, 0,35, 0,1, 0,35

σ =

6.TikimybėSunkus

X turi parodytą skirstinį, o Y = 3X + 10. Raskite Y standartinį nuokrypį σ_Y.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,3, 0,3, 0,2, 0,2Y = 3X + 10

σ_Y =

7.Normalusis skirstinysVidutinis

Tarkime, kad IQ testų rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 100 tšk., standartinis nuokrypis 15 tšk.. Kokia dalis reikšmių yra tarp 76,75 ir 127,75 tšk.? P pateikite dešimtaine trupmena.

μ = 100σ = 15x₁ = 76,75x₂ = 127,75

P =

8.Normalusis skirstinysSunkus

suaugusių vyrų ūgiai pasiskirstę normaliai, vidurkis 178 cm, standartinis nuokrypis 7 cm. Nuvilkite ribą taip, kad nuspalvinti apatiniai 60 % būtų kairėje nuo jos. Raskite ribą x.

μ = 178 cmσ = 7 cm60%

x = cm

9.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis

Vidurkio 99 % pasikliautinojo intervalo, pagrįsto 64 stebėjimais ir žinomu σ, paklaidos riba yra 2,1. Kokia yra 95 % intervalo, pagrįsto 576 stebėjimais, paklaidos riba E₂?

99%n₁ = 64E₁ = 2,195%n₂ = 576

E₂ =

10.Pasikliautinieji intervalaiSunkus

Apie brokuotų gaminių dalį iš anksto nieko nežinoma. Kiek gaminių n reikia patikrinti, kad dalies 95 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 0,03?

p = 0,5E = 0,0395%

n =

11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis

36 studentų imties vidutinis rezultatas – 47,07, imties standartinis nuokrypis – 8. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ = 50.

μ₀ = 50x̄ = 47,07s = 8n = 36

t =

12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus

Vienpusis z testas, kai α = 0,05, turi aptikti 2,5 vienetų vidurkio poslinkį su 90 % galia. Standartinis nuokrypis 23. Raskite mažiausią imties dydį n.

α = 0,05galia = 90%δ = 2,5σ = 23z_α = 1,645z_β = 1,282

n =

13.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis

Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = reklamos išlaidos k€ ir y = pardavimai k€. Raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.

n = 5

r =

14.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus

Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = automobilio amžius metais ir y = kaina k€. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Kuriai reikšmei x tiesė prognozuoja ŷ = 25?

n = 5ŷ = 25

x =

15.Chi kvadrato testaiVidutinis

Kryžminėje lentelėje pateikti stebėti dažniai. Apskaičiuokite eilučių ir stulpelių kintamųjų nepriklausomumo testo chi kvadrato statistiką χ². Tolydumo pataisos nenaudokite.

N = 1602 × 2

χ² =

16.Chi kvadrato testaiSunkus

Chi kvadrato suderinamumo testas palygina stebėtus dažnius 9 kategorijose su visiškai nurodytomis tikėtinomis dalimis (jokie parametrai iš duomenų nevertinami). Kiek laisvės laipsnių df turi testas?

k = 9

df =

3Tirpalai

1.Psichologijos tyrimų metodai

Atsakymas: C · Porinis (susijusių imčių) t testas

Kodėl tai yra atsakymas

Porinis t testas lygina tų pačių dalyvių vidurkius dviem sąlygomis, naudodamas kiekvieno asmens skirtumus.

Atsakymas

C · Porinis (susijusių imčių) t testas

2.Psichologijos tyrimų metodai

Atsakymas: D · Sutampamąjį validumą

Kodėl tai yra atsakymas

Sutampamasis validumas parodomas, kai naujas matavimas sutampa su pripažintu, atliktu maždaug tuo pačiu metu.

Atsakymas

D · Sutampamąjį validumą

3.Aprašomoji statistika

Atsakymas: s = 12,77

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Vidurkis

x̄ = 295/7 = 42,14

Nuokrypių kvadratai

Σ(x − x̄)² = 2,857² + 7,857² + 14,86² + (−5,143)² + (−4,143)² + (−24,14)² + 7,857² = 978,9

Standartinis nuokrypis

s = √(978,9/6) = 12,77

Atsakymas

s = 12,77

4.Aprašomoji statistika

Atsakymas: z = 0,4

Standartizuokite

z = (520 − 500)/50 = 0,4

Atsakymas

z = 0,4

5.Tikimybė

Atsakymas: σ = 11,58

Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σ_Y = |a|·σ_X; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.

Vidurkis

μ = 10·0,2 + 20·0,35 + 30·0,1 + 40·0,35 = 26

Kvadratų vidurkis

E(X²) = 100·0,2 + 400·0,35 + 900·0,1 + 1600·0,35 = 810

Dispersija

Var(X) = 810 − 26² = 134

σ = √134 = 11,58

Atsakymas

σ = 11,58

6.Tikimybė

Atsakymas: σ_Y = 3,3

X sklaida

μ = 2,3, Var(X) = 1,21, σ_X = 1,1

Tiesinis pokytis

σ_Y = |3|·1,1 = 3,3

Atsakymas

σ_Y = 3,3

Vidurkis pasislenka: E(Y) = 3·2,3 + 10 = 16,9.

7.Normalusis skirstinys

Atsakymas: P = 0,9073

Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.

z įverčiai

z₁ = (76,75 − 100)/15 = −1,55

z₂ = (127,75 − 100)/15 = 1,85

Plotas tarp

P = Φ(1,85) − Φ(−1,55) = 0,9678 − 0,06057 = 0,9073

Atsakymas

P = 0,9073

8.Normalusis skirstinys

Atsakymas: x = 179,8 cm

Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.

Plotas kairėje

Φ(z) = 0,6

z iš lentelės

z ≈ 0,25

Atgal į pradinius vienetus

x = 178 + 0,25·7 = 179,8 cm

Atsakymas

x = 179,8 cm

9.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: E₂ = 0,5326

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Paklaidos ribų santykis

E₂/E₁ = (1,96/2,576)·√(64/576) = 0,2536

Nauja paklaidos riba

E₂ = 2,1·0,2536 = 0,5326

Atsakymas

E₂ = 0,5326

10.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: n = 1068

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Išreikškite n

n = 1,96²·0,5·0,5/0,03² = 1067

Apvalinkite aukštyn

n = 1068

Atsakymas

n = 1068

11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: t = −2,197

Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).

Standartinė paklaida

SE = 8/√36 = 8/6 = 1,333

Testo statistika

t = (47,07 − 50)/1,333 = −2,197

Atsakymas

t = −2,197

t_{0,025; df = 35} = 2,03

|t| > 2,03, todėl H₀ atmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).

12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: n = 726

Imties dydis testui: kad vienpusis z testas α lygmeniu aptiktų tikrąjį poslinkį δ su galia 1 − β, standartinė paklaida turi tenkinti δ = (z_α + z_β)·σ/√n, todėl n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², suapvalinta į didesnę pusę.

Išreikškite n

n = ((1,645 + 1,282)·23/2,5)² = 725,1

Apvalinkite aukštyn

n = 726

Atsakymas

n = 726

13.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: r = 0,988

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Vidurkiai

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 316/5 = 63,2

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 206

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1087

Koreliacijos koeficientas

r = 206/√(40·1087) = 0,988

Atsakymas

r = 0,988

14.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: x = 1,706

Vidurkiai

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 114/5 = 22,8

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −17

Regresijos tiesė

b = −17/10 = −1,7

a = 22,8 − (−1,7)·3 = 27,9

ŷ = 27,9 − 1,7·x

Išspręskite x atžvilgiu

x = (25 − 27,9)/(−1,7) = 1,706

Atsakymas

x = 1,706

15.Chi kvadrato testai

Atsakymas: χ² = 0,1077

Chi kvadrato testai: stebėtus dažnius O palyginkite su pagal H₀ tikėtinais dažniais E naudodami χ² = Σ(O − E)²/E. Suderinamumo kriterijus: kiekvienai kategorijai E = n·p, df = k − 1 (ir dar minus vienas už kiekvieną iš duomenų įvertintą parametrą). Nepriklausomumas r × c lentelėje: E = eilutės suma × stulpelio suma / bendra suma, df = (r − 1)(c − 1). H₀ atmeskite, kai χ² viršija pasirinktą α atitinkančią kritinę reikšmę.

Tikėtini dažniai

vyrai: 60·88/160 = 33, 60·72/160 = 27

moterys: 100·88/160 = 55, 100·72/160 = 45

Chi kvadrato statistika

χ² = (32 − 33)²/33 + (28 − 27)²/27 + (56 − 55)²/55 + (44 − 45)²/45

χ² = 0,1077

Atsakymas

χ² = 0,1077

df = 1. Kai α = 0,05, kritinė reikšmė yra 3,841, todėl H₀ (nepriklausomumas) neatmetama.

16.Chi kvadrato testai

Atsakymas: df = 8

Laisvės laipsniai

df = 9 − 1 = 8

Atsakymas

df = 8

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology