Psichologijos tyrimų metodai ir statistika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 16 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Aprašomoji statistika

Vidurkis
x̄ = Σx/n
Imties standartinis nuokrypis
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana
vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
z įvertis
z = (x − μ)/σ
Normalusis skirstinys
68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ

Tikimybė

Priešingas įvykis
P(not A) = 1 − P(A)
Sudėties taisyklė
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Nepriklausomi įvykiai
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Sąlyginė tikimybė
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binominis skirstinys
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Normalusis skirstinys

z įvertis
z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x
P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp
Φ(z2) − Φ(z1)
Procentilis
x = μ + z·σ

Metodas

  1. Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
  2. Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
  3. Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
  4. Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

Pasikliautinieji intervalai

σ žinomas
x̄ ± z·σ/√n
σ nežinomas
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritinė z reikšmė
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Imties dydis
n = (z·σ/E)², rounded up

Metodas

  1. Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
  2. Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
  3. Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
  4. Intervalas: x̄ ± E.

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

z testas vidurkiui
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t testas vidurkiui
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo
atmeskite H0, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas
x̄ ± z·σ/√n

Metodas

  1. Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
  2. Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
  3. Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
  4. H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.

Tiesinė regresija ir koreliacija

Kvadratų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Krypties koeficientas
b = Sxy/Sxx
Laisvasis narys
a = ȳ − b·x̄
Koreliacija
r = Sxy/√(SxxSyy)
Liekana
e = y − ŷ

Chi kvadrato testai

Testo statistika
χ² = Σ(O − E)²/E
Suderinamumo kriterijus
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Nepriklausomumas
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Kritinės reikšmės (α = 0,05)
df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Sprendimas
atmeskite H0, jei χ² > χ²crit

2Uždaviniai

1.Psichologijos tyrimų metodaiVidutinis

I rūšies klaida įvyksta, kai tyrėjas:

  1. ANaudoja netinkamą statistinį testą
  2. BNeatmeta klaidingos nulinės hipotezės
  3. CAtmeta nulinę hipotezę, kuri iš tikrųjų teisinga
  4. DSurenka per daug duomenų
2.Psichologijos tyrimų metodaiSunkus

Milgramo paklusnumo tyrimuose dalyviai manė, kad suduoda tikrus elektros smūgius. Kuri etinė problema iškyla tiesiausiai ir kaip ji buvo iš dalies sprendžiama?

  1. AVaikų dalyvavimas, spręstas tėvų sutikimu
  2. BApgaulė ir galimas distresas, spręsta nuodugniu debriefingu
  3. CKonfidencialumo stoka, spręsta skelbiant vardus
  4. DKontrolinės grupės nebuvimas, sprendžiamas dalyvius atsitiktinai paskirstant į sąlygas
3.Aprašomoji statistikaVidutinis
3035404550

Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 41, 44, 38, 40, 54, 44, 30.

n = 7
s =
4.Aprašomoji statistikaSunkus
z −2−1012

Dydis pasiskirstęs normaliai, vidurkis 50, standartinis nuokrypis 8. Kokia reikšmių dalis P yra didesnė už 53,2?

μ = 50σ = 8x = 53,2
P =
5.TikimybėVidutinis
xp(x)10,1520,2530,240,3550,05μ = 2,9

Parodytam skirstiniui raskite X dispersiją Var(X).

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,15, 0,25, 0,2, 0,35, 0,05
Var(X) =
6.TikimybėSunkus
€p(x)−30,8490,151470,01

Žaidimo kaina yra €3. Laimite €12 su tikimybe 0,15 ir €150 su tikimybe 0,01; kitu atveju nelaimite nieko. Statymas negrąžinamas. Raskite laukiamą grynąjį laimėjimą E(G) per žaidimą.

statymas = €3€12: p = 0,15€150: p = 0,01
E(G) = €
7.Normalusis skirstinysVidutinis
95,5122,5P = ?

Tarkime, kad IQ testų rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 100 tšk., standartinis nuokrypis 15 tšk.. Kokia dalis reikšmių yra tarp 95,5 ir 122,5 tšk.? P pateikite dešimtaine trupmena.

μ = 100σ = 15x1 = 95,5x2 = 122,5
P =
8.Normalusis skirstinysSunkus
0,03 mm0D − d?

Skylių skersmenys D yra normalieji, jų vidurkis 25,03 mm ir standartinis nuokrypis 0,015 mm. Velenų skersmenys d yra nepriklausomi normalieji, jų vidurkis 25 mm ir standartinis nuokrypis 0,01 mm. Atsitiktinai pasirinktas velenas tinka, kai D − d > 0. Raskite tikimybę P, kad jis tinka. Suapvalinkite z iki dviejų skaitmenų po kablelio.

skylė: μ = 25,03 mm, σ = 0,015 mmvelenas: μ = 25 mm, σ = 0,01 mm
P =
9.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis
x̄E₁ = 5,499%, n = 50x̄E₂ = ?95%, n = 50

Vidurkio 99 % pasikliautinojo intervalo, pagrįsto 50 stebėjimais ir žinomu σ, paklaidos riba yra 5,4. Kokia yra tų pačių duomenų 95 % intervalo paklaidos riba E₂?

99%n₁ = 50E₁ = 5,495%
E₂ =
10.Pasikliautinieji intervalaiSunkus
σ = 9, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 399%

Populiacijos standartinis nuokrypis – 9. Kokio dydžio imties n reikia, kad vidurkio 99 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 3?

σ = 9E = 399%
n =
11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
t −1,98401,984

100 studentų imties vidutinis rezultatas – 199,4, imties standartinis nuokrypis – 4. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ = 200.

μ₀ = 200x̄ = 199,4s = 4n = 100
t =
12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
z −1,9601,96

49 matavimų imties vidurkis – 501,1. Populiacijos standartinis nuokrypis – 5. Raskite vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo apatinį rėžį L.

x̄ = 501,1σ = 5n = 4995%
L =
13.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis
xy124221321417514xy24152025

Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = automobilio amžius metais ir y = kaina k€. Raskite mažiausiųjų kvadratų tiesės determinacijos koeficientą r².

n = 5
r² =
14.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus
xy125223322417519614xy246152025ŷ = 18

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = automobilio amžius metais ir y = kaina k€. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Kuriai reikšmei x tiesė prognozuoja ŷ = 18?

n = 6ŷ = 18
x =
15.Chi kvadrato testaiVidutinis
autobusasdviratisautomobilisIš visostudentai29273591darbuotojai10301050Iš viso395745141

Kryžminėje lentelėje pateikti stebėti dažniai. Chi kvadrato nepriklausomumo testui raskite langelio „darbuotojai, autobusas“ tikėtiną dažnį E.

eilutės suma = 50stulpelio suma = 39N = 141
E =
16.Chi kvadrato testaiSunkus

Chi kvadrato nepriklausomumo testas atliekamas kryžminei lentelei, turinčiai 2 eilutes ir 6 stulpelius (neskaičiuojant sumų). Kiek laisvės laipsnių df turi testas?

2 × 6
df =

3Tirpalai

1.Psichologijos tyrimų metodai

Atsakymas: C · Atmeta nulinę hipotezę, kuri iš tikrųjų teisinga

Kodėl tai yra atsakymas

I rūšies klaida skelbia poveikį, kurio nėra. Jos tikimybė lygi reikšmingumo lygmeniui (dažnai 0,05). II rūšies klaida praleidžia tikrą poveikį.

Atsakymas

C · Atmeta nulinę hipotezę, kuri iš tikrųjų teisinga
2.Psichologijos tyrimų metodai

Atsakymas: B · Apgaulė ir galimas distresas, spręsta nuodugniu debriefingu

Kodėl tai yra atsakymas

Dalyviai buvo apgauti dėl smūgių, ir daugelis patyrė didelį stresą. Milgramas su dalyviais atliko debriefingą ir jie susitiko su „mokiniu“; tolesnis tyrimas parodė, kad dauguma džiaugėsi dalyvavę, tačiau etika tebėra diskutuojama.

Atsakymas

B · Apgaulė ir galimas distresas, spręsta nuodugniu debriefingu
3.Aprašomoji statistika

Atsakymas: s = 7,254

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Vidurkis

x̄ = 291/7 = 41,57

Nuokrypių kvadratai

Σ(x − x̄)² = (−0,5714)² + 2,429² + (−3,571)² + (−1,571)² + 12,43² + 2,429² + (−11,57)² = 315,7

Standartinis nuokrypis

s = √(315,7/6) = 7,254

Atsakymas

s = 7,254
4.Aprašomoji statistika

Atsakymas: P = 0,3446

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Standartizuokite

z = 0,4

Standartinio normaliojo skirstinio lentelė

Φ(0,4) = 0,6554
P = 1 − 0,6554 = 0,3446

Atsakymas

P = 0,3446
5.Tikimybė

Atsakymas: Var(X) = 1,39

Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.

Vidurkis

μ = 1·0,15 + 2·0,25 + 3·0,2 + 4·0,35 + 5·0,05 = 2,9

Kvadratų vidurkis

E(X²) = 1·0,15 + 4·0,25 + 9·0,2 + 16·0,35 + 25·0,05 = 9,8

Dispersija

Var(X) = 9,8 − 2,9² = 1,39

Atsakymas

Var(X) = 1,39
6.Tikimybė

Atsakymas: E(G) = 0,3 €

Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.

Grynosios baigtys

G: 9 (p = 0,15), 147 (p = 0,01), −3 (p = 0,84)

Laukiamoji vertė

E(G) = 9·0,15 + 147·0,01 − 3·0,84 = 0,3 €

Atsakymas

E(G) = 0,3 €

Teigiama vertė reiškia, kad vidutiniškai laimite pinigų.

7.Normalusis skirstinys

Atsakymas: P = 0,5511

Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.

z įverčiai

z₁ = (95,5 − 100)/15 = −0,3
z₂ = (122,5 − 100)/15 = 1,5

Plotas tarp

P = Φ(1,5) − Φ(−0,3) = 0,9332 − 0,3821 = 0,5511

Atsakymas

P = 0,5511
8.Normalusis skirstinys

Atsakymas: P = 0,9515

Normaliųjų dydžių sumos ir skirtumai: jei X ir Y yra nepriklausomi ir normalieji, tai X + Y ir X − Y taip pat normalieji. Vidurkiai sudedami arba atimami: E(X ± Y) = μX ± μY. Dispersijos visada sudedamos, net ir skirtumui: Var(X ± Y) = σX² + σY², todėl σ = √(σX² + σY²). Standartiniai nuokrypiai tiesiogiai niekada nesudedami. n nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių elementų sumos vidurkis yra n·μ, o standartinis nuokrypis σ·√n. Tada standartizuokite kaip įprasta: z = (x − vidurkis)/σ ir raskite Φ(z).

Skirtumo skirstinys

μ = 25,03 − 25 = 0,03 mm, σ = 0,01803 mm

Standartizuokite

z = (0 − 0,03)/0,01803 = −1,66

Tikimybė

P = 1 − Φ(−1,66) = 0,9515

Atsakymas

P = 0,9515
9.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: E₂ = 4,109

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Paklaidos ribų santykis

E₂/E₁ = (1,96/2,576)·√(50/50) = 0,7609

Nauja paklaidos riba

E₂ = 5,4·0,7609 = 4,109

Atsakymas

E₂ = 4,109
10.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: n = 60

Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.

Išreikškite n

n = (2,576·9/3)² = 59,72

Apvalinkite aukštyn

Imties dydis yra sveikasis skaičius, o apvalinant žemyn paklaidos riba būtų per didelė.

n = 60

Atsakymas

n = 60
11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: t = −1,5

Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).

Standartinė paklaida

SE = 4/√100 = 4/10 = 0,4

Testo statistika

t = (199,4 − 200)/0,4 = −1,5

Atsakymas

t = −1,5
t0,025; df = 99 = 1,984

|t| < 1.984, todėl H₀ neatmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).

12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: L = 499,7

Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).

Paklaidos riba

E = 1,96·5/√49 = 1,4

Intervalo rėžis

L = 501,1 − 1,4 = 499,7

Atsakymas

L = 499,7
13.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: r² = 0,9412

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Vidurkiai

x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 97/5 = 19,4

Kvadratų ir sandaugų sumos

Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −24
Syy = Σ(y − ȳ)² = 61,2

Determinacijos koeficientas

r² = −24²/(10·61,2) = 0,9412

Atsakymas

r² = 0,9412

Apie 94,12% y kitimo paaiškinama tiese.

14.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: x = 4,472

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Vidurkiai

x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 120/6 = 20

Kvadratų ir sandaugų sumos

Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −36

Regresijos tiesė

b = −36/17,5 = −2,057
a = 20 − (−2,057)·3,5 = 27,2
ŷ = 27,2 − 2,057·x

Išspręskite x atžvilgiu

x = (18 − 27,2)/(−2,057) = 4,472

Atsakymas

x = 4,472
15.Chi kvadrato testai

Atsakymas: E = 13,83

Chi kvadrato testai: stebėtus dažnius O palyginkite su pagal H₀ tikėtinais dažniais E naudodami χ² = Σ(O − E)²/E. Suderinamumo kriterijus: kiekvienai kategorijai E = n·p, df = k − 1 (ir dar minus vienas už kiekvieną iš duomenų įvertintą parametrą). Nepriklausomumas r × c lentelėje: E = eilutės suma × stulpelio suma / bendra suma, df = (r − 1)(c − 1). H₀ atmeskite, kai χ² viršija pasirinktą α atitinkančią kritinę reikšmę.

Tikėtinas dažnis

E = 50·39/141 = 13,83

Atsakymas

E = 13,83
16.Chi kvadrato testai

Atsakymas: df = 5

Chi kvadrato testai: stebėtus dažnius O palyginkite su pagal H₀ tikėtinais dažniais E naudodami χ² = Σ(O − E)²/E. Suderinamumo kriterijus: kiekvienai kategorijai E = n·p, df = k − 1 (ir dar minus vienas už kiekvieną iš duomenų įvertintą parametrą). Nepriklausomumas r × c lentelėje: E = eilutės suma × stulpelio suma / bendra suma, df = (r − 1)(c − 1). H₀ atmeskite, kai χ² viršija pasirinktą α atitinkančią kritinę reikšmę.

Laisvės laipsniai

df = (2 − 1)·(6 − 1) = 5

Atsakymas

df = 5

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology