Psichologijos tyrimų metodai ir statistika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 16 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Aprašomoji statistika

Vidurkis
x̄ = Σx/n
Imties standartinis nuokrypis
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana
vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
z įvertis
z = (x − μ)/σ
Normalusis skirstinys
68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ

Tikimybė

Priešingas įvykis
P(not A) = 1 − P(A)
Sudėties taisyklė
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Nepriklausomi įvykiai
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Sąlyginė tikimybė
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binominis skirstinys
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Normalusis skirstinys

z įvertis
z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x
P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp
Φ(z2) − Φ(z1)
Procentilis
x = μ + z·σ

Metodas

  1. Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
  2. Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
  3. Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
  4. Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

Pasikliautinieji intervalai

σ žinomas
x̄ ± z·σ/√n
σ nežinomas
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritinė z reikšmė
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Imties dydis
n = (z·σ/E)², rounded up

Metodas

  1. Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
  2. Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
  3. Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
  4. Intervalas: x̄ ± E.

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

z testas vidurkiui
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t testas vidurkiui
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo
atmeskite H0, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas
x̄ ± z·σ/√n

Metodas

  1. Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
  2. Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
  3. Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
  4. H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.

Tiesinė regresija ir koreliacija

Kvadratų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Krypties koeficientas
b = Sxy/Sxx
Laisvasis narys
a = ȳ − b·x̄
Koreliacija
r = Sxy/√(SxxSyy)
Liekana
e = y − ŷ

Chi kvadrato testai

Testo statistika
χ² = Σ(O − E)²/E
Suderinamumo kriterijus
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Nepriklausomumas
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Kritinės reikšmės (α = 0,05)
df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Sprendimas
atmeskite H0, jei χ² > χ²crit

2Uždaviniai

1.Psichologijos tyrimų metodaiVidutinis

Kuris testas lygina dvi nepriklausomas grupes, kai duomenys ranginiai ar akivaizdžiai nenormalūs?

  1. ANepriklausomų imčių t testas
  2. BManno–Whitney U testas
  3. CWilcoxono ženklų rangų testas
  4. DChi kvadrato testas
2.Psichologijos tyrimų metodaiSunkus

Išanalizavęs duomenis, tyrėjas įvadą parašo taip, lyg netikėtas radinys būtų buvęs numatytas nuo pat pradžių. Tai vadinama:

  1. AOperacionalizavimu
  2. BDebriefingu
  3. CKontrabalansavimu
  4. DHARKing (hipotezių kėlimas sužinojus rezultatus)
3.Aprašomoji statistikaVidutinis
152025303540455055

Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 27, 15, 58, 37, 54.

n = 5
s =
4.Aprašomoji statistikaSunkus
z −2−1012

Dydis pasiskirstęs normaliai, vidurkis 50, standartinis nuokrypis 12. Kokia reikšmių dalis P yra mažesnė už 54,8?

μ = 50σ = 12x = 54,8
P =
5.TikimybėVidutinis
xp(x)00,0510,2520,130,340,3μ = 2,55

Parodytam skirstiniui raskite X dispersiją Var(X).

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,05, 0,25, 0,1, 0,3, 0,3
Var(X) =
6.TikimybėSunkus
n = 11, p = 0,4: P(X ≤ 1) = ?k01234567891011

Tikrinami 11 komponentai, kiekvienas sugenda nepriklausomai su tikimybe 0,4. Kokia tikimybė P, kad suges daugiausia vienas?

n = 11p = 0,4
P =
7.Normalusis skirstinysVidutinis
53,577,5P = ?

Tarkime, kad egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 65 tšk., standartinis nuokrypis 10 tšk.. Kokia dalis reikšmių yra tarp 53,5 ir 77,5 tšk.? P pateikite dešimtaine trupmena.

μ = 65σ = 10x1 = 53,5x2 = 77,5
P =
8.Normalusis skirstinysSunkus
157164171178185192199cmapačia 60%

suaugusių vyrų ūgiai pasiskirstę normaliai, vidurkis 178 cm, standartinis nuokrypis 7 cm. Nuvilkite ribą taip, kad nuspalvinti apatiniai 60 % būtų kairėje nuo jos. Raskite ribą x.

μ = 178 cmσ = 7 cm60%
x = cm
9.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis
x̄E₁ = 1,790%, n = 64x̄E₂ = ?99%, n = 128

Vidurkio 90 % pasikliautinojo intervalo, pagrįsto 64 stebėjimais ir žinomu σ, paklaidos riba yra 1,7. Kokia yra 99 % intervalo, pagrįsto 128 stebėjimais, paklaidos riba E₂?

90%n₁ = 64E₁ = 1,799%n₂ = 128
E₂ =
10.Pasikliautinieji intervalaiSunkus
p ≈ 0,4, n = ?p̂ − Ep̂ + Ep̂E = 0,0190%

Bandomasis tyrimas rodo, kad brokuotų gaminių dalis yra apie 0,4. Kiek gaminių n reikia patikrinti, kad dalies 90 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 0,01?

p ≈ 0,4E = 0,0190%
n =
11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
−2,3652,365t = ?df = 7

8 darbuotojų rašymo klaviatūra testą atlieka prieš mokymo kursus ir po jų. Kiekvienam asmeniui užrašomas skirtumas d = po − prieš (žodžiai per minutę). Vidutinis skirtumas 6,3, o skirtumų standartinis nuokrypis 6,6. Raskite porinio testo statistiką t hipotezei H₀: μd = 0.

n = 8d̄ = 6,3sd = 6,6
t =
12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
−1,961,96z = ?

Klinikiniame tyrime pasveiksta 150 iš 300 pacientų, gydytų A būdu, ir 54 iš 150 pacientų, gydytų B būdu. Naudodami jungtinę dalį, raskite testo statistiką z hipotezei H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 150n₁ = 300x₂ = 54n₂ = 150
z =
13.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis
xy144247355465567673xy246506070

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = mokymosi valandos ir y = egzamino rezultatas. Raskite mažiausiųjų kvadratų tiesės determinacijos koeficientą r².

n = 6
r² =
14.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus
xy124226323421520618xy2462025x = 3,5

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = automobilio amžius metais ir y = kaina k€. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Gautas naujas stebėjimas (3,5, 18). Raskite jo liekaną e = y − ŷ.

n = 6(3,5, 18)
e =
15.Chi kvadrato testaiVidutinis
be defektųnežymusdidelisIš visodieninė pamaina422839109naktinė pamaina8323979Iš viso506078188

Kryžminėje lentelėje pateikti stebėti dažniai. Chi kvadrato nepriklausomumo testui raskite langelio „dieninė pamaina, be defektų“ tikėtiną dažnį E.

eilutės suma = 109stulpelio suma = 50N = 188
E =
16.Chi kvadrato testaiSunkus

Chi kvadrato nepriklausomumo testas atliekamas kryžminei lentelei, turinčiai 2 eilutes ir 5 stulpelius (neskaičiuojant sumų). Kiek laisvės laipsnių df turi testas?

2 × 5
df =

3Tirpalai

1.Psichologijos tyrimų metodai

Atsakymas: B · Manno–Whitney U testas

Kodėl tai yra atsakymas

Manno–Whitney U testas lygina dviejų nesusijusių grupių rangus. Wilcoxono ženklų rangų testas skirtas susijusioms imtims.

Atsakymas

B · Manno–Whitney U testas
2.Psichologijos tyrimų metodai

Atsakymas: D · HARKing (hipotezių kėlimas sužinojus rezultatus)

Kodėl tai yra atsakymas

HARKing žvalgomuosius rezultatus pateikia kaip patvirtinamuosius, todėl radiniai atrodo tvirtesni, nei yra. Tai prisideda prie replikacijos krizės.

Atsakymas

D · HARKing (hipotezių kėlimas sužinojus rezultatus)
3.Aprašomoji statistika

Atsakymas: s = 18,07

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Vidurkis

x̄ = 191/5 = 38,2

Nuokrypių kvadratai

Σ(x − x̄)² = (−11,2)² + (−23,2)² + 19,8² + (−1,2)² + 15,8² = 1307

Standartinis nuokrypis

s = √(1307/4) = 18,07

Atsakymas

s = 18,07
4.Aprašomoji statistika

Atsakymas: P = 0,6554

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Standartizuokite

z = 0,4

Standartinio normaliojo skirstinio lentelė

Φ(0,4) = 0,6554
P = 0,6554

Atsakymas

P = 0,6554
5.Tikimybė

Atsakymas: Var(X) = 1,647

Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.

Vidurkis

μ = 0·0,05 + 1·0,25 + 2·0,1 + 3·0,3 + 4·0,3 = 2,55

Kvadratų vidurkis

E(X²) = 0·0,05 + 1·0,25 + 4·0,1 + 9·0,3 + 16·0,3 = 8,15

Dispersija

Var(X) = 8,15 − 2,55² = 1,647

Atsakymas

Var(X) = 1,647
6.Tikimybė

Atsakymas: P = 0,03023

Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Nulis ir vienas gedimas

P(X = 0) = 0,611 = 0,003628
P(X = 1) = 11·0,4·0,610 = 0,02661

Sudėkite

P = 0,003628 + 0,02661 = 0,03023

Atsakymas

P = 0,03023
7.Normalusis skirstinys

Atsakymas: P = 0,7693

Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.

z įverčiai

z₁ = (53,5 − 65)/10 = −1,15
z₂ = (77,5 − 65)/10 = 1,25

Plotas tarp

P = Φ(1,25) − Φ(−1,15) = 0,8944 − 0,1251 = 0,7693

Atsakymas

P = 0,7693
8.Normalusis skirstinys

Atsakymas: x = 179,8 cm

Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.

Plotas kairėje

Φ(z) = 0,6

z iš lentelės

z ≈ 0,25

Atgal į pradinius vienetus

x = 178 + 0,25·7 = 179,8 cm

Atsakymas

x = 179,8 cm
9.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: E₂ = 1,882

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Paklaidos ribų santykis

E₂/E₁ = (2,576/1,645)·√(64/128) = 1,107

Nauja paklaidos riba

E₂ = 1,7·1,107 = 1,882

Atsakymas

E₂ = 1,882
10.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: n = 6495

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Išreikškite n

n = 1,645²·0,4·0,6/0,01² = 6494

Apvalinkite aukštyn

n = 6495

Atsakymas

n = 6495
11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: t = 2,7

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Vidutinio skirtumo standartinė paklaida

SE = 6,6/√8 = 2,333

Testo statistika

t = 6,3/2,333 = 2,7

Atsakymas

t = 2,7

Kai df = 7, dvipusio 5 % testo kritinė reikšmė yra 2,365; |t| didesnis, todėl H₀ atmetama.

12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: z = 2,812

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Imčių dalys

p̂₁ = 150/300 = 0,5
p̂₂ = 54/150 = 0,36
p̂ = 204/450 = 0,4533

Standartinė paklaida pagal H₀

SE = √(0,4533·0,5467·(1/300 + 1/150)) = 0,04978

Testo statistika

z = (0,5 − 0,36)/0,04978 = 2,812

Atsakymas

z = 2,812

|z| > 1,96, todėl H₀ atmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).

13.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: r² = 0,9718

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Vidurkiai

x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 351/6 = 58,5

Kvadratų ir sandaugų sumos

Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 107,5
Syy = Σ(y − ȳ)² = 679,5

Determinacijos koeficientas

r² = 107,5²/(17,5·679,5) = 0,9718

Atsakymas

r² = 0,9718

Apie 97,18% y kitimo paaiškinama tiese.

14.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: e = −4

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Vidurkiai

x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 132/6 = 22

Kvadratų ir sandaugų sumos

Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −25

Regresijos tiesė

b = −25/17,5 = −1,429
a = 22 − (−1,429)·3,5 = 27
ŷ = 27 − 1,429·x

Prognozuojama reikšmė

ŷ = 27 + (−1,429)·3,5 = 22

Liekana

e = 18 − 22 = −4

Atsakymas

e = −4

Taškas yra po tiese.

15.Chi kvadrato testai

Atsakymas: E = 28,99

Chi kvadrato testai: stebėtus dažnius O palyginkite su pagal H₀ tikėtinais dažniais E naudodami χ² = Σ(O − E)²/E. Suderinamumo kriterijus: kiekvienai kategorijai E = n·p, df = k − 1 (ir dar minus vienas už kiekvieną iš duomenų įvertintą parametrą). Nepriklausomumas r × c lentelėje: E = eilutės suma × stulpelio suma / bendra suma, df = (r − 1)(c − 1). H₀ atmeskite, kai χ² viršija pasirinktą α atitinkančią kritinę reikšmę.

Tikėtinas dažnis

E = 109·50/188 = 28,99

Atsakymas

E = 28,99
16.Chi kvadrato testai

Atsakymas: df = 4

Chi kvadrato testai: stebėtus dažnius O palyginkite su pagal H₀ tikėtinais dažniais E naudodami χ² = Σ(O − E)²/E. Suderinamumo kriterijus: kiekvienai kategorijai E = n·p, df = k − 1 (ir dar minus vienas už kiekvieną iš duomenų įvertintą parametrą). Nepriklausomumas r × c lentelėje: E = eilutės suma × stulpelio suma / bendra suma, df = (r − 1)(c − 1). H₀ atmeskite, kai χ² viršija pasirinktą α atitinkančią kritinę reikšmę.

Laisvės laipsniai

df = (2 − 1)·(5 − 1) = 4

Atsakymas

df = 4

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology