Psichologijos tyrimų metodai ir statistika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 16 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Aprašomoji statistika

Vidurkis
x̄ = Σx/n
Imties standartinis nuokrypis
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana
vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
z įvertis
z = (x − μ)/σ
Normalusis skirstinys
68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ

Tikimybė

Priešingas įvykis
P(not A) = 1 − P(A)
Sudėties taisyklė
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Nepriklausomi įvykiai
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Sąlyginė tikimybė
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binominis skirstinys
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Normalusis skirstinys

z įvertis
z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x
P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp
Φ(z2) − Φ(z1)
Procentilis
x = μ + z·σ

Metodas

  1. Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
  2. Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
  3. Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
  4. Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

Pasikliautinieji intervalai

σ žinomas
x̄ ± z·σ/√n
σ nežinomas
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritinė z reikšmė
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Imties dydis
n = (z·σ/E)², rounded up

Metodas

  1. Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
  2. Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
  3. Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
  4. Intervalas: x̄ ± E.

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

z testas vidurkiui
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t testas vidurkiui
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo
atmeskite H0, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas
x̄ ± z·σ/√n

Metodas

  1. Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
  2. Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
  3. Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
  4. H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.

Tiesinė regresija ir koreliacija

Kvadratų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Krypties koeficientas
b = Sxy/Sxx
Laisvasis narys
a = ȳ − b·x̄
Koreliacija
r = Sxy/√(SxxSyy)
Liekana
e = y − ŷ

Chi kvadrato testai

Testo statistika
χ² = Σ(O − E)²/E
Suderinamumo kriterijus
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Nepriklausomumas
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Kritinės reikšmės (α = 0,05)
df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Sprendimas
atmeskite H0, jei χ² > χ²crit

2Uždaviniai

1.Psichologijos tyrimų metodaiVidutinis

Eksperimentatoriaus šališkumas labiausiai tiesiogiai sumažinamas:

  1. ANaudojant vienpusę hipotezę
  2. BDuomenis renkant tyrėjui, kuris nežino hipotezės ar sąlygų
  3. CNaudojant tik savanorius
  4. DNaudojant didesnę imtį
2.Psichologijos tyrimų metodaiSunkus

Poveikio dydžio matai, pvz., Koheno d, pateikiami todėl, kad jie:

  1. AParodo, koks didelis yra poveikis, nepriklausomai nuo imties dydžio
  2. BParodo, ar rezultatas statistiškai reikšmingas pasirinktu alfa lygmeniu
  3. CNurodo, kiek dalyvių pasitraukė
  4. DPanaikina bet kokios hipotezės poreikį
3.Aprašomoji statistikaVidutinis
1015202530354045

Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 21, 10, 48, 27, 41, 37.

n = 6
s =
4.Aprašomoji statistikaSunkus
z −2−1012

Dydis pasiskirstęs normaliai, vidurkis 500, standartinis nuokrypis 50. Kokia reikšmių dalis P yra didesnė už 520?

μ = 500σ = 50x = 520
P =
5.TikimybėVidutinis
raudoni: 6mėlyni: 9

Maišelyje yra 6 raudoni ir 9 mėlyni rutuliai. Ištraukiate du rutulius, pirmojo negrąžindami. Kokia tikimybė P, kad abu raudoni?

6 / 9
P =
6.TikimybėSunkus
xp(x)00,2510,1520,330,3μ

X turi parodytą skirstinį, o Y = 5X + 20. Raskite Y standartinį nuokrypį σY.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,25, 0,15, 0,3, 0,3Y = 5X + 20
σY =
7.Normalusis skirstinysVidutinis
100 kg101 kgT = X₁ + … + X₄?

cemento maišai masės yra nepriklausomos ir normaliosios, jų vidurkis 25 kg, standartinis nuokrypis 0,5 kg. Raskite tikimybę P, kad 4 iš jų bendra masė yra mažesnė nei 101 kg. Suapvalinkite z iki dviejų skaitmenų po kablelio.

μ = 25 kgσ = 0,5 kgn = 4< 101 kg
P =
8.Normalusis skirstinysSunkus
μ = 250x = ?5%

Tarkime, kad maišų masės pasiskirstę normaliai, vidurkis 250 g, standartinis nuokrypis 5 g. Raskite reikšmę x, už kurią mažesnės yra 5 % reikšmių (5-asis procentilis).

μ = 250σ = 5P = 5%
x = g
9.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis
x̄E₁ = 8,499%, n = 64x̄E₂ = ?90%, n = 128

Vidurkio 99 % pasikliautinojo intervalo, pagrįsto 64 stebėjimais ir žinomu σ, paklaidos riba yra 8,4. Kokia yra 90 % intervalo, pagrįsto 128 stebėjimais, paklaidos riba E₂?

99%n₁ = 64E₁ = 8,490%n₂ = 128
E₂ =
10.Pasikliautinieji intervalaiSunkus
μ₁ − μ₂, t(14) = 1,7610L = ?Ux̄₁ − x̄₂E90%

Bandomos dvi trąšos. 1 sklypų grupė: 11 sklypų, vidutinis derlius 38,5 kg, standartinis nuokrypis 8,5 kg. 2 sklypų grupė: 5 sklypų, vidurkis 49,5 kg, standartinis nuokrypis 8,5 kg. Laikykite, kad dispersijos lygios (jungtinis t, df = n₁ + n₂ − 2). Raskite μ₁ − μ₂ 90 % pasikliautinojo intervalo apatinį rėžį.

n₁ = 11x̄₁ = 38,5s₁ = 8,5n₂ = 5x̄₂ = 49,5s₂ = 8,590%t(14) = 1,761
apatinis rėžis = kg
11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
t −2,06402,064

25 studentų imties vidutinis rezultatas – 122,9, imties standartinis nuokrypis – 12. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ = 120.

μ₀ = 120x̄ = 122,9s = 12n = 25
t =
12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
σ = 20, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 190%

Kokia didelė turi būti imtis, kad vidurkio 90 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 1? Standartinis nuokrypis – 20. Raskite mažiausią imties dydį n.

σ = 20E = 190%
n =
13.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis
xy235344441546649xy24635404550

Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = reklamos išlaidos k€ ir y = pardavimai k€. Pateiktos jų sumos. Pagal šias sumas raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.

n = 5Σx = 20Σy = 215Σx² = 90Σy² = 9359Σxy = 890
r =
14.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus
xy3545667759881110013101xy5106080100ŷ = 61

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = mokymosi valandos ir y = egzamino rezultatas. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Kuriai reikšmei x tiesė prognozuoja ŷ = 61?

n = 6ŷ = 61
x =
15.Chi kvadrato testaiVidutinis
be defektųnežymusdidelisIš visodieninė pamaina44181880naktinė pamaina563232120Iš viso1005050200

Kryžminėje lentelėje pateikti stebėti dažniai. Apskaičiuokite eilučių ir stulpelių kintamųjų nepriklausomumo testo chi kvadrato statistiką χ². Tolydumo pataisos nenaudokite.

N = 2002 × 3
χ² =
16.Chi kvadrato testaiSunkus

Chi kvadrato suderinamumo testas tikrina, ar dažniai 5 kategorijose atitinka Puasono skirstinį, kurio vidurkis įvertintas iš tų pačių duomenų. Kiek laisvės laipsnių df turi testas?

k = 5
df =

3Tirpalai

1.Psichologijos tyrimų metodai

Atsakymas: B · Duomenis renkant tyrėjui, kuris nežino hipotezės ar sąlygų

Kodėl tai yra atsakymas

Hipotezę žinantys eksperimentatoriai gali netyčia paveikti dalyvius ar įrašus. Vienkartinio ar dvigubo aklumo procedūros ir standartizuotos instrukcijos tai mažina.

Atsakymas

B · Duomenis renkant tyrėjui, kuris nežino hipotezės ar sąlygų
2.Psichologijos tyrimų metodai

Atsakymas: A · Parodo, koks didelis yra poveikis, nepriklausomai nuo imties dydžio

Kodėl tai yra atsakymas

Didelėse imtyse net menki poveikiai gali būti reikšmingi. Poveikio dydis išreiškia skirtumo mastą, pvz., d = 0,2 mažas, 0,5 vidutinis, 0,8 didelis.

Atsakymas

A · Parodo, koks didelis yra poveikis, nepriklausomai nuo imties dydžio
3.Aprašomoji statistika

Atsakymas: s = 14,01

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Vidurkis

x̄ = 184/6 = 30,67

Nuokrypių kvadratai

Σ(x − x̄)² = (−9,667)² + (−20,67)² + 17,33² + (−3,667)² + 10,33² + 6,333² = 981,3

Standartinis nuokrypis

s = √(981,3/5) = 14,01

Atsakymas

s = 14,01
4.Aprašomoji statistika

Atsakymas: P = 0,3446

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Standartizuokite

z = 0,4

Standartinio normaliojo skirstinio lentelė

Φ(0,4) = 0,6554
P = 1 − 0,6554 = 0,3446

Atsakymas

P = 0,3446
5.Tikimybė

Atsakymas: P = 0,1429

Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Pirmas ir antras traukimas

P = 6/15 · 5/14 = 30/210 = 0,1429

Atsakymas

P = 0,1429
6.Tikimybė

Atsakymas: σY = 5,761

Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.

X sklaida

μ = 1,65, Var(X) = 1,328, σX = 1,152

Tiesinis pokytis

σY = |5|·1,152 = 5,761

Atsakymas

σY = 5,761

Vidurkis pasislenka: E(Y) = 5·1,65 + 20 = 28,25.

7.Normalusis skirstinys

Atsakymas: P = 0,8413

Normaliųjų dydžių sumos ir skirtumai: jei X ir Y yra nepriklausomi ir normalieji, tai X + Y ir X − Y taip pat normalieji. Vidurkiai sudedami arba atimami: E(X ± Y) = μX ± μY. Dispersijos visada sudedamos, net ir skirtumui: Var(X ± Y) = σX² + σY², todėl σ = √(σX² + σY²). Standartiniai nuokrypiai tiesiogiai niekada nesudedami. n nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių elementų sumos vidurkis yra n·μ, o standartinis nuokrypis σ·√n. Tada standartizuokite kaip įprasta: z = (x − vidurkis)/σ ir raskite Φ(z).

Sumos skirstinys

μT = 100 kg, σT = 0,5·√4 = 1 kg

Standartizuokite

z = (101 − 100)/1 = 1

Tikimybė

P = Φ(1) = 0,8413

Atsakymas

P = 0,8413
8.Normalusis skirstinys

Atsakymas: x = 241,8 g

Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.

Procentilio z

Φ(z) = 0,05 → z = −1,645

Atgal į x

x = 250 + −1,645·5 = 241,78 g

Atsakymas

x = 241,78 g
9.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: E₂ = 3,793

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Paklaidos ribų santykis

E₂/E₁ = (1,645/2,576)·√(64/128) = 0,4515

Nauja paklaidos riba

E₂ = 8,4·0,4515 = 3,793

Atsakymas

E₂ = 3,793
10.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: apatinis rėžis = −19,07 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Jungtinis standartinis nuokrypis

sp² = (10·8,5² + 4·8,5²)/14 = 72,25
sp = 8,5

Paklaidos riba

E = 1,761·8,5·√(1/11 + 1/5) = 8,073

Intervalas

−11 ± 8,073 → [−19,07, −2,927]

Atsakymas

apatinis rėžis = −19,07 kg
11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: t = 1,208

Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).

Standartinė paklaida

SE = 12/√25 = 12/5 = 2,4

Testo statistika

t = (122,9 − 120)/2,4 = 1,208

Atsakymas

t = 1,208
t0,025; df = 24 = 2,064

|t| < 2.064, todėl H₀ neatmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).

12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: n = 1083

Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).

Išreikškite n

n = (1,645·20/1)² = 1082

Apvalinkite aukštyn

n = 1083

Atsakymas

n = 1083
13.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: r = 0,8885

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Centruotos sumos

Sxy = 890 − 20·215/5 = 30
Sxx = 90 − 20²/5 = 10
Syy = 9359 − 215²/5 = 114

Koreliacijos koeficientas

r = 30/√(10·114) = 0,8885

Atsakymas

r = 0,8885
14.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: x = 4,067

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Vidurkiai

x̄ = 48/6 = 8
ȳ = 484/6 = 80,67

Kvadratų ir sandaugų sumos

Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 350

Regresijos tiesė

b = 350/70 = 5
a = 80,67 − 5·8 = 40,67
ŷ = 40,67 + 5·x

Išspręskite x atžvilgiu

x = (61 − 40,67)/5 = 4,067

Atsakymas

x = 4,067
15.Chi kvadrato testai

Atsakymas: χ² = 1,333

Chi kvadrato testai: stebėtus dažnius O palyginkite su pagal H₀ tikėtinais dažniais E naudodami χ² = Σ(O − E)²/E. Suderinamumo kriterijus: kiekvienai kategorijai E = n·p, df = k − 1 (ir dar minus vienas už kiekvieną iš duomenų įvertintą parametrą). Nepriklausomumas r × c lentelėje: E = eilutės suma × stulpelio suma / bendra suma, df = (r − 1)(c − 1). H₀ atmeskite, kai χ² viršija pasirinktą α atitinkančią kritinę reikšmę.

Tikėtini dažniai

dieninė pamaina: 80·100/200 = 40, 80·50/200 = 20, 80·50/200 = 20
naktinė pamaina: 120·100/200 = 60, 120·50/200 = 30, 120·50/200 = 30

Chi kvadrato statistika

χ² = (44 − 40)²/40 + (18 − 20)²/20 + (18 − 20)²/20 + (56 − 60)²/60 + (32 − 30)²/30 + (32 − 30)²/30
χ² = 1,333

Atsakymas

χ² = 1,333

df = 2. Kai α = 0,05, kritinė reikšmė yra 5,991, todėl H₀ (nepriklausomumas) neatmetama.

16.Chi kvadrato testai

Atsakymas: df = 3

Chi kvadrato testai: stebėtus dažnius O palyginkite su pagal H₀ tikėtinais dažniais E naudodami χ² = Σ(O − E)²/E. Suderinamumo kriterijus: kiekvienai kategorijai E = n·p, df = k − 1 (ir dar minus vienas už kiekvieną iš duomenų įvertintą parametrą). Nepriklausomumas r × c lentelėje: E = eilutės suma × stulpelio suma / bendra suma, df = (r − 1)(c − 1). H₀ atmeskite, kai χ² viršija pasirinktą α atitinkančią kritinę reikšmę.

Laisvės laipsniai

df = 5 − 1 − 1 = 3

Atsakymas

df = 3

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology