Psichologijos tyrimų metodai ir statistika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 16 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Aprašomoji statistika

Vidurkis: x̄ = Σx/n
Imties standartinis nuokrypis: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
z įvertis: z = (x − μ)/σ
Normalusis skirstinys: 68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ

Tikimybė

Priešingas įvykis: P(not A) = 1 − P(A)
Sudėties taisyklė: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Nepriklausomi įvykiai: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Sąlyginė tikimybė: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binominis skirstinys: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normalusis skirstinys

z įvertis: z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x: P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Procentilis: x = μ + z·σ

Metodas

Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

Pasikliautinieji intervalai

σ žinomas: x̄ ± z·σ/√n
σ nežinomas: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritinė z reikšmė: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Imties dydis: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodas

Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
Intervalas: x̄ ± E.

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

z testas vidurkiui: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t testas vidurkiui: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo: atmeskite H₀, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas: x̄ ± z·σ/√n

Metodas

Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.

Tiesinė regresija ir koreliacija

Kvadratų sumos: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Krypties koeficientas: b = S_xy/S_xx
Laisvasis narys: a = ȳ − b·x̄
Koreliacija: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Liekana: e = y − ŷ

Chi kvadrato testai

Testo statistika: χ² = Σ(O − E)²/E
Suderinamumo kriterijus: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Nepriklausomumas: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Kritinės reikšmės (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Sprendimas: atmeskite H₀, jei χ² > χ²_crit

2Uždaviniai

1.Psichologijos tyrimų metodaiVidutinis

Standartizuotos instrukcijos eksperimente naudojamos tam, kad:

ADalyviai galėtų patys pasirinkti sąlygas
BTyrėjas galėtų pritaikyti procedūrą kiekvieno dalyvio poreikiams
CVisi dalyviai gautų tą pačią informaciją tuo pačiu būdu
DRezultatai taptų statistiškai reikšmingi

2.Psichologijos tyrimų metodaiSunkus

Tyrimas nustato, kad daugiau miegantys studentai turi geresnius pažymius. Kuris plano pakeitimas geriausiai leistų daryti priežastinę išvadą?

ATiksliau matuoti pažymius
BAtsitiktinai priskirti studentus skirtingiems miego režimams
CPaprašyti studentų du kartus nurodyti savo miegą ir apskaičiuoti abiejų atsakymų vidurkį
DApklausti daugiau studentų

3.Aprašomoji statistikaVidutinis

Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 33, 38, 37, 40, 30.

n = 5

s =

4.Aprašomoji statistikaSunkus

Egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 60, standartinis nuokrypis 8. Raskite rezultato 76 z įvertį z.

μ = 60σ = 8x = 76

z =

5.TikimybėVidutinis

Parodytam skirstiniui raskite X standartinį nuokrypį σ.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,1, 0,3, 0,35, 0,25

σ =

6.TikimybėSunkus

X turi parodytą skirstinį, o Y = 10X + 20. Raskite Y standartinį nuokrypį σ_Y.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,3, 0,1, 0,25, 0,35Y = 10X + 20

σ_Y =

7.Normalusis skirstinysVidutinis

varžtai masės yra nepriklausomos ir normaliosios, jų vidurkis 40 g, standartinis nuokrypis 1,2 g. Raskite tikimybę P, kad 16 iš jų bendra masė viršija 644,8 g. Suapvalinkite z iki dviejų skaitmenų po kablelio.

μ = 40 gσ = 1,2 gn = 16> 644,8 g

P =

8.Normalusis skirstinysSunkus

Tarkime, kad maišų masės pasiskirstę normaliai, vidurkis 250 g, standartinis nuokrypis 5 g. Raskite reikšmę x, už kurią mažesnės yra 75 % reikšmių (75-asis procentilis).

μ = 250σ = 5P = 75%

x = g

9.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis

20 elementų imties vidurkis – 116,5, standartinis nuokrypis s = 7,5. Populiacija pasiskirsčiusi apytiksliai normaliai. Raskite vidurkio 99 % pasikliautinojo intervalo apatinį rėžį.

n = 20x̄ = 116,5s = 7,599%t(19) = 2,861

apatinis rėžis =

10.Pasikliautinieji intervalaiSunkus

Apie brokuotų gaminių dalį iš anksto nieko nežinoma. Kiek gaminių n reikia patikrinti, kad dalies 99 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 0,01?

p = 0,5E = 0,0199%

n =

11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis

20 darbuotojų rašymo klaviatūra testą atlieka prieš mokymo kursus ir po jų. Kiekvienam asmeniui užrašomas skirtumas d = po − prieš (žodžiai per minutę). Vidutinis skirtumas 3,11, o skirtumų standartinis nuokrypis 8,7. Raskite porinio testo statistiką t hipotezei H₀: μ_d = 0.

n = 20d̄ = 3,11s_d = 8,7

t =

12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus

Vienpusis z testas H₀: μ = 200 prieš H₁: μ > 200 atliekamas, kai α = 0,05, su 25 dydžio imtimi; žinoma, kad standartinis nuokrypis yra 15. Iš tikrųjų vidurkis lygus 208,7. Raskite II rūšies klaidos tikimybę β procentais.

μ₀ = 200μ = 208,7σ = 15n = 25α = 0,05

β = %

13.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = temperatūra °C ir y = parduoti ledai. Raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.

n = 6

r =

14.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus

Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = automobilio amžius metais ir y = kaina k€. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Kuriai reikšmei x tiesė prognozuoja ŷ = 20?

n = 5ŷ = 20

x =

15.Chi kvadrato testaiVidutinis

Kryžminėje lentelėje pateikti stebėti dažniai. Apskaičiuokite eilučių ir stulpelių kintamųjų nepriklausomumo testo chi kvadrato statistiką χ². Tolydumo pataisos nenaudokite.

N = 1802 × 2

χ² =

16.Chi kvadrato testaiSunkus

Chi kvadrato suderinamumo testas tikrina, ar dažniai 6 kategorijose atitinka Puasono skirstinį, kurio vidurkis įvertintas iš tų pačių duomenų. Kiek laisvės laipsnių df turi testas?

k = 6

df =

3Tirpalai

1.Psichologijos tyrimų metodai

Atsakymas: C · Visi dalyviai gautų tą pačią informaciją tuo pačiu būdu

Kodėl tai yra atsakymas

Standartizavimas pašalina procedūros svyravimus kaip pašalinį kintamąjį ir leidžia tyrimą pakartoti.

Atsakymas

C · Visi dalyviai gautų tą pačią informaciją tuo pačiu būdu

2.Psichologijos tyrimų metodai

Atsakymas: B · Atsitiktinai priskirti studentus skirtingiems miego režimams

Kodėl tai yra atsakymas

Tik manipuliuojant miegu ir atsitiktinai priskiriant dalyvius kontroliuojami tretieji kintamieji ir galima priežastinė išvada, laikantis etikos ribų.

Atsakymas

B · Atsitiktinai priskirti studentus skirtingiems miego režimams

3.Aprašomoji statistika

Atsakymas: s = 4,037

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Vidurkis

x̄ = 178/5 = 35,6

Nuokrypių kvadratai

Σ(x − x̄)² = (−2,6)² + 2,4² + 1,4² + 4,4² + (−5,6)² = 65,2

Standartinis nuokrypis

s = √(65,2/4) = 4,037

Atsakymas

s = 4,037

4.Aprašomoji statistika

Atsakymas: z = 2

Standartizuokite

z = (76 − 60)/8 = 2

Atsakymas

z = 2

5.Tikimybė

Atsakymas: σ = 0,9421

Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σ_Y = |a|·σ_X; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.

Vidurkis

μ = 0·0,1 + 1·0,3 + 2·0,35 + 3·0,25 = 1,75

Kvadratų vidurkis

E(X²) = 0·0,1 + 1·0,3 + 4·0,35 + 9·0,25 = 3,95

Dispersija

Var(X) = 3,95 − 1,75² = 0,8875

σ = √0,8875 = 0,9421

Atsakymas

σ = 0,9421

6.Tikimybė

Atsakymas: σ_Y = 123,6

X sklaida

μ = 26,5, Var(X) = 152,8, σ_X = 12,36

Tiesinis pokytis

σ_Y = |10|·12,36 = 123,6

Atsakymas

σ_Y = 123,6

Vidurkis pasislenka: E(Y) = 10·26,5 + 20 = 285.

7.Normalusis skirstinys

Atsakymas: P = 0,1587

Normaliųjų dydžių sumos ir skirtumai: jei X ir Y yra nepriklausomi ir normalieji, tai X + Y ir X − Y taip pat normalieji. Vidurkiai sudedami arba atimami: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Dispersijos visada sudedamos, net ir skirtumui: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², todėl σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standartiniai nuokrypiai tiesiogiai niekada nesudedami. n nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių elementų sumos vidurkis yra n·μ, o standartinis nuokrypis σ·√n. Tada standartizuokite kaip įprasta: z = (x − vidurkis)/σ ir raskite Φ(z).

Sumos skirstinys

μ_T = 640 g, σ_T = 1,2·√16 = 4,8 g

Standartizuokite

z = (644,8 − 640)/4,8 = 1

Tikimybė

P = 1 − Φ(1) = 0,1587

Atsakymas

P = 0,1587

8.Normalusis skirstinys

Atsakymas: x = 253,4 g

Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.

Procentilio z

Φ(z) = 0,75 → z = 0,6745

Atgal į x

x = 250 + 0,6745·5 = 253,37 g

Atsakymas

x = 253,37 g

9.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: apatinis rėžis = 111,7

Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.

Kritinė reikšmė

df = n − 1 = 19, t = 2,861

Paklaidos riba

E = 2,861·7,5/√20 = 4,798

Intervalas

116,5 ± 4,798 → [111,7, 121,3]

Atsakymas

apatinis rėžis = 111,7

10.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: n = 16590

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Išreikškite n

n = 2,576²·0,5·0,5/0,01² = 16589

Apvalinkite aukštyn

n = 16590

Atsakymas

n = 16590

11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: t = 1,599

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Vidutinio skirtumo standartinė paklaida

SE = 8,7/√20 = 1,945

Testo statistika

t = 3,11/1,945 = 1,599

Atsakymas

t = 1,599

Kai df = 19, dvipusio 5 % testo kritinė reikšmė yra 2,093; |t| mažesnis, todėl H₀ neatmetama.

12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: β = 10,47 %

Testo galia: galia = 1 − β yra tikimybė atmesti H₀, kai ji klaidinga. Iš μ₀ ir z_α raskite ribą x̄c, tada naudodami tikrąjį vidurkį apskaičiuokite tikimybę patekti už x̄c: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Kritinis imties vidurkis

SE = 15/√25 = 3

x̄_c = 200 + 1,645·3 = 204,9

z esant tikrajam vidurkiui

z = (204,9 − 208,7)/3 = −1,255

II rūšies klaida

galia = P(Z > −1,255) = 89,53%

β = 100% − 89,53% = 10,47%

Atsakymas

β = 10,47%

13.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: r = 0,9775

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Vidurkiai

x̄ = 147/6 = 24,5

ȳ = 395/6 = 65,83

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 457,5

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1391

Koreliacijos koeficientas

r = 457,5/√(157,5·1391) = 0,9775

Atsakymas

r = 0,9775

14.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: x = 4,667

Vidurkiai

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 115/5 = 23

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −18

Regresijos tiesė

b = −18/10 = −1,8

a = 23 − (−1,8)·3 = 28,4

ŷ = 28,4 − 1,8·x

Išspręskite x atžvilgiu

x = (20 − 28,4)/(−1,8) = 4,667

Atsakymas

x = 4,667

15.Chi kvadrato testai

Atsakymas: χ² = 0,9643

Chi kvadrato testai: stebėtus dažnius O palyginkite su pagal H₀ tikėtinais dažniais E naudodami χ² = Σ(O − E)²/E. Suderinamumo kriterijus: kiekvienai kategorijai E = n·p, df = k − 1 (ir dar minus vienas už kiekvieną iš duomenų įvertintą parametrą). Nepriklausomumas r × c lentelėje: E = eilutės suma × stulpelio suma / bendra suma, df = (r − 1)(c − 1). H₀ atmeskite, kai χ² viršija pasirinktą α atitinkančią kritinę reikšmę.

Tikėtini dažniai

naujas vaistas: 100·54/180 = 30, 100·126/180 = 70

placebas: 80·54/180 = 24, 80·126/180 = 56

Chi kvadrato statistika

χ² = (33 − 30)²/30 + (67 − 70)²/70 + (21 − 24)²/24 + (59 − 56)²/56

χ² = 0,9643

Atsakymas

χ² = 0,9643

df = 1. Kai α = 0,05, kritinė reikšmė yra 3,841, todėl H₀ (nepriklausomumas) neatmetama.

16.Chi kvadrato testai

Atsakymas: df = 4

Laisvės laipsniai

df = 6 − 1 − 1 = 4

Atsakymas

df = 4

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology