Psichologijos tyrimų metodai ir statistika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 16 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Aprašomoji statistika

Vidurkis: x̄ = Σx/n
Imties standartinis nuokrypis: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
z įvertis: z = (x − μ)/σ
Normalusis skirstinys: 68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ

Tikimybė

Priešingas įvykis: P(not A) = 1 − P(A)
Sudėties taisyklė: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Nepriklausomi įvykiai: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Sąlyginė tikimybė: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binominis skirstinys: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normalusis skirstinys

z įvertis: z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x: P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Procentilis: x = μ + z·σ

Metodas

Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

Pasikliautinieji intervalai

σ žinomas: x̄ ± z·σ/√n
σ nežinomas: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritinė z reikšmė: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Imties dydis: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodas

Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
Intervalas: x̄ ± E.

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

z testas vidurkiui: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t testas vidurkiui: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo: atmeskite H₀, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas: x̄ ± z·σ/√n

Metodas

Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.

Tiesinė regresija ir koreliacija

Kvadratų sumos: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Krypties koeficientas: b = S_xy/S_xx
Laisvasis narys: a = ȳ − b·x̄
Koreliacija: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Liekana: e = y − ŷ

Chi kvadrato testai

Testo statistika: χ² = Σ(O − E)²/E
Suderinamumo kriterijus: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Nepriklausomumas: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Kritinės reikšmės (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Sprendimas: atmeskite H₀, jei χ² > χ²_crit

2Uždaviniai

1.Psichologijos tyrimų metodaiVidutinis

Kuris testas tinka dviejų nepriklausomų grupių vidurkiams palyginti, kai intervaliniai duomenys pasiskirstę apytiksliai normaliai?

ANepriklausomų imčių t testas
BChi kvadrato testas
CPirsono koreliacija
DVilkoksono ženklų rangų testas

2.Psichologijos tyrimų metodaiSunkus

„Replikacijos krizė" psichologijoje reiškia:

AKad daugelis paskelbtų rezultatų nepasikartoja naujuose tyrimuose
BDalyvių eksperimentams trūkumą
CKlausimynų kopijavimą be leidimo
DTai, kad įstatymas įpareigoja žurnalus atmesti visus pateiktus replikacijos tyrimus

3.Aprašomoji statistikaVidutinis

Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 44, 12, 13, 42, 58, 18.

n = 6

s =

4.Aprašomoji statistikaSunkus

Egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 60, standartinis nuokrypis 10. Raskite rezultato 80 z įvertį z.

μ = 60σ = 10x = 80

z =

5.TikimybėVidutinis

Parodytam skirstiniui raskite X dispersiją Var(X).

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,2, 0,2, 0,15, 0,15, 0,3

Var(X) =

6.TikimybėSunkus

Žaidimo kaina yra €2. Laimite €10 su tikimybe 0,3 ir €40 su tikimybe 0,02; kitu atveju nelaimite nieko. Statymas negrąžinamas. Raskite laukiamą grynąjį laimėjimą E(G) per žaidimą.

statymas = €2€10: p = 0,3€40: p = 0,02

E(G) = €

7.Normalusis skirstinysVidutinis

Tarkime, kad maišų masės pasiskirstę normaliai, vidurkis 250 g, standartinis nuokrypis 5 g. Kokia dalis reikšmių yra tarp 240 ir 252,5 g? P pateikite dešimtaine trupmena.

μ = 250σ = 5x₁ = 240x₂ = 252,5

P =

8.Normalusis skirstinysSunkus

Tarkime, kad pristatymo trukmės pasiskirstę normaliai, vidurkis 32 min, standartinis nuokrypis 6 min. Raskite reikšmę x, už kurią mažesnės yra 25 % reikšmių (25-asis procentilis).

μ = 32σ = 6P = 25%

x = min

9.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis

30 elementų imties vidurkis – 113,5, standartinis nuokrypis s = 19. Populiacija pasiskirsčiusi apytiksliai normaliai. Raskite vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo viršutinį rėžį.

n = 30x̄ = 113,5s = 1995%t(29) = 2,045

viršutinis rėžis =

10.Pasikliautinieji intervalaiSunkus

Populiacijos standartinis nuokrypis – 17. Kokio dydžio imties n reikia, kad vidurkio 90 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 5?

σ = 17E = 590%

n =

11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis

16 studentų imties vidutinis rezultatas – 98,6, imties standartinis nuokrypis – 4. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ = 100.

μ₀ = 100x̄ = 98,6s = 4n = 16

t =

12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus

36 matavimų imties vidurkis – 106. Populiacijos standartinis nuokrypis – 20. Raskite vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo viršutinį rėžį U.

x̄ = 106σ = 20n = 3695%

U =

13.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = apkrova kN ir y = pailgėjimas mm. Raskite mažiausiųjų kvadratų tiesės determinacijos koeficientą r².

n = 6

r² =

14.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = apkrova kN ir y = pailgėjimas mm. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Prognozuokite ŷ, kai x = 5.

n = 6x = 5

ŷ =

15.Chi kvadrato testaiVidutinis

Kryžminėje lentelėje pateikti stebėti dažniai. Apskaičiuokite eilučių ir stulpelių kintamųjų nepriklausomumo testo chi kvadrato statistiką χ². Tolydumo pataisos nenaudokite.

N = 2002 × 2

χ² =

16.Chi kvadrato testaiSunkus

Chi kvadrato suderinamumo testas tikrina, ar dažniai 5 kategorijose atitinka Puasono skirstinį, kurio vidurkis įvertintas iš tų pačių duomenų. Kiek laisvės laipsnių df turi testas?

k = 5

df =

3Tirpalai

1.Psichologijos tyrimų metodai

Atsakymas: A · Nepriklausomų imčių t testas

Kodėl tai yra atsakymas

Nepriklausomų imčių t testas lygina du grupių vidurkius. Chi kvadratas skirtas dažniams; Vilkoksono testas – priklausomoms imtims su neparametriniais duomenimis.

Atsakymas

A · Nepriklausomų imčių t testas

2.Psichologijos tyrimų metodai

Atsakymas: A · Kad daugelis paskelbtų rezultatų nepasikartoja naujuose tyrimuose

Kodėl tai yra atsakymas

Dideli replikacijos projektai nustatė, kad daugelis poveikių yra mažesni arba jų nėra; tai susiję su publikavimo šališkumu, mažomis imtimis ir lanksčia analize. Vienas iš atsakų – išankstinė registracija.

Atsakymas

A · Kad daugelis paskelbtų rezultatų nepasikartoja naujuose tyrimuose

3.Aprašomoji statistika

Atsakymas: s = 19,35

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Vidurkis

x̄ = 187/6 = 31,17

Nuokrypių kvadratai

Σ(x − x̄)² = 12,83² + (−19,17)² + (−18,17)² + 10,83² + 26,83² + (−13,17)² = 1873

Standartinis nuokrypis

s = √(1873/5) = 19,35

Atsakymas

s = 19,35

4.Aprašomoji statistika

Atsakymas: z = 2

Standartizuokite

z = (80 − 60)/10 = 2

Atsakymas

z = 2

5.Tikimybė

Atsakymas: Var(X) = 2,328

Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σ_Y = |a|·σ_X; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.

Vidurkis

μ = 1·0,2 + 2·0,2 + 3·0,15 + 4·0,15 + 5·0,3 = 3,15

Kvadratų vidurkis

E(X²) = 1·0,2 + 4·0,2 + 9·0,15 + 16·0,15 + 25·0,3 = 12,25

Dispersija

Var(X) = 12,25 − 3,15² = 2,328

Atsakymas

Var(X) = 2,328

6.Tikimybė

Atsakymas: E(G) = 1,8 €

Grynosios baigtys

G: 8 (p = 0,3), 38 (p = 0,02), −2 (p = 0,68)

Laukiamoji vertė

E(G) = 8·0,3 + 38·0,02 − 2·0,68 = 1,8 €

Atsakymas

E(G) = 1,8 €

Teigiama vertė reiškia, kad vidutiniškai laimite pinigų.

7.Normalusis skirstinys

Atsakymas: P = 0,6687

Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.

z įverčiai

z₁ = (240 − 250)/5 = −2

z₂ = (252,5 − 250)/5 = 0,5

Plotas tarp

P = Φ(0,5) − Φ(−2) = 0,6915 − 0,02275 = 0,6687

Atsakymas

P = 0,6687

8.Normalusis skirstinys

Atsakymas: x = 27,95 min

Procentilio z

Φ(z) = 0,25 → z = −0,6745

Atgal į x

x = 32 + −0,6745·6 = 27,95 min

Atsakymas

x = 27,95 min

9.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: viršutinis rėžis = 120,6

Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.

Kritinė reikšmė

df = n − 1 = 29, t = 2,045

Paklaidos riba

E = 2,045·19/√30 = 7,094

Intervalas

113,5 ± 7,094 → [106,4, 120,6]

Atsakymas

viršutinis rėžis = 120,6

10.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: n = 32

Išreikškite n

n = (1,645·17/5)² = 31,28

Apvalinkite aukštyn

Imties dydis yra sveikasis skaičius, o apvalinant žemyn paklaidos riba būtų per didelė.

n = 32

Atsakymas

n = 32

11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: t = −1,4

Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).

Standartinė paklaida

SE = 4/√16 = 4/4 = 1

Testo statistika

t = (98,6 − 100)/1 = −1,4

Atsakymas

t = −1,4

t_{0,025; df = 15} = 2,131

|t| < 2.131, todėl H₀ neatmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).

12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: U = 112,5

Paklaidos riba

E = 1,96·20/√36 = 6,533

Intervalo rėžis

U = 106 + 6,533 = 112,5

Atsakymas

U = 112,5

13.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: r² = 0,9848

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Vidurkiai

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 149/6 = 24,83

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 237

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 814,8

Determinacijos koeficientas

r² = 237²/(70·814,8) = 0,9848

Atsakymas

r² = 0,9848

Apie 98,48% y kitimo paaiškinama tiese.

14.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: ŷ = 19,23

Vidurkiai

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 162/6 = 27

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 272

Regresijos tiesė

b = 272/70 = 3,886

a = 27 − 3,886·7 = −0,2

ŷ = −0,2 + 3,886·x

Prognozė

ŷ = −0,2 + 3,886·5 = 19,23

Atsakymas

ŷ = 19,23

15.Chi kvadrato testai

Atsakymas: χ² = 13,66

Chi kvadrato testai: stebėtus dažnius O palyginkite su pagal H₀ tikėtinais dažniais E naudodami χ² = Σ(O − E)²/E. Suderinamumo kriterijus: kiekvienai kategorijai E = n·p, df = k − 1 (ir dar minus vienas už kiekvieną iš duomenų įvertintą parametrą). Nepriklausomumas r × c lentelėje: E = eilutės suma × stulpelio suma / bendra suma, df = (r − 1)(c − 1). H₀ atmeskite, kai χ² viršija pasirinktą α atitinkančią kritinę reikšmę.

Tikėtini dažniai

vyrai: 100·110/200 = 55, 100·90/200 = 45

moterys: 100·110/200 = 55, 100·90/200 = 45

Chi kvadrato statistika

χ² = (68 − 55)²/55 + (32 − 45)²/45 + (42 − 55)²/55 + (58 − 45)²/45

χ² = 13,66

Atsakymas

χ² = 13,66

df = 1. Kai α = 0,05, kritinė reikšmė yra 3,841, todėl H₀ (nepriklausomumas) atmetama.

16.Chi kvadrato testai

Atsakymas: df = 3

Laisvės laipsniai

df = 5 − 1 − 1 = 3

Atsakymas

df = 3

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology