Psichologijos tyrimų metodai ir statistika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 16 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Aprašomoji statistika

Vidurkis: x̄ = Σx/n
Imties standartinis nuokrypis: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
z įvertis: z = (x − μ)/σ
Normalusis skirstinys: 68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ

Tikimybė

Priešingas įvykis: P(not A) = 1 − P(A)
Sudėties taisyklė: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Nepriklausomi įvykiai: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Sąlyginė tikimybė: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binominis skirstinys: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normalusis skirstinys

z įvertis: z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x: P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Procentilis: x = μ + z·σ

Metodas

Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

Pasikliautinieji intervalai

σ žinomas: x̄ ± z·σ/√n
σ nežinomas: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritinė z reikšmė: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Imties dydis: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodas

Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
Intervalas: x̄ ± E.

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

z testas vidurkiui: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t testas vidurkiui: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo: atmeskite H₀, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas: x̄ ± z·σ/√n

Metodas

Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.

Tiesinė regresija ir koreliacija

Kvadratų sumos: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Krypties koeficientas: b = S_xy/S_xx
Laisvasis narys: a = ȳ − b·x̄
Koreliacija: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Liekana: e = y − ŷ

Chi kvadrato testai

Testo statistika: χ² = Σ(O − E)²/E
Suderinamumo kriterijus: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Nepriklausomumas: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Kritinės reikšmės (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Sprendimas: atmeskite H₀, jei χ² > χ²_crit

2Uždaviniai

1.Psichologijos tyrimų metodaiVidutinis

Tyrimui, atliktam tik su Amerikos bakalauro studijų studentais, gali trūkti:

AVertintojų tarpusavio patikimumo
BVidinio suderinamumo
CTurinio validumo
DPopuliacijos validumo

2.Psichologijos tyrimų metodaiSunkus

Du stebėtojai žaidimų aikštelėje registruoja agresyvius veiksmus, ir jų skaičiai koreliuoja r = 0,45. Ką turėtų daryti tyrėjas?

APereiti prie vienpusės hipotezės
BNaudoti tik didesnįjį iš dviejų skaičių
CPatikslinti elgesio kategorijas ir apmokyti stebėtojus, tada iš naujo patikrinti sutarimą
DPriimti duomenis, nes pakanka bet kokios teigiamos koreliacijos

3.Aprašomoji statistikaVidutinis

Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 37, 58, 37, 12, 23, 20, 55.

n = 7

s =

4.Aprašomoji statistikaSunkus

Dydis pasiskirstęs normaliai, vidurkis 170, standartinis nuokrypis 12. Kokia reikšmių dalis P yra didesnė už 188?

μ = 170σ = 12x = 188

P =

5.TikimybėVidutinis

Parodytam skirstiniui raskite X dispersiją Var(X).

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,25, 0,35, 0,25, 0,15

Var(X) =

6.TikimybėSunkus

Teste yra 10 klausimų su pasirenkamaisiais atsakymais. Spėliojanti studentė į kiekvieną atsako teisingai su tikimybe 0,1, nepriklausomai. Kokia tikimybė P, kad teisingų atsakymų bus lygiai 5?

n = 10p = 0,1k = 5

P =

7.Normalusis skirstinysVidutinis

Nuvilkite z, kad nuspalvintas plotas po standartine normaliąja kreive, dešinėje nuo z, būtų 0,1210. Raskite z dviejų ženklų po kablelio tikslumu.

A = 0,1210

z =

8.Normalusis skirstinysSunkus

Tarkime, kad maišų masės pasiskirstę normaliai, vidurkis 250 g, standartinis nuokrypis 5 g. Raskite reikšmę x, už kurią mažesnės yra 75 % reikšmių (75-asis procentilis).

μ = 250σ = 5P = 75%

x = g

9.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis

Vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo, pagrįsto 25 stebėjimais ir žinomu σ, paklaidos riba yra 8,8. Kokia yra tų pačių duomenų 90 % intervalo paklaidos riba E₂?

95%n₁ = 25E₁ = 8,890%

E₂ =

10.Pasikliautinieji intervalaiSunkus

Bandomos dvi trąšos. 1 sklypų grupė: 5 sklypų, vidutinis derlius 48 kg, standartinis nuokrypis 8,5 kg. 2 sklypų grupė: 16 sklypų, vidurkis 47 kg, standartinis nuokrypis 3,5 kg. Laikykite, kad dispersijos lygios (jungtinis t, df = n₁ + n₂ − 2). Raskite μ₁ − μ₂ 95 % pasikliautinojo intervalo paklaidos ribą E.

n₁ = 5x̄₁ = 48s₁ = 8,5n₂ = 16x̄₂ = 47s₂ = 3,595%t(19) = 2,093

E = kg

11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis

49 studentų imties vidutinis rezultatas – 75,86, imties standartinis nuokrypis – 5. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ = 75.

μ₀ = 75x̄ = 75,86s = 5n = 49

t =

12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus

100 matavimų imties vidurkis – 75,3. Populiacijos standartinis nuokrypis – 15. Raskite vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo viršutinį rėžį U.

x̄ = 75,3σ = 15n = 10095%

U =

13.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis

Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = temperatūra °C ir y = parduoti ledai. Pateiktos jų sumos. Pagal šias sumas raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.

n = 5Σx = 95Σy = 483Σx² = 1845Σy² = 47581Σxy = 9367

r =

14.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = automobilio amžius metais ir y = kaina k€. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Kuriai reikšmei x tiesė prognozuoja ŷ = 18?

n = 6ŷ = 18

x =

15.Chi kvadrato testaiVidutinis

Kryžminėje lentelėje pateikti stebėti dažniai. Chi kvadrato nepriklausomumo testui raskite langelio „naktinė pamaina, didelis“ tikėtiną dažnį E.

eilutės suma = 74stulpelio suma = 55N = 156

E =

16.Chi kvadrato testaiSunkus

Chi kvadrato suderinamumo testas tikrina, ar dažniai 5 kategorijose atitinka Puasono skirstinį, kurio vidurkis įvertintas iš tų pačių duomenų. Kiek laisvės laipsnių df turi testas?

k = 5

df =

3Tirpalai

1.Psichologijos tyrimų metodai

Atsakymas: D · Populiacijos validumo

Kodėl tai yra atsakymas

Populiacijos validumas yra išorinio validumo rūšis. Imtys, kurias daugiausia sudaro jauni, vakarietiški ir išsilavinę žmonės, gali neatstovauti kitiems.

Atsakymas

D · Populiacijos validumo

2.Psichologijos tyrimų metodai

Atsakymas: C · Patikslinti elgesio kategorijas ir apmokyti stebėtojus, tada iš naujo patikrinti sutarimą

Kodėl tai yra atsakymas

Mažas stebėtojų tarpusavio patikimumas reiškia, kad kategorijos taikomos nenuosekliai. Aiškesni operaciniai apibrėžimai ir treniruotės turėtų padidinti sutarimą prieš pagrindinį duomenų rinkimą.

Atsakymas

C · Patikslinti elgesio kategorijas ir apmokyti stebėtojus, tada iš naujo patikrinti sutarimą

3.Aprašomoji statistika

Atsakymas: s = 17,48

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Vidurkis

x̄ = 242/7 = 34,57

Nuokrypių kvadratai

Σ(x − x̄)² = 2,429² + 23,43² + 2,429² + (−22,57)² + (−11,57)² + (−14,57)² + 20,43² = 1834

Standartinis nuokrypis

s = √(1834/6) = 17,48

Atsakymas

s = 17,48

4.Aprašomoji statistika

Atsakymas: P = 0,06681

Standartizuokite

z = 1,5

Standartinio normaliojo skirstinio lentelė

Φ(1,5) = 0,9332

P = 1 − 0,9332 = 0,06681

Atsakymas

P = 0,06681

5.Tikimybė

Atsakymas: Var(X) = 1,01

Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σ_Y = |a|·σ_X; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.

Vidurkis

μ = 1·0,25 + 2·0,35 + 3·0,25 + 4·0,15 = 2,3

Kvadratų vidurkis

E(X²) = 1·0,25 + 4·0,35 + 9·0,25 + 16·0,15 = 6,3

Dispersija

Var(X) = 6,3 − 2,3² = 1,01

Atsakymas

Var(X) = 1,01

6.Tikimybė

Atsakymas: P = 0,001488

Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Binominė formulė

P(X = 5) = 252·0,1⁵·0,9⁵ = 252·1 × 10⁻⁵·0,5905 = 0,001488

Atsakymas

P = 0,001488

7.Normalusis skirstinys

Atsakymas: z = 1,17

Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.

Plotas kairėje nuo z

Φ(z) = 1 − 0,1210 = 0,8790

Skaitykite z lentelę atvirkščiai

Lentelėje suraskite 0,8790 ir nuskaitykite z.

z = 1,17

Atsakymas

z = 1,17

8.Normalusis skirstinys

Atsakymas: x = 253,4 g

Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.

Procentilio z

Φ(z) = 0,75 → z = 0,6745

Atgal į x

x = 250 + 0,6745·5 = 253,37 g

Atsakymas

x = 253,37 g

9.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: E₂ = 7,386

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Paklaidos ribų santykis

E₂/E₁ = (1,645/1,96)·√(25/25) = 0,8393

Nauja paklaidos riba

E₂ = 8,8·0,8393 = 7,386

Atsakymas

E₂ = 7,386

10.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: E = 5,349 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Jungtinis standartinis nuokrypis

s_p² = (4·8,5² + 15·3,5²)/19 = 24,88

s_p = 4,988

Paklaidos riba

E = 2,093·4,988·√(1/5 + 1/16) = 5,349

Atsakymas

E = 5,349 kg

11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: t = 1,204

Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).

Standartinė paklaida

SE = 5/√49 = 5/7 = 0,7143

Testo statistika

t = (75,86 − 75)/0,7143 = 1,204

Atsakymas

t = 1,204

t_{0,025; df = 48} = 2,011

|t| < 2.011, todėl H₀ neatmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).

12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: U = 78,24

Paklaidos riba

E = 1,96·15/√100 = 2,94

Intervalo rėžis

U = 75,3 + 2,94 = 78,24

Atsakymas

U = 78,24

13.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: r = 0,9887

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Centruotos sumos

S_xy = 9367 − 95·483/5 = 190

S_xx = 1845 − 95²/5 = 40

S_yy = 47581 − 483²/5 = 923,2

Koreliacijos koeficientas

r = 190/√(40·923,2) = 0,9887

Atsakymas

r = 0,9887

14.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: x = 5,24

Vidurkiai

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 125/6 = 20,83

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −28,5

Regresijos tiesė

b = −28,5/17,5 = −1,629

a = 20,83 − (−1,629)·3,5 = 26,53

ŷ = 26,53 − 1,629·x

Išspręskite x atžvilgiu

x = (18 − 26,53)/(−1,629) = 5,24

Atsakymas

x = 5,24

15.Chi kvadrato testai

Atsakymas: E = 26,09

Chi kvadrato testai: stebėtus dažnius O palyginkite su pagal H₀ tikėtinais dažniais E naudodami χ² = Σ(O − E)²/E. Suderinamumo kriterijus: kiekvienai kategorijai E = n·p, df = k − 1 (ir dar minus vienas už kiekvieną iš duomenų įvertintą parametrą). Nepriklausomumas r × c lentelėje: E = eilutės suma × stulpelio suma / bendra suma, df = (r − 1)(c − 1). H₀ atmeskite, kai χ² viršija pasirinktą α atitinkančią kritinę reikšmę.

Tikėtinas dažnis

E = 74·55/156 = 26,09

Atsakymas

E = 26,09

16.Chi kvadrato testai

Atsakymas: df = 3

Laisvės laipsniai

df = 5 − 1 − 1 = 3

Atsakymas

df = 3

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology