Psichologijos tyrimų metodai ir statistika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 16 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Aprašomoji statistika

Vidurkis: x̄ = Σx/n
Imties standartinis nuokrypis: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
z įvertis: z = (x − μ)/σ
Normalusis skirstinys: 68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ

Tikimybė

Priešingas įvykis: P(not A) = 1 − P(A)
Sudėties taisyklė: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Nepriklausomi įvykiai: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Sąlyginė tikimybė: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binominis skirstinys: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normalusis skirstinys

z įvertis: z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x: P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Procentilis: x = μ + z·σ

Metodas

Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

Pasikliautinieji intervalai

σ žinomas: x̄ ± z·σ/√n
σ nežinomas: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritinė z reikšmė: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Imties dydis: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodas

Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
Intervalas: x̄ ± E.

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

z testas vidurkiui: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t testas vidurkiui: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo: atmeskite H₀, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas: x̄ ± z·σ/√n

Metodas

Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.

Tiesinė regresija ir koreliacija

Kvadratų sumos: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Krypties koeficientas: b = S_xy/S_xx
Laisvasis narys: a = ȳ − b·x̄
Koreliacija: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Liekana: e = y − ŷ

Chi kvadrato testai

Testo statistika: χ² = Σ(O − E)²/E
Suderinamumo kriterijus: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Nepriklausomumas: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Kritinės reikšmės (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Sprendimas: atmeskite H₀, jei χ² > χ²_crit

2Uždaviniai

1.Psichologijos tyrimų metodaiVidutinis

Turinio analizėje vertintojų sutarimo patikimumas tikrinamas:

ANaudojama didesnė medžiagos imtis
BTą pačią medžiagą koduoja du tyrėjai ir lyginami rezultatai
CPo tyrimo dalyvių klausiama, ar tyrėjo atliktas jų medžiagos kodavimas teisingas
DMedžiaga koduojama du kartus per dieną

2.Psichologijos tyrimų metodaiSunkus

Tyrėjas manipuliuoja nuotaika rodydamas liūdną filmą, o prieš pagrindinę užduotį prašo dalyvių įvertinti, kaip liūdnai jie jaučiasi. Kodėl įtrauktas šis vertinimas?

ASąlygų eiliškumui kontrabalansuoti
BKaip manipuliacijos patikra, patvirtinanti, kad NK suveikė kaip numatyta
CDalyviams paaiškinti tyrimo tikslus
DKaip pagrindinis tyrimo priklausomasis kintamasis

3.Aprašomoji statistikaVidutinis

Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 30, 32, 10, 25, 42, 25, 15.

n = 7

s =

4.Aprašomoji statistikaSunkus

Dydis pasiskirstęs normaliai, vidurkis 50, standartinis nuokrypis 10. Kokia reikšmių dalis P yra mažesnė už 56?

μ = 50σ = 10x = 56

P =

5.TikimybėVidutinis

Parodytam skirstiniui raskite X dispersiją Var(X).

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,25, 0,25, 0,1, 0,1, 0,3

Var(X) =

6.TikimybėSunkus

Teste yra 11 klausimų su pasirenkamaisiais atsakymais. Spėliojanti studentė į kiekvieną atsako teisingai su tikimybe 0,4, nepriklausomai. Kokia tikimybė P, kad teisingų atsakymų bus lygiai 2?

n = 11p = 0,4k = 2

P =

7.Normalusis skirstinysVidutinis

cemento maišai masės yra nepriklausomos ir normaliosios, jų vidurkis 25 kg, standartinis nuokrypis 0,5 kg. Raskite tikimybę P, kad 8 iš jų bendra masė yra mažesnė nei 202,8 kg. Suapvalinkite z iki dviejų skaitmenų po kablelio.

μ = 25 kgσ = 0,5 kgn = 8< 202.8 kg

P =

8.Normalusis skirstinysSunkus

Tarkime, kad egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 65 tšk., standartinis nuokrypis 10 tšk.. Raskite reikšmę x, už kurią mažesnės yra 25 % reikšmių (25-asis procentilis).

μ = 65σ = 10P = 25%

x = tšk.

9.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis

12 elementų imties vidurkis – 56, standartinis nuokrypis s = 13,5. Populiacija pasiskirsčiusi apytiksliai normaliai. Raskite vidurkio 99 % pasikliautinojo intervalo paklaidos ribą E.

n = 12x̄ = 56s = 13,599%t(11) = 3,106

E =

10.Pasikliautinieji intervalaiSunkus

Bandomos dvi trąšos. 1 sklypų grupė: 12 sklypų, vidutinis derlius 35 kg, standartinis nuokrypis 7,5 kg. 2 sklypų grupė: 9 sklypų, vidurkis 39 kg, standartinis nuokrypis 8,5 kg. Laikykite, kad dispersijos lygios (jungtinis t, df = n₁ + n₂ − 2). Raskite μ₁ − μ₂ 90 % pasikliautinojo intervalo apatinį rėžį.

n₁ = 12x̄₁ = 35s₁ = 7,5n₂ = 9x̄₂ = 39s₂ = 8,590%t(19) = 1,729

apatinis rėžis = kg

11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis

Dvi gamybos linijos gamina tą pačią detalę. 1 linija: 40 detalių imties vidutinis ilgis 56 mm, o žinomas linijos standartinis nuokrypis 17 mm. 2 linija: 30 detalių imties vidurkis 63,7 mm, žinomas standartinis nuokrypis 15 mm. Raskite testo statistiką z hipotezei H₀: μ₁ = μ₂, skirtumą imdami kaip x̄₁ − x̄₂ (1 linija atėmus 2 liniją).

n₁ = 40x̄₁ = 56 mmσ₁ = 17 mmn₂ = 30x̄₂ = 63,7 mmσ₂ = 15 mm

z =

12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus

Kokia didelė turi būti imtis, kad vidurkio 90 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 2,5? Standartinis nuokrypis – 15. Raskite mažiausią imties dydį n.

σ = 15E = 2,590%

n =

13.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis

Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = temperatūra °C ir y = parduoti ledai. Pateiktos jų sumos. Pagal šias sumas raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.

n = 5Σx = 110Σy = 435Σx² = 2510Σy² = 39881Σxy = 9975

r =

14.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus

Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = temperatūra °C ir y = parduoti ledai. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Gautas naujas stebėjimas (18, 57). Raskite jo liekaną e = y − ŷ.

n = 5(18, 57)

e =

15.Chi kvadrato testaiVidutinis

Kryžminėje lentelėje pateikti stebėti dažniai. Chi kvadrato nepriklausomumo testui raskite langelio „miesto, aukštas“ tikėtiną dažnį E.

eilutės suma = 46stulpelio suma = 53N = 129

E =

16.Chi kvadrato testaiSunkus

Chi kvadrato nepriklausomumo testas atliekamas kryžminei lentelei, turinčiai 2 eilutes ir 6 stulpelius (neskaičiuojant sumų). Naudodami lentelę, raskite kritinę reikšmę χ²_crit, kai reikšmingumo lygmuo α = 0,05.

α = 0,05

χ²_crit =

3Tirpalai

1.Psichologijos tyrimų metodai

Atsakymas: B · Tą pačią medžiagą koduoja du tyrėjai ir lyginami rezultatai

Kodėl tai yra atsakymas

Jei nepriklausomi koduotojai tiems patiems duomenims priskiria panašius kodus (didelis sutarimas ar koreliacija), kodavimo schema yra patikima.

Atsakymas

B · Tą pačią medžiagą koduoja du tyrėjai ir lyginami rezultatai

2.Psichologijos tyrimų metodai

Atsakymas: B · Kaip manipuliacijos patikra, patvirtinanti, kad NK suveikė kaip numatyta

Kodėl tai yra atsakymas

Manipuliacijos patikra patikrina, ar NK sukėlė numatytą psichologinę būseną. Be jos nulinis rezultatas galėtų reikšti, kad manipuliacija nepavyko.

Atsakymas

B · Kaip manipuliacijos patikra, patvirtinanti, kad NK suveikė kaip numatyta

3.Aprašomoji statistika

Atsakymas: s = 10,69

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Vidurkis

x̄ = 179/7 = 25,57

Nuokrypių kvadratai

Σ(x − x̄)² = 4,429² + 6,429² + (−15,57)² + (−0,5714)² + 16,43² + (−0,5714)² + (−10,57)² = 685,7

Standartinis nuokrypis

s = √(685,7/6) = 10,69

Atsakymas

s = 10,69

4.Aprašomoji statistika

Atsakymas: P = 0,7257

Standartizuokite

z = 0,6

Standartinio normaliojo skirstinio lentelė

Φ(0,6) = 0,7257

P = 0,7257

Atsakymas

P = 0,7257

5.Tikimybė

Atsakymas: Var(X) = 2,547

Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σ_Y = |a|·σ_X; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.

Vidurkis

μ = 0·0,25 + 1·0,25 + 2·0,1 + 3·0,1 + 4·0,3 = 1,95

Kvadratų vidurkis

E(X²) = 0·0,25 + 1·0,25 + 4·0,1 + 9·0,1 + 16·0,3 = 6,35

Dispersija

Var(X) = 6,35 − 1,95² = 2,547

Atsakymas

Var(X) = 2,547

6.Tikimybė

Atsakymas: P = 0,08868

Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Binominė formulė

P(X = 2) = 55·0,4²·0,6⁹ = 55·0,16·0,01008 = 0,08868

Atsakymas

P = 0,08868

7.Normalusis skirstinys

Atsakymas: P = 0,9761

Normaliųjų dydžių sumos ir skirtumai: jei X ir Y yra nepriklausomi ir normalieji, tai X + Y ir X − Y taip pat normalieji. Vidurkiai sudedami arba atimami: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Dispersijos visada sudedamos, net ir skirtumui: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², todėl σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standartiniai nuokrypiai tiesiogiai niekada nesudedami. n nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių elementų sumos vidurkis yra n·μ, o standartinis nuokrypis σ·√n. Tada standartizuokite kaip įprasta: z = (x − vidurkis)/σ ir raskite Φ(z).

Sumos skirstinys

μ_T = 200 kg, σ_T = 0,5·√8 = 1,414 kg

Standartizuokite

z = (202,8 − 200)/1,414 = 1,98

Tikimybė

P = Φ(1,98) = 0,9761

Atsakymas

P = 0,9761

8.Normalusis skirstinys

Atsakymas: x = 58,26 tšk.

Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.

Procentilio z

Φ(z) = 0,25 → z = −0,6745

Atgal į x

x = 65 + −0,6745·10 = 58,26 tšk.

Atsakymas

x = 58,26 tšk.

9.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: E = 12,1

Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.

Kritinė reikšmė

df = n − 1 = 11, t = 3,106

Paklaidos riba

E = 3,106·13,5/√12 = 12,1

Atsakymas

E = 12,1

10.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: apatinis rėžis = −10,05 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Jungtinis standartinis nuokrypis

s_p² = (11·7,5² + 8·8,5²)/19 = 62,99

s_p = 7,936

Paklaidos riba

E = 1,729·7,936·√(1/12 + 1/9) = 6,051

Intervalas

−4 ± 6,051 → [−10,05, 2,051]

Atsakymas

apatinis rėžis = −10,05 kg

11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: z = −2,007

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Skirtumo standartinė paklaida

SE = √(17²/40 + 15²/30) = √14,72 = 3,837

Testo statistika

z = (56 − 63,7)/3,837 = −2,007

Atsakymas

z = −2,007

|z| > 1,96, todėl H₀ atmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).

12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: n = 98

Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).

Išreikškite n

n = (1,645·15/2,5)² = 97,42

Apvalinkite aukštyn

n = 98

Atsakymas

n = 98

13.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: r = 0,9461

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Centruotos sumos

S_xy = 9975 − 110·435/5 = 405

S_xx = 2510 − 110²/5 = 90

S_yy = 39881 − 435²/5 = 2036

Koreliacijos koeficientas

r = 405/√(90·2036) = 0,9461

Atsakymas

r = 0,9461

14.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: e = −4,75

Vidurkiai

x̄ = 105/5 = 21

ȳ = 356/5 = 71,2

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 126

Regresijos tiesė

b = 126/40 = 3,15

a = 71,2 − 3,15·21 = 5,05

ŷ = 5,05 + 3,15·x

Prognozuojama reikšmė

ŷ = 5,05 + 3,15·18 = 61,75

Liekana

e = 57 − 61,75 = −4,75

Atsakymas

e = −4,75

Taškas yra po tiese.

15.Chi kvadrato testai

Atsakymas: E = 18,9

Chi kvadrato testai: stebėtus dažnius O palyginkite su pagal H₀ tikėtinais dažniais E naudodami χ² = Σ(O − E)²/E. Suderinamumo kriterijus: kiekvienai kategorijai E = n·p, df = k − 1 (ir dar minus vienas už kiekvieną iš duomenų įvertintą parametrą). Nepriklausomumas r × c lentelėje: E = eilutės suma × stulpelio suma / bendra suma, df = (r − 1)(c − 1). H₀ atmeskite, kai χ² viršija pasirinktą α atitinkančią kritinę reikšmę.

Tikėtinas dažnis

E = 46·53/129 = 18,9

Atsakymas

E = 18,9

16.Chi kvadrato testai

Atsakymas: χ²_crit = 11,07

Laisvės laipsniai

df = (2 − 1)·(6 − 1) = 5

Lentelė

χ²_crit(df = 5, α = 0,05) = 11,070

Atsakymas

χ²_crit = 11,070

H₀ atmeskite, jei apskaičiuotas χ² didesnis už šią reikšmę.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology