Psichologijos tyrimų metodai ir statistika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 16 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Aprašomoji statistika

Vidurkis
x̄ = Σx/n
Imties standartinis nuokrypis
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana
vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
z įvertis
z = (x − μ)/σ
Normalusis skirstinys
68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ

Tikimybė

Priešingas įvykis
P(not A) = 1 − P(A)
Sudėties taisyklė
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Nepriklausomi įvykiai
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Sąlyginė tikimybė
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binominis skirstinys
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Normalusis skirstinys

z įvertis
z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x
P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp
Φ(z2) − Φ(z1)
Procentilis
x = μ + z·σ

Metodas

  1. Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
  2. Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
  3. Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
  4. Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

Pasikliautinieji intervalai

σ žinomas
x̄ ± z·σ/√n
σ nežinomas
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritinė z reikšmė
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Imties dydis
n = (z·σ/E)², rounded up

Metodas

  1. Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
  2. Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
  3. Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
  4. Intervalas: x̄ ± E.

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

z testas vidurkiui
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t testas vidurkiui
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo
atmeskite H0, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas
x̄ ± z·σ/√n

Metodas

  1. Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
  2. Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
  3. Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
  4. H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.

Tiesinė regresija ir koreliacija

Kvadratų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Krypties koeficientas
b = Sxy/Sxx
Laisvasis narys
a = ȳ − b·x̄
Koreliacija
r = Sxy/√(SxxSyy)
Liekana
e = y − ŷ

Chi kvadrato testai

Testo statistika
χ² = Σ(O − E)²/E
Suderinamumo kriterijus
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Nepriklausomumas
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Kritinės reikšmės (α = 0,05)
df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Sprendimas
atmeskite H0, jei χ² > χ²crit

2Uždaviniai

1.Psichologijos tyrimų metodaiVidutinis

Testas toks lengvas, kad beveik visi dalyviai surenka beveik maksimumą. Tai vadinama:

  1. ALubų efektu
  2. BPraktikos efektu
  3. CGrindų efektu
  4. DEiliškumo efektu
2.Psichologijos tyrimų metodaiSunkus

Pacientai, atrinkti dėl ypač didelių nerimo įverčių, antrame teste net be gydymo surenka mažesnius įverčius. Koks labiausiai tikėtinas paaiškinimas?

  1. ALubų efektas
  2. BRegresija į vidurkį
  3. CKontrabalansavimas
  4. DHawthorne efektas
3.Aprašomoji statistikaVidutinis
15202530354045

Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 37, 18, 49, 13, 11.

n = 5
s =
4.Aprašomoji statistikaSunkus
z −2−1012

Egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 60, standartinis nuokrypis 15. Raskite rezultato 82,5 z įvertį z.

μ = 60σ = 15x = 82,5
z =
5.TikimybėVidutinis
raudoni: 3mėlyni: 7

Maišelyje yra 3 raudoni ir 7 mėlyni rutuliai. Ištraukiate du rutulius, pirmojo negrąžindami. Kokia tikimybė P, kad abu raudoni?

3 / 7
P =
6.TikimybėSunkus
n = 6, p = 0,3: P(X ≤ 1) = ?k0123456

Tikrinami 6 komponentai, kiekvienas sugenda nepriklausomai su tikimybe 0,3. Kokia tikimybė P, kad suges daugiausia vienas?

n = 6p = 0,3
P =
7.Normalusis skirstinysVidutinis
167,85188,85P = ?

Tarkime, kad suaugusių vyrų ūgiai pasiskirstę normaliai, vidurkis 178 cm, standartinis nuokrypis 7 cm. Kokia dalis reikšmių yra tarp 167,85 ir 188,85 cm? P pateikite dešimtaine trupmena.

μ = 178σ = 7x1 = 167,85x2 = 188,85
P =
8.Normalusis skirstinysSunkus
0,05 mm0D − d?

Skylių skersmenys D yra normalieji, jų vidurkis 25,05 mm ir standartinis nuokrypis 0,01 mm. Velenų skersmenys d yra nepriklausomi normalieji, jų vidurkis 25 mm ir standartinis nuokrypis 0,02 mm. Atsitiktinai pasirinktas velenas tinka, kai D − d > 0. Raskite tikimybę P, kad jis tinka. Suapvalinkite z iki dviejų skaitmenų po kablelio.

skylė: μ = 25,05 mm, σ = 0,01 mmvelenas: μ = 25 mm, σ = 0,02 mm
P =
9.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis
μ₁ − μ₂0LU = ?x̄₁ − x̄₂E99%

Lyginamas dviejų telefonų modelių baterijos veikimo laikas. 1 modelis: 80 telefonų, vidurkis 118 h, žinomas standartinis nuokrypis 17 h. 2 modelis: 100 telefonų, vidurkis 114 h, žinomas standartinis nuokrypis 9 h. Raskite μ₁ − μ₂ 99 % pasikliautinojo intervalo viršutinį rėžį.

n₁ = 80x̄₁ = 118 hσ₁ = 17 hn₂ = 100x̄₂ = 114 hσ₂ = 9 h99%
viršutinis rėžis = h
10.Pasikliautinieji intervalaiSunkus
μ₁ − μ₂, t(15) = 1,7530L = ?Ux̄₁ − x̄₂E90%

Bandomos dvi trąšos. 1 sklypų grupė: 10 sklypų, vidutinis derlius 56,5 kg, standartinis nuokrypis 10 kg. 2 sklypų grupė: 7 sklypų, vidurkis 60 kg, standartinis nuokrypis 2 kg. Laikykite, kad dispersijos lygios (jungtinis t, df = n₁ + n₂ − 2). Raskite μ₁ − μ₂ 90 % pasikliautinojo intervalo apatinį rėžį.

n₁ = 10x̄₁ = 56,5s₁ = 10n₂ = 7x̄₂ = 60s₂ = 290%t(15) = 1,753
apatinis rėžis = kg
11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
−2,4472,447t = ?df = 6

7 darbuotojų rašymo klaviatūra testą atlieka prieš mokymo kursus ir po jų. Kiekvienam asmeniui užrašomas skirtumas d = po − prieš (žodžiai per minutę). Vidutinis skirtumas 13,86, o skirtumų standartinis nuokrypis 9,4. Raskite porinio testo statistiką t hipotezei H₀: μd = 0.

n = 7d̄ = 13,86sd = 9,4
t =
12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
−1,961,96z = ?

Klinikiniame tyrime pasveiksta 75 iš 250 pacientų, gydytų A būdu, ir 60 iš 250 pacientų, gydytų B būdu. Naudodami jungtinę dalį, raskite testo statistiką z hipotezei H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 75n₁ = 250x₂ = 60n₂ = 250
z =
13.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis
xy274146248321041xy5102040

Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = apkrova kN ir y = pailgėjimas mm. Raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.

n = 5
r =
14.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus
xy129224322416516xy2415202530ŷ = 16

Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = automobilio amžius metais ir y = kaina k€. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Kuriai reikšmei x tiesė prognozuoja ŷ = 16?

n = 5ŷ = 16
x =
15.Chi kvadrato testaiVidutinis
žemasvidutinisaukštasIš visomiesto374237116kaimo28163074Iš viso655867190

Kryžminėje lentelėje pateikti stebėti dažniai. Chi kvadrato nepriklausomumo testui raskite langelio „miesto, aukštas“ tikėtiną dažnį E.

eilutės suma = 116stulpelio suma = 67N = 190
E =
16.Chi kvadrato testaiSunkus
taipneIš visogamykla A5248100gamykla B532780gamykla C392160Iš viso14496240dfα = 0,05α = 0,0113,8416,63525,9919,21037,81511,34549,48813,277511,07015,086612,59216,812714,06718,475815,50720,090916,91921,6661018,30723,209

Lentelėje pateikti stebėti dažniai. Esant α = 0,05 patikrinkite, ar abu kintamieji nepriklausomi (be tolydumo pataisos). Apskaičiuokite testo statistiką χ², tada palyginkite ją su kritine reikšme iš lentelės.

N = 2403 × 2α = 0,05
χ² =

3Tirpalai

1.Psichologijos tyrimų metodai

Atsakymas: A · Lubų efektu

Kodėl tai yra atsakymas

Lubų efektai paslepia sąlygų skirtumus, nes niekas negali surinkti daugiau. Grindų efektai yra priešingybė, kai užduotis per sunki.

Atsakymas

A · Lubų efektu
2.Psichologijos tyrimų metodai

Atsakymas: B · Regresija į vidurkį

Kodėl tai yra atsakymas

Kai žmonės atrenkami dėl kraštutinių įverčių, dėl matavimo paklaidos ir atsitiktinumo jų vėlesni įverčiai linkę artėti prie vidurkio. Kontrolinės grupės padeda tai atskirti nuo gydymo poveikio.

Atsakymas

B · Regresija į vidurkį
3.Aprašomoji statistika

Atsakymas: s = 16,64

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Vidurkis

x̄ = 128/5 = 25,6

Nuokrypių kvadratai

Σ(x − x̄)² = 11,4² + (−7,6)² + 23,4² + (−12,6)² + (−14,6)² = 1107

Standartinis nuokrypis

s = √(1107/4) = 16,64

Atsakymas

s = 16,64
4.Aprašomoji statistika

Atsakymas: z = 1,5

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Standartizuokite

z = (82,5 − 60)/15 = 1,5

Atsakymas

z = 1,5
5.Tikimybė

Atsakymas: P = 0,06667

Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Pirmas ir antras traukimas

P = 3/10 · 2/9 = 6/90 = 0,06667

Atsakymas

P = 0,06667
6.Tikimybė

Atsakymas: P = 0,4202

Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Nulis ir vienas gedimas

P(X = 0) = 0,76 = 0,1176
P(X = 1) = 6·0,3·0,75 = 0,3025

Sudėkite

P = 0,1176 + 0,3025 = 0,4202

Atsakymas

P = 0,4202
7.Normalusis skirstinys

Atsakymas: P = 0,8659

Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.

z įverčiai

z₁ = (167,85 − 178)/7 = −1,45
z₂ = (188,85 − 178)/7 = 1,55

Plotas tarp

P = Φ(1,55) − Φ(−1,45) = 0,9394 − 0,07353 = 0,8659

Atsakymas

P = 0,8659
8.Normalusis skirstinys

Atsakymas: P = 0,9875

Normaliųjų dydžių sumos ir skirtumai: jei X ir Y yra nepriklausomi ir normalieji, tai X + Y ir X − Y taip pat normalieji. Vidurkiai sudedami arba atimami: E(X ± Y) = μX ± μY. Dispersijos visada sudedamos, net ir skirtumui: Var(X ± Y) = σX² + σY², todėl σ = √(σX² + σY²). Standartiniai nuokrypiai tiesiogiai niekada nesudedami. n nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių elementų sumos vidurkis yra n·μ, o standartinis nuokrypis σ·√n. Tada standartizuokite kaip įprasta: z = (x − vidurkis)/σ ir raskite Φ(z).

Skirtumo skirstinys

μ = 25,05 − 25 = 0,05 mm, σ = 0,02236 mm

Standartizuokite

z = (0 − 0,05)/0,02236 = −2,24

Tikimybė

P = 1 − Φ(−2,24) = 0,9875

Atsakymas

P = 0,9875
9.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: viršutinis rėžis = 9,417 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Taškinis įvertis

x̄₁ − x̄₂ = 118 − 114 = 4

Standartinė paklaida

SE = √(17²/80 + 9²/100) = 2,103

Paklaidos riba

E = 2,576·2,103 = 5,417

Intervalas

4 ± 5,417 → [−1,417, 9,417]

Atsakymas

viršutinis rėžis = 9,417 h

Intervalas apima 0, todėl duomenys reikšmingo skirtumo nerodo.

10.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: apatinis rėžis = −10,28 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Jungtinis standartinis nuokrypis

sp² = (9·10² + 6·2²)/15 = 61,6
sp = 7,849

Paklaidos riba

E = 1,753·7,849·√(1/10 + 1/7) = 6,78

Intervalas

−3,5 ± 6,78 → [−10,28, 3,28]

Atsakymas

apatinis rėžis = −10,28 kg
11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: t = 3,901

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Vidutinio skirtumo standartinė paklaida

SE = 9,4/√7 = 3,553

Testo statistika

t = 13,86/3,553 = 3,901

Atsakymas

t = 3,901

Kai df = 6, dvipusio 5 % testo kritinė reikšmė yra 2,447; |t| didesnis, todėl H₀ atmetama.

12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: z = 1,511

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Imčių dalys

p̂₁ = 75/250 = 0,3
p̂₂ = 60/250 = 0,24
p̂ = 135/500 = 0,27

Standartinė paklaida pagal H₀

SE = √(0,27·0,73·(1/250 + 1/250)) = 0,03971

Testo statistika

z = (0,3 − 0,24)/0,03971 = 1,511

Atsakymas

z = 1,511

|z| < 1.96, todėl H₀ neatmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).

13.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: r = 0,9989

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Vidurkiai

x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 118/5 = 23,6

Kvadratų ir sandaugų sumos

Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 172
Syy = Σ(y − ȳ)² = 741,2

Koreliacijos koeficientas

r = 172/√(40·741,2) = 0,9989

Atsakymas

r = 0,9989
14.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: x = 4,588

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Vidurkiai

x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 107/5 = 21,4

Kvadratų ir sandaugų sumos

Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −34

Regresijos tiesė

b = −34/10 = −3,4
a = 21,4 − (−3,4)·3 = 31,6
ŷ = 31,6 − 3,4·x

Išspręskite x atžvilgiu

x = (16 − 31,6)/(−3,4) = 4,588

Atsakymas

x = 4,588
15.Chi kvadrato testai

Atsakymas: E = 40,91

Chi kvadrato testai: stebėtus dažnius O palyginkite su pagal H₀ tikėtinais dažniais E naudodami χ² = Σ(O − E)²/E. Suderinamumo kriterijus: kiekvienai kategorijai E = n·p, df = k − 1 (ir dar minus vienas už kiekvieną iš duomenų įvertintą parametrą). Nepriklausomumas r × c lentelėje: E = eilutės suma × stulpelio suma / bendra suma, df = (r − 1)(c − 1). H₀ atmeskite, kai χ² viršija pasirinktą α atitinkančią kritinę reikšmę.

Tikėtinas dažnis

E = 116·67/190 = 40,91

Atsakymas

E = 40,91
16.Chi kvadrato testai

Atsakymas: χ² = 4,594

Chi kvadrato testai: stebėtus dažnius O palyginkite su pagal H₀ tikėtinais dažniais E naudodami χ² = Σ(O − E)²/E. Suderinamumo kriterijus: kiekvienai kategorijai E = n·p, df = k − 1 (ir dar minus vienas už kiekvieną iš duomenų įvertintą parametrą). Nepriklausomumas r × c lentelėje: E = eilutės suma × stulpelio suma / bendra suma, df = (r − 1)(c − 1). H₀ atmeskite, kai χ² viršija pasirinktą α atitinkančią kritinę reikšmę.

Tikėtini dažniai

gamykla A: 60, 40
gamykla B: 48, 32
gamykla C: 36, 24

Chi kvadrato statistika

χ² = (52 − 60)²/60 + (48 − 40)²/40 + (53 − 48)²/48 + (27 − 32)²/32 + (39 − 36)²/36 + (21 − 24)²/24
χ² = 4,594

Sprendimas

df = 2, χ²crit = 5,991
4,594 < 5,991

Atsakymas

χ² = 4,594

χ² mažesnis už kritinę reikšmę, todėl H₀ neatmetama: reikšmingų ryšio įrodymų nėra.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology