Psichologijos tyrimų metodai ir statistika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 16 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Aprašomoji statistika

Vidurkis
x̄ = Σx/n
Imties standartinis nuokrypis
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana
vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
z įvertis
z = (x − μ)/σ
Normalusis skirstinys
68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ

Tikimybė

Priešingas įvykis
P(not A) = 1 − P(A)
Sudėties taisyklė
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Nepriklausomi įvykiai
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Sąlyginė tikimybė
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binominis skirstinys
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Normalusis skirstinys

z įvertis
z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x
P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp
Φ(z2) − Φ(z1)
Procentilis
x = μ + z·σ

Metodas

  1. Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
  2. Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
  3. Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
  4. Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

Pasikliautinieji intervalai

σ žinomas
x̄ ± z·σ/√n
σ nežinomas
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritinė z reikšmė
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Imties dydis
n = (z·σ/E)², rounded up

Metodas

  1. Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
  2. Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
  3. Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
  4. Intervalas: x̄ ± E.

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

z testas vidurkiui
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t testas vidurkiui
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo
atmeskite H0, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas
x̄ ± z·σ/√n

Metodas

  1. Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
  2. Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
  3. Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
  4. H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.

Tiesinė regresija ir koreliacija

Kvadratų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Krypties koeficientas
b = Sxy/Sxx
Laisvasis narys
a = ȳ − b·x̄
Koreliacija
r = Sxy/√(SxxSyy)
Liekana
e = y − ŷ

Chi kvadrato testai

Testo statistika
χ² = Σ(O − E)²/E
Suderinamumo kriterijus
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Nepriklausomumas
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Kritinės reikšmės (α = 0,05)
df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Sprendimas
atmeskite H0, jei χ² > χ²crit

2Uždaviniai

1.Psichologijos tyrimų metodaiVidutinis

Tobulame normaliajame skirstinyje:

  1. AVidurkis, mediana ir moda lygūs
  2. BDauguma įverčių yra uodegose
  3. CModa yra mažiausias įvertis
  4. DVidurkis visada didesnis už medianą
2.Psichologijos tyrimų metodaiSunkus

Tyrėjas manipuliuoja nuotaika rodydamas liūdną filmą, o prieš pagrindinę užduotį prašo dalyvių įvertinti, kaip liūdnai jie jaučiasi. Kodėl įtrauktas šis vertinimas?

  1. AKaip pagrindinis tyrimo priklausomasis kintamasis
  2. BSąlygų eiliškumui kontrabalansuoti
  3. CKaip manipuliacijos patikra, patvirtinanti, kad NK suveikė kaip numatyta
  4. DDalyviams paaiškinti tyrimo tikslus
3.Aprašomoji statistikaVidutinis
202530354045

Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 18, 49, 24, 23, 30, 17, 46.

n = 7
s =
4.Aprašomoji statistikaSunkus
z −2−1012

Dydis pasiskirstęs normaliai, vidurkis 100, standartinis nuokrypis 5. Kokia reikšmių dalis P yra mažesnė už 106,3?

μ = 100σ = 5x = 106,3
P =
5.TikimybėVidutinis
xp(x)00,220,3540,160,35μ = 3,2

Parodytam skirstiniui raskite X dispersiją Var(X).

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,2, 0,35, 0,1, 0,35
Var(X) =
6.TikimybėSunkus
€p(x)−30,8330,15570,02

Žaidimo kaina yra €3. Laimite €6 su tikimybe 0,15 ir €60 su tikimybe 0,02; kitu atveju nelaimite nieko. Statymas negrąžinamas. Raskite laukiamą grynąjį laimėjimą E(G) per žaidimą.

statymas = €3€6: p = 0,15€60: p = 0,02
E(G) = €
7.Normalusis skirstinysVidutinis
76,75118P = ?

Tarkime, kad IQ testų rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 100 tšk., standartinis nuokrypis 15 tšk.. Kokia dalis reikšmių yra tarp 76,75 ir 118 tšk.? P pateikite dešimtaine trupmena.

μ = 100σ = 15x1 = 76,75x2 = 118
P =
8.Normalusis skirstinysSunkus
557085100115130145tšk.apačia 95%

IQ testų rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 100 tšk., standartinis nuokrypis 15 tšk.. Nuvilkite ribą taip, kad nuspalvinti apatiniai 95 % būtų kairėje nuo jos. Raskite ribą x.

μ = 100 tšk.σ = 15 tšk.95%
x = tšk.
9.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis
n = 13, s = 7L = ?Ux̄ = 87E95%

13 elementų imties vidurkis – 87, standartinis nuokrypis s = 7. Populiacija pasiskirsčiusi apytiksliai normaliai. Raskite vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo apatinį rėžį.

n = 13x̄ = 87s = 795%t(12) = 2,179
apatinis rėžis =
10.Pasikliautinieji intervalaiSunkus
σ = 19, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 2,595%

Populiacijos standartinis nuokrypis – 19. Kokio dydžio imties n reikia, kad vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 2,5?

σ = 19E = 2,595%
n =
11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
t −2,06402,064

25 studentų imties vidutinis rezultatas – 78,84, imties standartinis nuokrypis – 8. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ = 75.

μ₀ = 75x̄ = 78,84s = 8n = 25
t =
12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
σ = 20, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 2,595%

Kokia didelė turi būti imtis, kad vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 2,5? Standartinis nuokrypis – 20. Raskite mažiausią imties dydį n.

σ = 20E = 2,595%
n =
13.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis
xy284136208301036xy510102030

Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = apkrova kN ir y = pailgėjimas mm. Pateiktos jų sumos. Pagal šias sumas raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.

n = 5Σx = 30Σy = 107Σx² = 220Σy² = 2829Σxy = 788
r =
14.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus
xy165619792284251002811331125xy15202530100ŷ = 106

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = temperatūra °C ir y = parduoti ledai. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Kuriai reikšmei x tiesė prognozuoja ŷ = 106?

n = 6ŷ = 106
x =
15.Chi kvadrato testaiVidutinis
be defektųnežymusdidelisIš visodieninė pamaina3883682naktinė pamaina214245108Iš viso595081190

Kryžminėje lentelėje pateikti stebėti dažniai. Chi kvadrato nepriklausomumo testui raskite langelio „naktinė pamaina, be defektų“ tikėtiną dažnį E.

eilutės suma = 108stulpelio suma = 59N = 190
E =
16.Chi kvadrato testaiSunkus
dfα = 0,05α = 0,0113,8416,63525,9919,21037,81511,34549,48813,277511,07015,086612,59216,812714,06718,475815,50720,090916,91921,6661018,30723,209

Chi kvadrato suderinamumo testas tikrina, ar dažniai 4 kategorijose atitinka Puasono skirstinį, kurio vidurkis įvertintas iš tų pačių duomenų. Naudodami lentelę, raskite kritinę reikšmę χ²crit, kai reikšmingumo lygmuo α = 0,05.

α = 0,05
χ²crit =

3Tirpalai

1.Psichologijos tyrimų metodai

Atsakymas: A · Vidurkis, mediana ir moda lygūs

Kodėl tai yra atsakymas

Normalusis skirstinys simetriškas ir varpo formos, todėl visi trys centrinės tendencijos matai yra centre.

Atsakymas

A · Vidurkis, mediana ir moda lygūs
2.Psichologijos tyrimų metodai

Atsakymas: C · Kaip manipuliacijos patikra, patvirtinanti, kad NK suveikė kaip numatyta

Kodėl tai yra atsakymas

Manipuliacijos patikra patikrina, ar NK sukėlė numatytą psichologinę būseną. Be jos nulinis rezultatas galėtų reikšti, kad manipuliacija nepavyko.

Atsakymas

C · Kaip manipuliacijos patikra, patvirtinanti, kad NK suveikė kaip numatyta
3.Aprašomoji statistika

Atsakymas: s = 13

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Vidurkis

x̄ = 207/7 = 29,57

Nuokrypių kvadratai

Σ(x − x̄)² = (−11,57)² + 19,43² + (−5,571)² + (−6,571)² + 0,4286² + (−12,57)² + 16,43² = 1014

Standartinis nuokrypis

s = √(1014/6) = 13

Atsakymas

s = 13
4.Aprašomoji statistika

Atsakymas: P = 0,8944

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Standartizuokite

z = 1,25

Standartinio normaliojo skirstinio lentelė

Φ(1,25) = 0,8944
P = 0,8944

Atsakymas

P = 0,8944
5.Tikimybė

Atsakymas: Var(X) = 5,36

Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.

Vidurkis

μ = 0·0,2 + 2·0,35 + 4·0,1 + 6·0,35 = 3,2

Kvadratų vidurkis

E(X²) = 0·0,2 + 4·0,35 + 16·0,1 + 36·0,35 = 15,6

Dispersija

Var(X) = 15,6 − 3,2² = 5,36

Atsakymas

Var(X) = 5,36
6.Tikimybė

Atsakymas: E(G) = −0,9 €

Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.

Grynosios baigtys

G: 3 (p = 0,15), 57 (p = 0,02), −3 (p = 0,83)

Laukiamoji vertė

E(G) = 3·0,15 + 57·0,02 − 3·0,83 = −0,9 €

Atsakymas

E(G) = −0,9 €

Neigiama vertė reiškia, kad vidutiniškai prarandate pinigus.

7.Normalusis skirstinys

Atsakymas: P = 0,8244

Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.

z įverčiai

z₁ = (76,75 − 100)/15 = −1,55
z₂ = (118 − 100)/15 = 1,2

Plotas tarp

P = Φ(1,2) − Φ(−1,55) = 0,8849 − 0,06057 = 0,8244

Atsakymas

P = 0,8244
8.Normalusis skirstinys

Atsakymas: x = 124,6 tšk.

Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.

Plotas kairėje

Φ(z) = 0,95

z iš lentelės

z ≈ 1,64

Atgal į pradinius vienetus

x = 100 + 1,64·15 = 124,6 tšk.

Atsakymas

x = 124,6 tšk.
9.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: apatinis rėžis = 82,77

Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.

Kritinė reikšmė

df = n − 1 = 12, t = 2,179

Paklaidos riba

E = 2,179·7/√13 = 4,23

Intervalas

87 ± 4,23 → [82,77, 91,23]

Atsakymas

apatinis rėžis = 82,77
10.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: n = 222

Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.

Išreikškite n

n = (1,96·19/2,5)² = 221,9

Apvalinkite aukštyn

Imties dydis yra sveikasis skaičius, o apvalinant žemyn paklaidos riba būtų per didelė.

n = 222

Atsakymas

n = 222
11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: t = 2,4

Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).

Standartinė paklaida

SE = 8/√25 = 8/5 = 1,6

Testo statistika

t = (78,84 − 75)/1,6 = 2,4

Atsakymas

t = 2,4
t0,025; df = 24 = 2,064

|t| > 2,064, todėl H₀ atmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).

12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: n = 246

Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).

Išreikškite n

n = (1,96·20/2,5)² = 245,9

Apvalinkite aukštyn

n = 246

Atsakymas

n = 246
13.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: r = 0,9941

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Centruotos sumos

Sxy = 788 − 30·107/5 = 146
Sxx = 220 − 30²/5 = 40
Syy = 2829 − 107²/5 = 539,2

Koreliacijos koeficientas

r = 146/√(40·539,2) = 0,9941

Atsakymas

r = 0,9941
14.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: x = 26,49

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Vidurkiai

x̄ = 141/6 = 23,5
ȳ = 557/6 = 92,83

Kvadratų ir sandaugų sumos

Sxx = Σ(x − x̄)² = 157,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 694,5

Regresijos tiesė

b = 694,5/157,5 = 4,41
a = 92,83 − 4,41·23,5 = −10,79
ŷ = −10,79 + 4,41·x

Išspręskite x atžvilgiu

x = (106 − (−10,79))/4,41 = 26,49

Atsakymas

x = 26,49
15.Chi kvadrato testai

Atsakymas: E = 33,54

Chi kvadrato testai: stebėtus dažnius O palyginkite su pagal H₀ tikėtinais dažniais E naudodami χ² = Σ(O − E)²/E. Suderinamumo kriterijus: kiekvienai kategorijai E = n·p, df = k − 1 (ir dar minus vienas už kiekvieną iš duomenų įvertintą parametrą). Nepriklausomumas r × c lentelėje: E = eilutės suma × stulpelio suma / bendra suma, df = (r − 1)(c − 1). H₀ atmeskite, kai χ² viršija pasirinktą α atitinkančią kritinę reikšmę.

Tikėtinas dažnis

E = 108·59/190 = 33,54

Atsakymas

E = 33,54
16.Chi kvadrato testai

Atsakymas: χ²crit = 5,991

Chi kvadrato testai: stebėtus dažnius O palyginkite su pagal H₀ tikėtinais dažniais E naudodami χ² = Σ(O − E)²/E. Suderinamumo kriterijus: kiekvienai kategorijai E = n·p, df = k − 1 (ir dar minus vienas už kiekvieną iš duomenų įvertintą parametrą). Nepriklausomumas r × c lentelėje: E = eilutės suma × stulpelio suma / bendra suma, df = (r − 1)(c − 1). H₀ atmeskite, kai χ² viršija pasirinktą α atitinkančią kritinę reikšmę.

Laisvės laipsniai

df = 4 − 1 − 1 = 2

Lentelė

χ²crit(df = 2, α = 0,05) = 5,991

Atsakymas

χ²crit = 5,991

H₀ atmeskite, jei apskaičiuotas χ² didesnis už šią reikšmę.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology