Psichologijos tyrimų metodai ir statistika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 16 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Aprašomoji statistika

Vidurkis: x̄ = Σx/n
Imties standartinis nuokrypis: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
z įvertis: z = (x − μ)/σ
Normalusis skirstinys: 68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ

Tikimybė

Priešingas įvykis: P(not A) = 1 − P(A)
Sudėties taisyklė: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Nepriklausomi įvykiai: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Sąlyginė tikimybė: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binominis skirstinys: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normalusis skirstinys

z įvertis: z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x: P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Procentilis: x = μ + z·σ

Metodas

Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

Pasikliautinieji intervalai

σ žinomas: x̄ ± z·σ/√n
σ nežinomas: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritinė z reikšmė: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Imties dydis: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodas

Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
Intervalas: x̄ ± E.

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

z testas vidurkiui: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t testas vidurkiui: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo: atmeskite H₀, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas: x̄ ± z·σ/√n

Metodas

Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.

Tiesinė regresija ir koreliacija

Kvadratų sumos: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Krypties koeficientas: b = S_xy/S_xx
Laisvasis narys: a = ȳ − b·x̄
Koreliacija: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Liekana: e = y − ŷ

Chi kvadrato testai

Testo statistika: χ² = Σ(O − E)²/E
Suderinamumo kriterijus: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Nepriklausomumas: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Kritinės reikšmės (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Sprendimas: atmeskite H₀, jei χ² > χ²_crit

2Uždaviniai

1.Psichologijos tyrimų metodaiVidutinis

Vidinis validumas reiškia:

AAr dalyviams tyrimas buvo įdomus
BAr testas laikui bėgant duoda tuos pačius rezultatus
CAr stebėtą poveikį iš tikrųjų sukėlė NK, o ne kiti veiksniai
DAr rezultatai tinka už tyrimo ribų kitoms populiacijoms, aplinkoms ir laikotarpiams

2.Psichologijos tyrimų metodaiSunkus

Koks pagrindinis atsitiktinio priskyrimo sąlygoms tikslas eksperimente?

ATolygiai paskirstyti dalyvių kintamuosius, kad jie neiškreiptų rezultatų
BUžtikrinti, kad dalyviai nežinotų tikslo
CPadaryti imtį reprezentatyvią tiksliniai populiacijai, kad rezultatus būtų galima apibendrinti
DPadidinti atsakymų dažnį

3.Aprašomoji statistikaVidutinis

Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 36, 41, 26, 54, 23, 44.

n = 6

s =

4.Aprašomoji statistikaSunkus

Dydis pasiskirstęs normaliai, vidurkis 70, standartinis nuokrypis 20. Kokia reikšmių dalis P yra didesnė už 60?

μ = 70σ = 20x = 60

P =

5.TikimybėVidutinis

Keliais būdais N iš 11 žmonių grupės galima išrinkti 5 žmonių komisiją? Tvarka nesvarbi.

n = 11k = 5

N =

6.TikimybėSunkus

Tikrinami 6 komponentai, kiekvienas sugenda nepriklausomai su tikimybe 0,6. Kokia tikimybė P, kad suges daugiausia vienas?

n = 6p = 0,6

P =

7.Normalusis skirstinysVidutinis

Nuvilkite z, kad nuspalvintas plotas tarp −z ir z po standartine normaliąja kreive būtų 0,3328. Raskite z dviejų ženklų po kablelio tikslumu.

A = 0,3328

z =

8.Normalusis skirstinysSunkus

baterijų veikimo trukmės pasiskirstę normaliai, vidurkis 500 h, standartinis nuokrypis 40 h. Nuvilkite ribą taip, kad nuspalvinti viršutiniai 70 % būtų dešinėje nuo jos. Raskite ribą x.

μ = 500 hσ = 40 h70%

x = h

9.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis

Lyginamas dviejų telefonų modelių baterijos veikimo laikas. 1 modelis: 40 telefonų, vidurkis 147 h, žinomas standartinis nuokrypis 14 h. 2 modelis: 80 telefonų, vidurkis 160,5 h, žinomas standartinis nuokrypis 18 h. Raskite μ₁ − μ₂ 90 % pasikliautinojo intervalo apatinį rėžį.

n₁ = 40x̄₁ = 147 hσ₁ = 14 hn₂ = 80x̄₂ = 160,5 hσ₂ = 18 h90%

apatinis rėžis = h

10.Pasikliautinieji intervalaiSunkus

30 apdirbtų velenų skersmenų imties standartinis nuokrypis 10 µm. Laikydami, kad skersmenys pasiskirstę normaliai, raskite populiacijos standartinio nuokrypio 95 % pasikliautinojo intervalo rėžį (viršutinis rėžis) σ. Kai df = 29, 2,5 % χ² skirstinio yra žemiau 16,047, o 2,5 % – aukščiau 45,722.

n = 30s = 10 µmχ² = 16,047, 45,722

σ = µm

11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis

6 darbuotojų rašymo klaviatūra testą atlieka prieš mokymo kursus ir po jų. Kiekvienam asmeniui užrašomas skirtumas d = po − prieš (žodžiai per minutę). Vidutinis skirtumas 2,23, o skirtumų standartinis nuokrypis 2,6. Raskite porinio testo statistiką t hipotezei H₀: μ_d = 0.

n = 6d̄ = 2,23s_d = 2,6

t =

12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus

64 matavimų imties vidurkis – 200,4. Populiacijos standartinis nuokrypis – 15. Raskite vidurkio 99 % pasikliautinojo intervalo apatinį rėžį L.

x̄ = 200,4σ = 15n = 6499%

L =

13.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = reklamos išlaidos k€ ir y = pardavimai k€. Raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.

n = 6

r =

14.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus

Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = temperatūra °C ir y = parduoti ledai. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Gautas naujas stebėjimas (19, 64). Raskite jo liekaną e = y − ŷ.

n = 5(19, 64)

e =

15.Chi kvadrato testaiVidutinis

Kryžminėje lentelėje pateikti stebėti dažniai. Chi kvadrato nepriklausomumo testui raskite langelio „kaimo, aukštas“ tikėtiną dažnį E.

eilutės suma = 98stulpelio suma = 71N = 210

E =

16.Chi kvadrato testaiSunkus

Lentelėje pateikti stebėti dažniai. Esant α = 0,01 patikrinkite, ar abu kintamieji nepriklausomi (be tolydumo pataisos). Apskaičiuokite testo statistiką χ², tada palyginkite ją su kritine reikšme iš lentelės.

N = 2203 × 2α = 0,01

χ² =

3Tirpalai

1.Psichologijos tyrimų metodai

Atsakymas: C · Ar stebėtą poveikį iš tikrųjų sukėlė NK, o ne kiti veiksniai

Kodėl tai yra atsakymas

Didelis vidinis validumas reiškia, kad alternatyvūs paaiškinimai, pvz., painiojantys veiksniai, užduoties reikalavimų požymiai ar eksperimentatoriaus šališkumas, atmesti. Išorinis validumas susijęs su apibendrinimu.

Atsakymas

C · Ar stebėtą poveikį iš tikrųjų sukėlė NK, o ne kiti veiksniai

2.Psichologijos tyrimų metodai

Atsakymas: A · Tolygiai paskirstyti dalyvių kintamuosius, kad jie neiškreiptų rezultatų

Kodėl tai yra atsakymas

Atsitiktinis priskyrimas subalansuoja individualius skirtumus tarp sąlygų ir padeda daryti priežastines išvadas. Atsitiktinė atranka susijusi su apibendrinimu populiacijai.

Atsakymas

A · Tolygiai paskirstyti dalyvių kintamuosius, kad jie neiškreiptų rezultatų

3.Aprašomoji statistika

Atsakymas: s = 11,59

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Vidurkis

x̄ = 224/6 = 37,33

Nuokrypių kvadratai

Σ(x − x̄)² = (−1,333)² + 3,667² + (−11,33)² + 16,67² + (−14,33)² + 6,667² = 671,3

Standartinis nuokrypis

s = √(671,3/5) = 11,59

Atsakymas

s = 11,59

4.Aprašomoji statistika

Atsakymas: P = 0,6915

Standartizuokite

z = −0,5

Standartinio normaliojo skirstinio lentelė

Φ(−0,5) = 0,3085

P = 1 − 0,3085 = 0,6915

Atsakymas

P = 0,6915

5.Tikimybė

Atsakymas: N = 462

Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Deriniai

C(11, 5) = (11·10·9·8·7)/(5·4·3·2·1) = 462

Atsakymas

N = 462

6.Tikimybė

Atsakymas: P = 0,04096

Nulis ir vienas gedimas

P(X = 0) = 0,4⁶ = 0,004096

P(X = 1) = 6·0,6·0,4⁵ = 0,03686

Sudėkite

P = 0,004096 + 0,03686 = 0,04096

Atsakymas

P = 0,04096

7.Normalusis skirstinys

Atsakymas: z = 0,43

Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.

Plotas kairėje nuo z

Φ(z) = (1 + 0,3328)/2 = 0,6664

Skaitykite z lentelę atvirkščiai

Lentelėje suraskite 0,6664 ir nuskaitykite z.

z = 0,43

Atsakymas

z = 0,43

8.Normalusis skirstinys

Atsakymas: x = 479 h

Plotas kairėje

Φ(z) = 0,3

z iš lentelės

z ≈ −0,52

Atgal į pradinius vienetus

x = 500 − 0,52·40 = 479 h

Atsakymas

x = 479 h

9.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: apatinis rėžis = −18,42 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Taškinis įvertis

x̄₁ − x̄₂ = 147 − 160,5 = −13,5

Standartinė paklaida

SE = √(14²/40 + 18²/80) = 2,992

Paklaidos riba

E = 1,645·2,992 = 4,921

Intervalas

−13,5 ± 4,921 → [−18,42, −8,579]

Atsakymas

apatinis rėžis = −18,42 h

Intervalas neapima 0, todėl vidurkiai reikšmingai skiriasi.

10.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: σ = 13,44 µm

Dispersijos intervalas: (n − 1)s²/σ² turi χ² skirstinį su n − 1 laisvės laipsniu. σ² 95 % intervalas tęsiasi nuo (n − 1)s², padalyto iš viršutinės χ² reikšmės (virš jos 2,5 %), iki (n − 1)s², padalyto iš apatinės χ² reikšmės (žemiau jos 2,5 %); σ intervalas gaunamas ištraukus šaknį iš abiejų rėžių. Jis nesimetriškas s atžvilgiu.

Kvadratų suma

(n − 1)s² = 29·10² = 2900

σ² rėžiai

2900/45,722 = 63,43

2900/16,047 = 180,7

σ rėžis

σ = √180,7 = 13,44 µm

Atsakymas

σ = 13,44 µm

σ 95 % intervalas: [7,964, 13,44] µm.

11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: t = 2,101

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Vidutinio skirtumo standartinė paklaida

SE = 2,6/√6 = 1,061

Testo statistika

t = 2,23/1,061 = 2,101

Atsakymas

t = 2,101

Kai df = 5, dvipusio 5 % testo kritinė reikšmė yra 2,571; |t| mažesnis, todėl H₀ neatmetama.

12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: L = 195,6

Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).

Paklaidos riba

E = 2,576·15/√64 = 4,83

Intervalo rėžis

L = 200,4 − 4,83 = 195,6

Atsakymas

L = 195,6

13.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: r = 0,9875

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Vidurkiai

x̄ = 36/6 = 6

ȳ = 324/6 = 54

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 256

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 960

Koreliacijos koeficientas

r = 256/√(70·960) = 0,9875

Atsakymas

r = 0,9875

14.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: e = 3,75

Vidurkiai

x̄ = 100/5 = 20

ȳ = 318/5 = 63,6

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 134

Regresijos tiesė

b = 134/40 = 3,35

a = 63,6 − 3,35·20 = −3,4

ŷ = −3,4 + 3,35·x

Prognozuojama reikšmė

ŷ = −3,4 + 3,35·19 = 60,25

Liekana

e = 64 − 60,25 = 3,75

Atsakymas

e = 3,75

Taškas yra virš tiesės.

15.Chi kvadrato testai

Atsakymas: E = 33,13

Chi kvadrato testai: stebėtus dažnius O palyginkite su pagal H₀ tikėtinais dažniais E naudodami χ² = Σ(O − E)²/E. Suderinamumo kriterijus: kiekvienai kategorijai E = n·p, df = k − 1 (ir dar minus vienas už kiekvieną iš duomenų įvertintą parametrą). Nepriklausomumas r × c lentelėje: E = eilutės suma × stulpelio suma / bendra suma, df = (r − 1)(c − 1). H₀ atmeskite, kai χ² viršija pasirinktą α atitinkančią kritinę reikšmę.

Tikėtinas dažnis

E = 98·71/210 = 33,13

Atsakymas

E = 33,13

16.Chi kvadrato testai

Atsakymas: χ² = 16,55

Tikėtini dažniai

amžius 18–30: 30, 10

amžius 31–50: 60, 20

amžius 51+: 75, 25

Chi kvadrato statistika

χ² = (34 − 30)²/30 + (6 − 10)²/10 + (69 − 60)²/60 + (11 − 20)²/20 + (62 − 75)²/75 + (38 − 25)²/25

χ² = 16,55

Sprendimas

df = 2, χ²_crit = 9,210

16,55 > 9,210

Atsakymas

χ² = 16,55

χ² didesnis už kritinę reikšmę, todėl H₀ atmetama: atrodo, kad kintamieji susiję.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology