Psichologijos tyrimų metodai ir statistika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 16 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Aprašomoji statistika

Vidurkis: x̄ = Σx/n
Imties standartinis nuokrypis: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
z įvertis: z = (x − μ)/σ
Normalusis skirstinys: 68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ

Tikimybė

Priešingas įvykis: P(not A) = 1 − P(A)
Sudėties taisyklė: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Nepriklausomi įvykiai: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Sąlyginė tikimybė: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binominis skirstinys: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normalusis skirstinys

z įvertis: z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x: P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Procentilis: x = μ + z·σ

Metodas

Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

Pasikliautinieji intervalai

σ žinomas: x̄ ± z·σ/√n
σ nežinomas: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritinė z reikšmė: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Imties dydis: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodas

Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
Intervalas: x̄ ± E.

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

z testas vidurkiui: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t testas vidurkiui: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo: atmeskite H₀, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas: x̄ ± z·σ/√n

Metodas

Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.

Tiesinė regresija ir koreliacija

Kvadratų sumos: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Krypties koeficientas: b = S_xy/S_xx
Laisvasis narys: a = ȳ − b·x̄
Koreliacija: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Liekana: e = y − ŷ

Chi kvadrato testai

Testo statistika: χ² = Σ(O − E)²/E
Suderinamumo kriterijus: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Nepriklausomumas: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Kritinės reikšmės (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Sprendimas: atmeskite H₀, jei χ² > χ²_crit

2Uždaviniai

1.Psichologijos tyrimų metodaiVidutinis

Stebėjimo tyrimuose įvykių atranka (event sampling) reiškia:

ARegistruoti kiekvieną kartą, kai pasireiškia nurodytas elgesys
BRegistruoti tik dalyvių nurodytus įvykius
CRegistruoti elgesį tik fiksuotais laiko intervalais
DAtsitiktinai rinktis dalyvius

2.Psichologijos tyrimų metodaiSunkus

Tyrėjas matuoja triukšmo poveikį koncentracijai. Triukšmo sąlygos dalyviai atsitiktinai buvo tiriami ryte, o tylos sąlygos – po pietų. Kokia problema?

AParos laikas yra priklausomasis kintamasis
BParos laikas yra painiojantysis kintamasis
CDuomenys yra nominaliosios skalės
DTyrime per daug sąlygų

3.Aprašomoji statistikaVidutinis

Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 60, 25, 14, 13, 13, 49, 39.

n = 7

s =

4.Aprašomoji statistikaSunkus

Dydis pasiskirstęs normaliai, vidurkis 60, standartinis nuokrypis 10. Kokia reikšmių dalis P yra didesnė už 50?

μ = 60σ = 10x = 50

P =

5.TikimybėVidutinis

Simetriškas kauliukas metamas 5 kartus. Kokia tikimybė P gauti bent vieną šešetą?

n = 5

P =

6.TikimybėSunkus

Tikrinami 11 komponentai, kiekvienas sugenda nepriklausomai su tikimybe 0,1. Kokia tikimybė P, kad suges daugiausia vienas?

n = 11p = 0,1

P =

7.Normalusis skirstinysVidutinis

X yra normalusis dydis, kurio vidurkis 120 mm ir standartinis nuokrypis 0,3 mm; Y yra nepriklausomas normalusis dydis, kurio vidurkis 80 mm ir standartinis nuokrypis 0,4 mm. Raskite tikimybę P, kad X + Y yra didesnė nei 200,5 mm. Suapvalinkite z iki dviejų skaitmenų po kablelio.

μ_X = 120, σ_X = 0,3μ_Y = 80, σ_Y = 0,4X + Y > 200,5 mm

P =

8.Normalusis skirstinysSunkus

Tarkime, kad pristatymo trukmės pasiskirstę normaliai, vidurkis 32 min, standartinis nuokrypis 6 min. Raskite reikšmę x, už kurią mažesnės yra 20 % reikšmių (20-asis procentilis).

μ = 32σ = 6P = 20%

x = min

9.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis

30 elementų imties vidurkis – 83, standartinis nuokrypis s = 9,5. Populiacija pasiskirsčiusi apytiksliai normaliai. Raskite vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo viršutinį rėžį.

n = 30x̄ = 83s = 9,595%t(29) = 2,045

viršutinis rėžis =

10.Pasikliautinieji intervalaiSunkus

Populiacijos standartinis nuokrypis – 39. Kokio dydžio imties n reikia, kad vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 5?

σ = 39E = 595%

n =

11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis

Lyginami du mokymo metodai. 1 grupė: 8 studentų, vidutinis rezultatas 44,5, standartinis nuokrypis 5,5. 2 grupė: 6 studentų, vidutinis rezultatas 46,8, standartinis nuokrypis 5. Laikykite, kad populiacijų dispersijos lygios, ir taikykite jungtinės dispersijos dviejų imčių t testą. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ₁ = μ₂, skirtumą imdami kaip x̄₁ − x̄₂ (1 grupė atėmus 2 grupę).

n₁ = 8x̄₁ = 44,5s₁ = 5,5n₂ = 6x̄₂ = 46,8s₂ = 5

t =

12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus

Kokia didelė turi būti imtis, kad vidurkio 99 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 2,5? Standartinis nuokrypis – 15. Raskite mažiausią imties dydį n.

σ = 15E = 2,599%

n =

13.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = automobilio amžius metais ir y = kaina k€. Raskite mažiausiųjų kvadratų tiesės determinacijos koeficientą r².

n = 6

r² =

14.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus

Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = temperatūra °C ir y = parduoti ledai. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Gautas naujas stebėjimas (19, 66). Raskite jo liekaną e = y − ŷ.

n = 5(19, 66)

e =

15.Chi kvadrato testaiVidutinis

Kryžminėje lentelėje pateikti stebėti dažniai. Apskaičiuokite eilučių ir stulpelių kintamųjų nepriklausomumo testo chi kvadrato statistiką χ². Tolydumo pataisos nenaudokite.

N = 1602 × 3

χ² =

16.Chi kvadrato testaiSunkus

Chi kvadrato suderinamumo testas palygina stebėtus dažnius 3 kategorijose su visiškai nurodytomis tikėtinomis dalimis (jokie parametrai iš duomenų nevertinami). Kiek laisvės laipsnių df turi testas?

k = 3

df =

3Tirpalai

1.Psichologijos tyrimų metodai

Atsakymas: A · Registruoti kiekvieną kartą, kai pasireiškia nurodytas elgesys

Kodėl tai yra atsakymas

Įvykių atranka skaičiuoja kiekvieną tikslinio elgesio pasireiškimą. Laiko atranka registruoja, kas vyksta nustatytais intervalais, pvz., kas 30 sekundžių.

Atsakymas

A · Registruoti kiekvieną kartą, kai pasireiškia nurodytas elgesys

2.Psichologijos tyrimų metodai

Atsakymas: B · Paros laikas yra painiojantysis kintamasis

Kodėl tai yra atsakymas

Kadangi triukšmas ir tyrimo laikas kinta kartu, bet koks skirtumas gali kilti dėl bet kurio iš jų. Atsitiktinis tyrimo laiko paskirstymas arba pastovus laikas pašalintų painiojantįjį veiksnį.

Atsakymas

B · Paros laikas yra painiojantysis kintamasis

3.Aprašomoji statistika

Atsakymas: s = 19,15

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Vidurkis

x̄ = 213/7 = 30,43

Nuokrypių kvadratai

Σ(x − x̄)² = 29,57² + (−5,429)² + (−16,43)² + (−17,43)² + (−17,43)² + 18,57² + 8,571² = 2200

Standartinis nuokrypis

s = √(2200/6) = 19,15

Atsakymas

s = 19,15

4.Aprašomoji statistika

Atsakymas: P = 0,8413

Standartizuokite

z = −1

Standartinio normaliojo skirstinio lentelė

Φ(−1) = 0,1587

P = 1 − 0,1587 = 0,8413

Atsakymas

P = 0,8413

5.Tikimybė

Atsakymas: P = 0,5981

Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Priešingas įvykis

P(nėra šešeto) = (5/6)⁵ = 0,4019

P = 1 − 0,4019 = 0,5981

Atsakymas

P = 0,5981

6.Tikimybė

Atsakymas: P = 0,6974

Nulis ir vienas gedimas

P(X = 0) = 0,9¹¹ = 0,3138

P(X = 1) = 11·0,1·0,9¹⁰ = 0,3835

Sudėkite

P = 0,3138 + 0,3835 = 0,6974

Atsakymas

P = 0,6974

7.Normalusis skirstinys

Atsakymas: P = 0,1587

Normaliųjų dydžių sumos ir skirtumai: jei X ir Y yra nepriklausomi ir normalieji, tai X + Y ir X − Y taip pat normalieji. Vidurkiai sudedami arba atimami: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Dispersijos visada sudedamos, net ir skirtumui: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², todėl σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standartiniai nuokrypiai tiesiogiai niekada nesudedami. n nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių elementų sumos vidurkis yra n·μ, o standartinis nuokrypis σ·√n. Tada standartizuokite kaip įprasta: z = (x − vidurkis)/σ ir raskite Φ(z).

Sumos skirstinys

μ = 200 mm, σ = √(0,3² + 0,4²) = 0,5 mm

Standartizuokite

z = (200,5 − 200)/0,5 = 1

Viršutinė uodega

P = 1 − Φ(1) = 1 − 0,8413 = 0,1587

Atsakymas

P = 0,1587

8.Normalusis skirstinys

Atsakymas: x = 26,95 min

Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.

Procentilio z

Φ(z) = 0,2 → z = −0,8416

Atgal į x

x = 32 + −0,8416·6 = 26,95 min

Atsakymas

x = 26,95 min

9.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: viršutinis rėžis = 86,55

Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.

Kritinė reikšmė

df = n − 1 = 29, t = 2,045

Paklaidos riba

E = 2,045·9,5/√30 = 3,547

Intervalas

83 ± 3,547 → [79,45, 86,55]

Atsakymas

viršutinis rėžis = 86,55

10.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: n = 234

Išreikškite n

n = (1,96·39/5)² = 233,7

Apvalinkite aukštyn

Imties dydis yra sveikasis skaičius, o apvalinant žemyn paklaidos riba būtų per didelė.

n = 234

Atsakymas

n = 234

11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: t = −0,8039

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Jungtinė dispersija

s_p² = (7·5,5² + 5·5²)/12 = 28,06

s_p = 5,297

Standartinė paklaida

SE = 5,297·√(1/8 + 1/6) = 2,861

Testo statistika

t = (44,5 − 46,8)/2,861 = −0,8039

Atsakymas

t = −0,8039

Kai df = 12, dvipusio 5 % testo kritinė reikšmė yra 2,179; |t| mažesnis, todėl H₀ neatmetama.

12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: n = 239

Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).

Išreikškite n

n = (2,576·15/2,5)² = 238,9

Apvalinkite aukštyn

n = 239

Atsakymas

n = 239

13.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: r² = 0,8382

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Vidurkiai

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 134/6 = 22,33

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −29

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 57,33

Determinacijos koeficientas

r² = −29²/(17,5·57,33) = 0,8382

Atsakymas

r² = 0,8382

Apie 83,82% y kitimo paaiškinama tiese.

14.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: e = −2,4

Vidurkiai

x̄ = 110/5 = 22

ȳ = 414/5 = 82,8

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 192

Regresijos tiesė

b = 192/40 = 4,8

a = 82,8 − 4,8·22 = −22,8

ŷ = −22,8 + 4,8·x

Prognozuojama reikšmė

ŷ = −22,8 + 4,8·19 = 68,4

Liekana

e = 66 − 68,4 = −2,4

Atsakymas

e = −2,4

Taškas yra po tiese.

15.Chi kvadrato testai

Atsakymas: χ² = 2,407

Chi kvadrato testai: stebėtus dažnius O palyginkite su pagal H₀ tikėtinais dažniais E naudodami χ² = Σ(O − E)²/E. Suderinamumo kriterijus: kiekvienai kategorijai E = n·p, df = k − 1 (ir dar minus vienas už kiekvieną iš duomenų įvertintą parametrą). Nepriklausomumas r × c lentelėje: E = eilutės suma × stulpelio suma / bendra suma, df = (r − 1)(c − 1). H₀ atmeskite, kai χ² viršija pasirinktą α atitinkančią kritinę reikšmę.

Tikėtini dažniai

studentai: 40·24/160 = 6, 40·64/160 = 16, 40·72/160 = 18

darbuotojai: 120·24/160 = 18, 120·64/160 = 48, 120·72/160 = 54

Chi kvadrato statistika

χ² = (4 − 6)²/6 + (14 − 16)²/16 + (22 − 18)²/18 + (20 − 18)²/18 + (50 − 48)²/48 + (50 − 54)²/54

χ² = 2,407

Atsakymas

χ² = 2,407

df = 2. Kai α = 0,05, kritinė reikšmė yra 5,991, todėl H₀ (nepriklausomumas) neatmetama.

16.Chi kvadrato testai

Atsakymas: df = 2

Laisvės laipsniai

df = 3 − 1 = 2

Atsakymas

df = 2

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology