Psichologijos tyrimų metodai ir statistika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 16 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Aprašomoji statistika

Vidurkis
x̄ = Σx/n
Imties standartinis nuokrypis
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana
vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
z įvertis
z = (x − μ)/σ
Normalusis skirstinys
68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ

Tikimybė

Priešingas įvykis
P(not A) = 1 − P(A)
Sudėties taisyklė
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Nepriklausomi įvykiai
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Sąlyginė tikimybė
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binominis skirstinys
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Normalusis skirstinys

z įvertis
z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x
P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp
Φ(z2) − Φ(z1)
Procentilis
x = μ + z·σ

Metodas

  1. Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
  2. Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
  3. Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
  4. Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

Pasikliautinieji intervalai

σ žinomas
x̄ ± z·σ/√n
σ nežinomas
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritinė z reikšmė
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Imties dydis
n = (z·σ/E)², rounded up

Metodas

  1. Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
  2. Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
  3. Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
  4. Intervalas: x̄ ± E.

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

z testas vidurkiui
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t testas vidurkiui
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo
atmeskite H0, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas
x̄ ± z·σ/√n

Metodas

  1. Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
  2. Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
  3. Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
  4. H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.

Tiesinė regresija ir koreliacija

Kvadratų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Krypties koeficientas
b = Sxy/Sxx
Laisvasis narys
a = ȳ − b·x̄
Koreliacija
r = Sxy/√(SxxSyy)
Liekana
e = y − ŷ

Chi kvadrato testai

Testo statistika
χ² = Σ(O − E)²/E
Suderinamumo kriterijus
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Nepriklausomumas
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Kritinės reikšmės (α = 0,05)
df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Sprendimas
atmeskite H0, jei χ² > χ²crit

2Uždaviniai

1.Psichologijos tyrimų metodaiVidutinis

Dalijimo pusiau (split-half) patikimumas apima:

  1. ADviejų imties pusių testavimą skirtingu laiku
  2. BImties padalijimą į eksperimentinę ir kontrolinę grupes ir jų įverčių palyginimą
  3. CDviejų stebėtojų naudojimą po pusę sesijų
  4. DTo paties testo dviejų pusių įverčių palyginimą vidiniam suderinamumui patikrinti
2.Psichologijos tyrimų metodaiSunkus

Tyrimas su 10 dalyvių nustato didelį, bet nereikšmingą poveikį. Kokia tinkamiausia išvada?

  1. APoveikio dydis turi būti neteisingai apskaičiuotas
  2. BPoveikis turi būti I tipo klaida
  3. CTyrimui galėjo trūkti statistinės galios, todėl rezultatas nevienareikšmis
  4. DTyrimas įrodo, kad nulinė hipotezė teisinga, nes poveikis nebuvo reikšmingas
3.Aprašomoji statistikaVidutinis
1520253035404550

Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 15, 34, 51, 53, 39, 52.

n = 6
s =
4.Aprašomoji statistikaSunkus
z −2−1012

Egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 70, standartinis nuokrypis 5. Raskite rezultato 73 z įvertį z.

μ = 70σ = 5x = 73
z =
5.TikimybėVidutinis
xp(x)10,3520,0530,2540,250,15μ = 2,75

Parodytam skirstiniui raskite X dispersiją Var(X).

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,35, 0,05, 0,25, 0,2, 0,15
Var(X) =
6.TikimybėSunkus
n = 12, p = 0,2: P(X ≤ 1) = ?k0123456789101112

Tikrinami 12 komponentai, kiekvienas sugenda nepriklausomai su tikimybe 0,2. Kokia tikimybė P, kad suges daugiausia vienas?

n = 12p = 0,2
P =
7.Normalusis skirstinysVidutinis
171,35179,75P = ?

Tarkime, kad suaugusių vyrų ūgiai pasiskirstę normaliai, vidurkis 178 cm, standartinis nuokrypis 7 cm. Kokia dalis reikšmių yra tarp 171,35 ir 179,75 cm? P pateikite dešimtaine trupmena.

μ = 178σ = 7x1 = 171,35x2 = 179,75
P =
8.Normalusis skirstinysSunkus
μ = 250x = ?20%

Tarkime, kad maišų masės pasiskirstę normaliai, vidurkis 250 g, standartinis nuokrypis 5 g. Raskite reikšmę x, už kurią mažesnės yra 20 % reikšmių (20-asis procentilis).

μ = 250σ = 5P = 20%
x = g
9.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis
n = 13, s = 19LUx̄ = 113,5E = ?95%

13 elementų imties vidurkis – 113,5, standartinis nuokrypis s = 19. Populiacija pasiskirsčiusi apytiksliai normaliai. Raskite vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo paklaidos ribą E.

n = 13x̄ = 113,5s = 1995%t(12) = 2,179
E =
10.Pasikliautinieji intervalaiSunkus
μ₁ − μ₂, t(12) = 2,1790L = ?Ux̄₁ − x̄₂E95%

Bandomos dvi trąšos. 1 sklypų grupė: 7 sklypų, vidutinis derlius 72 kg, standartinis nuokrypis 10 kg. 2 sklypų grupė: 7 sklypų, vidurkis 64,5 kg, standartinis nuokrypis 5,5 kg. Laikykite, kad dispersijos lygios (jungtinis t, df = n₁ + n₂ − 2). Raskite μ₁ − μ₂ 95 % pasikliautinojo intervalo apatinį rėžį.

n₁ = 7x̄₁ = 72s₁ = 10n₂ = 7x̄₂ = 64,5s₂ = 5,595%t(12) = 2,179
apatinis rėžis = kg
11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
t −2,0302,03

36 studentų imties vidutinis rezultatas – 195,9, imties standartinis nuokrypis – 8. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ = 200.

μ₀ = 200x̄ = 195,9s = 8n = 36
t =
12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
μ₀x̄c

Vienpusis z testas H₀: μ = 100 prieš H₁: μ < 100 atliekamas, kai α = 0.05, su 100 dydžio imtimi; žinoma, kad standartinis nuokrypis yra 25. Iš tikrųjų vidurkis lygus 94. Raskite II rūšies klaidos tikimybę β procentais.

μ₀ = 100μ = 94σ = 25n = 100α = 0,05
β = %
13.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis
xy357458562667778xy46607080

Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = mokymosi valandos ir y = egzamino rezultatas. Pateiktos jų sumos. Pagal šias sumas raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.

n = 5Σx = 25Σy = 322Σx² = 135Σy² = 21030Σxy = 1661
r =
14.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus
xy12021831841551469xy246101520ŷ = 15

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = automobilio amžius metais ir y = kaina k€. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Kuriai reikšmei x tiesė prognozuoja ŷ = 15?

n = 6ŷ = 15
x =
15.Chi kvadrato testaiVidutinis
pagerėjonepagerėjoIš visonaujas vaistas303060placebas103040Iš viso4060100

Kryžminėje lentelėje pateikti stebėti dažniai. Apskaičiuokite eilučių ir stulpelių kintamųjų nepriklausomumo testo chi kvadrato statistiką χ². Tolydumo pataisos nenaudokite.

N = 1002 × 2
χ² =
16.Chi kvadrato testaiSunkus

Chi kvadrato suderinamumo testas tikrina, ar dažniai 5 kategorijose atitinka Puasono skirstinį, kurio vidurkis įvertintas iš tų pačių duomenų. Kiek laisvės laipsnių df turi testas?

k = 5
df =

3Tirpalai

1.Psichologijos tyrimų metodai

Atsakymas: D · To paties testo dviejų pusių įverčių palyginimą vidiniam suderinamumui patikrinti

Kodėl tai yra atsakymas

Jei abi pusės matuoja tą patį konstruktą, jų įverčiai turėtų stipriai koreliuoti. Cronbacho alfa šią idėją išplečia visiems galimiems padalijimams.

Atsakymas

D · To paties testo dviejų pusių įverčių palyginimą vidiniam suderinamumui patikrinti
2.Psichologijos tyrimų metodai

Atsakymas: C · Tyrimui galėjo trūkti statistinės galios, todėl rezultatas nevienareikšmis

Kodėl tai yra atsakymas

Esant mažoms imtims, net tikri poveikiai dažnai nepasiekia reikšmingumo (II tipo klaida). Tyrėjai turėtų nurodyti poveikio dydį ir pasikliautinąjį intervalą bei pakartoti tyrimą su didesne imtimi.

Atsakymas

C · Tyrimui galėjo trūkti statistinės galios, todėl rezultatas nevienareikšmis
3.Aprašomoji statistika

Atsakymas: s = 14,79

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Vidurkis

x̄ = 244/6 = 40,67

Nuokrypių kvadratai

Σ(x − x̄)² = (−25,67)² + (−6,667)² + 10,33² + 12,33² + (−1,667)² + 11,33² = 1093

Standartinis nuokrypis

s = √(1093/5) = 14,79

Atsakymas

s = 14,79
4.Aprašomoji statistika

Atsakymas: z = 0,6

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Standartizuokite

z = (73 − 70)/5 = 0,6

Atsakymas

z = 0,6
5.Tikimybė

Atsakymas: Var(X) = 2,188

Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.

Vidurkis

μ = 1·0,35 + 2·0,05 + 3·0,25 + 4·0,2 + 5·0,15 = 2,75

Kvadratų vidurkis

E(X²) = 1·0,35 + 4·0,05 + 9·0,25 + 16·0,2 + 25·0,15 = 9,75

Dispersija

Var(X) = 9,75 − 2,75² = 2,188

Atsakymas

Var(X) = 2,188
6.Tikimybė

Atsakymas: P = 0,2749

Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Nulis ir vienas gedimas

P(X = 0) = 0,812 = 0,06872
P(X = 1) = 12·0,2·0,811 = 0,2062

Sudėkite

P = 0,06872 + 0,2062 = 0,2749

Atsakymas

P = 0,2749
7.Normalusis skirstinys

Atsakymas: P = 0,4277

Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.

z įverčiai

z₁ = (171,35 − 178)/7 = −0,95
z₂ = (179,75 − 178)/7 = 0,25

Plotas tarp

P = Φ(0,25) − Φ(−0,95) = 0,5987 − 0,1711 = 0,4277

Atsakymas

P = 0,4277
8.Normalusis skirstinys

Atsakymas: x = 245,8 g

Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.

Procentilio z

Φ(z) = 0,2 → z = −0,8416

Atgal į x

x = 250 + −0,8416·5 = 245,79 g

Atsakymas

x = 245,79 g
9.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: E = 11,48

Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.

Kritinė reikšmė

df = n − 1 = 12, t = 2,179

Paklaidos riba

E = 2,179·19/√13 = 11,48

Atsakymas

E = 11,48
10.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: apatinis rėžis = −1,899 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Jungtinis standartinis nuokrypis

sp² = (6·10² + 6·5,5²)/12 = 65,13
sp = 8,07

Paklaidos riba

E = 2,179·8,07·√(1/7 + 1/7) = 9,399

Intervalas

7,5 ± 9,399 → [−1,899, 16,9]

Atsakymas

apatinis rėžis = −1,899 kg
11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: t = −3,075

Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).

Standartinė paklaida

SE = 8/√36 = 8/6 = 1,333

Testo statistika

t = (195,9 − 200)/1,333 = −3,075

Atsakymas

t = −3,075
t0,025; df = 35 = 2,03

|t| > 2,03, todėl H₀ atmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).

12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: β = 22,51 %

Testo galia: galia = 1 − β yra tikimybė atmesti H₀, kai ji klaidinga. Iš μ₀ ir z_α raskite ribą x̄c, tada naudodami tikrąjį vidurkį apskaičiuokite tikimybę patekti už x̄c: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Kritinis imties vidurkis

SE = 25/√100 = 2,5
x̄c = 100 − 1,645·2,5 = 95,89

z esant tikrajam vidurkiui

z = (95,89 − 94)/2,5 = 0,755

II rūšies klaida

galia = P(Z < 0.755) = 77.49%
β = 100% − 77,49% = 22,51%

Atsakymas

β = 22,51%
13.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: r = 0,9419

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Centruotos sumos

Sxy = 1661 − 25·322/5 = 51
Sxx = 135 − 25²/5 = 10
Syy = 21030 − 322²/5 = 293,2

Koreliacijos koeficientas

r = 51/√(10·293,2) = 0,9419

Atsakymas

r = 0,9419
14.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: x = 3,833

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Vidurkiai

x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 94/6 = 15,67

Kvadratų ir sandaugų sumos

Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −35

Regresijos tiesė

b = −35/17,5 = −2
a = 15,67 − (−2)·3,5 = 22,67
ŷ = 22,67 − 2·x

Išspręskite x atžvilgiu

x = (15 − 22,67)/(−2) = 3,833

Atsakymas

x = 3,833
15.Chi kvadrato testai

Atsakymas: χ² = 6,25

Chi kvadrato testai: stebėtus dažnius O palyginkite su pagal H₀ tikėtinais dažniais E naudodami χ² = Σ(O − E)²/E. Suderinamumo kriterijus: kiekvienai kategorijai E = n·p, df = k − 1 (ir dar minus vienas už kiekvieną iš duomenų įvertintą parametrą). Nepriklausomumas r × c lentelėje: E = eilutės suma × stulpelio suma / bendra suma, df = (r − 1)(c − 1). H₀ atmeskite, kai χ² viršija pasirinktą α atitinkančią kritinę reikšmę.

Tikėtini dažniai

naujas vaistas: 60·40/100 = 24, 60·60/100 = 36
placebas: 40·40/100 = 16, 40·60/100 = 24

Chi kvadrato statistika

χ² = (30 − 24)²/24 + (30 − 36)²/36 + (10 − 16)²/16 + (30 − 24)²/24
χ² = 6,25

Atsakymas

χ² = 6,25

df = 1. Kai α = 0,05, kritinė reikšmė yra 3,841, todėl H₀ (nepriklausomumas) atmetama.

16.Chi kvadrato testai

Atsakymas: df = 3

Chi kvadrato testai: stebėtus dažnius O palyginkite su pagal H₀ tikėtinais dažniais E naudodami χ² = Σ(O − E)²/E. Suderinamumo kriterijus: kiekvienai kategorijai E = n·p, df = k − 1 (ir dar minus vienas už kiekvieną iš duomenų įvertintą parametrą). Nepriklausomumas r × c lentelėje: E = eilutės suma × stulpelio suma / bendra suma, df = (r − 1)(c − 1). H₀ atmeskite, kai χ² viršija pasirinktą α atitinkančią kritinę reikšmę.

Laisvės laipsniai

df = 5 − 1 − 1 = 3

Atsakymas

df = 3

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology