Psichologijos tyrimų metodai ir statistika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 16 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Aprašomoji statistika

Vidurkis
x̄ = Σx/n
Imties standartinis nuokrypis
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana
vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
z įvertis
z = (x − μ)/σ
Normalusis skirstinys
68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ

Tikimybė

Priešingas įvykis
P(not A) = 1 − P(A)
Sudėties taisyklė
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Nepriklausomi įvykiai
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Sąlyginė tikimybė
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binominis skirstinys
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Normalusis skirstinys

z įvertis
z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x
P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp
Φ(z2) − Φ(z1)
Procentilis
x = μ + z·σ

Metodas

  1. Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
  2. Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
  3. Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
  4. Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

Pasikliautinieji intervalai

σ žinomas
x̄ ± z·σ/√n
σ nežinomas
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritinė z reikšmė
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Imties dydis
n = (z·σ/E)², rounded up

Metodas

  1. Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
  2. Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
  3. Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
  4. Intervalas: x̄ ± E.

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

z testas vidurkiui
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t testas vidurkiui
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo
atmeskite H0, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas
x̄ ± z·σ/√n

Metodas

  1. Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
  2. Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
  3. Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
  4. H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.

Tiesinė regresija ir koreliacija

Kvadratų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Krypties koeficientas
b = Sxy/Sxx
Laisvasis narys
a = ȳ − b·x̄
Koreliacija
r = Sxy/√(SxxSyy)
Liekana
e = y − ŷ

Chi kvadrato testai

Testo statistika
χ² = Σ(O − E)²/E
Suderinamumo kriterijus
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Nepriklausomumas
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Kritinės reikšmės (α = 0,05)
df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Sprendimas
atmeskite H0, jei χ² > χ²crit

2Uždaviniai

1.Psichologijos tyrimų metodaiVidutinis

I rūšies klaida įvyksta, kai tyrėjas:

  1. ASurenka per daug duomenų
  2. BAtmeta nulinę hipotezę, kuri iš tikrųjų teisinga
  3. CNaudoja netinkamą statistinį testą
  4. DNeatmeta klaidingos nulinės hipotezės
2.Psichologijos tyrimų metodaiSunkus

Koks pagrindinis atsitiktinio priskyrimo sąlygoms tikslas eksperimente?

  1. APadidinti atsakymų dažnį
  2. BPadaryti imtį reprezentatyvią tiksliniai populiacijai, kad rezultatus būtų galima apibendrinti
  3. CUžtikrinti, kad dalyviai nežinotų tikslo
  4. DTolygiai paskirstyti dalyvių kintamuosius, kad jie neiškreiptų rezultatų
3.Aprašomoji statistikaVidutinis
202530354045505560

Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 43, 18, 60, 33, 49.

n = 5
s =
4.Aprašomoji statistikaSunkus
z −2−1012

Egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 60, standartinis nuokrypis 15. Raskite rezultato 90 z įvertį z.

μ = 60σ = 15x = 90
z =
5.TikimybėVidutinis
P(bent vienas šešetas) = ??1?2P(šešetas) = 1/6 kiekvienu metimu

Simetriškas kauliukas metamas 2 kartus. Kokia tikimybė P gauti bent vieną šešetą?

n = 2
P =
6.TikimybėSunkus
n = 11, p = 0,2: P(X = 4) = ?k01234567891011

Teste yra 11 klausimų su pasirenkamaisiais atsakymais. Spėliojanti studentė į kiekvieną atsako teisingai su tikimybe 0,2, nepriklausomai. Kokia tikimybė P, kad teisingų atsakymų bus lygiai 4?

n = 11p = 0,2k = 4
P =
7.Normalusis skirstinysVidutinis
240 g237,1 gT = X₁ + … + X₆?

varžtai masės yra nepriklausomos ir normaliosios, jų vidurkis 40 g, standartinis nuokrypis 1,2 g. Raskite tikimybę P, kad 6 iš jų bendra masė yra mažesnė nei 237,1 g. Suapvalinkite z iki dviejų skaitmenų po kablelio.

μ = 40 gσ = 1,2 gn = 6< 237.1 g
P =
8.Normalusis skirstinysSunkus
μ = 500x = ?97,5%

Tarkime, kad baterijų veikimo trukmės pasiskirstę normaliai, vidurkis 500 h, standartinis nuokrypis 40 h. Raskite reikšmę x, už kurią mažesnės yra 97,5 % reikšmių (97,5-asis procentilis).

μ = 500σ = 40P = 97,5%
x = h
9.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis
n = 25, s = 15,5L = ?Ux̄ = 83,5E95%

25 elementų imties vidurkis – 83,5, standartinis nuokrypis s = 15,5. Populiacija pasiskirsčiusi apytiksliai normaliai. Raskite vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo apatinį rėžį.

n = 25x̄ = 83,5s = 15,595%t(24) = 2,064
apatinis rėžis =
10.Pasikliautinieji intervalaiSunkus
σ = 36, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 1,590%

Populiacijos standartinis nuokrypis – 36. Kokio dydžio imties n reikia, kad vidurkio 90 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 1,5?

σ = 36E = 1,590%
n =
11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
t −2,01102,011

49 studentų imties vidutinis rezultatas – 53,43, imties standartinis nuokrypis – 20. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ = 50.

μ₀ = 50x̄ = 53,43s = 20n = 49
t =
12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
z −1,9601,96

25 matavimų imties vidurkis – 125,4. Populiacijos standartinis nuokrypis – 15. Raskite vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo apatinį rėžį L.

x̄ = 125,4σ = 15n = 2595%
L =
13.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis
xy124222318418513xy24152025

Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = automobilio amžius metais ir y = kaina k€. Raskite mažiausiųjų kvadratų tiesės determinacijos koeficientą r².

n = 5
r² =
14.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus
xy2641462382710371245xy5102040x = 5

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = apkrova kN ir y = pailgėjimas mm. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Gautas naujas stebėjimas (5, 13). Raskite jo liekaną e = y − ŷ.

n = 6(5, 13)
e =
15.Chi kvadrato testaiVidutinis
taipneIš visovyrai211940moterys491160Iš viso7030100

Kryžminėje lentelėje pateikti stebėti dažniai. Apskaičiuokite eilučių ir stulpelių kintamųjų nepriklausomumo testo chi kvadrato statistiką χ². Tolydumo pataisos nenaudokite.

N = 1002 × 2
χ² =
16.Chi kvadrato testaiSunkus
dfα = 0,05α = 0,0113,8416,63525,9919,21037,81511,34549,48813,277511,07015,086612,59216,812714,06718,475815,50720,090916,91921,6661018,30723,209

Chi kvadrato suderinamumo testas tikrina, ar dažniai 4 kategorijose atitinka Puasono skirstinį, kurio vidurkis įvertintas iš tų pačių duomenų. Naudodami lentelę, raskite kritinę reikšmę χ²crit, kai reikšmingumo lygmuo α = 0,05.

α = 0,05
χ²crit =

3Tirpalai

1.Psichologijos tyrimų metodai

Atsakymas: B · Atmeta nulinę hipotezę, kuri iš tikrųjų teisinga

Kodėl tai yra atsakymas

I rūšies klaida skelbia poveikį, kurio nėra. Jos tikimybė lygi reikšmingumo lygmeniui (dažnai 0,05). II rūšies klaida praleidžia tikrą poveikį.

Atsakymas

B · Atmeta nulinę hipotezę, kuri iš tikrųjų teisinga
2.Psichologijos tyrimų metodai

Atsakymas: D · Tolygiai paskirstyti dalyvių kintamuosius, kad jie neiškreiptų rezultatų

Kodėl tai yra atsakymas

Atsitiktinis priskyrimas subalansuoja individualius skirtumus tarp sąlygų ir padeda daryti priežastines išvadas. Atsitiktinė atranka susijusi su apibendrinimu populiacijai.

Atsakymas

D · Tolygiai paskirstyti dalyvių kintamuosius, kad jie neiškreiptų rezultatų
3.Aprašomoji statistika

Atsakymas: s = 15,98

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Vidurkis

x̄ = 203/5 = 40,6

Nuokrypių kvadratai

Σ(x − x̄)² = 2,4² + (−22,6)² + 19,4² + (−7,6)² + 8,4² = 1021

Standartinis nuokrypis

s = √(1021/4) = 15,98

Atsakymas

s = 15,98
4.Aprašomoji statistika

Atsakymas: z = 2

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Standartizuokite

z = (90 − 60)/15 = 2

Atsakymas

z = 2
5.Tikimybė

Atsakymas: P = 0,3056

Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Priešingas įvykis

P(nėra šešeto) = (5/6)2 = 0,6944
P = 1 − 0,6944 = 0,3056

Atsakymas

P = 0,3056
6.Tikimybė

Atsakymas: P = 0,1107

Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Binominė formulė

P(X = 4) = 330·0,24·0,87 = 330·0,0016·0,2097 = 0,1107

Atsakymas

P = 0,1107
7.Normalusis skirstinys

Atsakymas: P = 0,1611

Normaliųjų dydžių sumos ir skirtumai: jei X ir Y yra nepriklausomi ir normalieji, tai X + Y ir X − Y taip pat normalieji. Vidurkiai sudedami arba atimami: E(X ± Y) = μX ± μY. Dispersijos visada sudedamos, net ir skirtumui: Var(X ± Y) = σX² + σY², todėl σ = √(σX² + σY²). Standartiniai nuokrypiai tiesiogiai niekada nesudedami. n nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių elementų sumos vidurkis yra n·μ, o standartinis nuokrypis σ·√n. Tada standartizuokite kaip įprasta: z = (x − vidurkis)/σ ir raskite Φ(z).

Sumos skirstinys

μT = 240 g, σT = 1,2·√6 = 2,939 g

Standartizuokite

z = (237,1 − 240)/2,939 = −0,99

Tikimybė

P = Φ(−0,99) = 0,1611

Atsakymas

P = 0,1611
8.Normalusis skirstinys

Atsakymas: x = 578,4 h

Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.

Procentilio z

Φ(z) = 0,975 → z = 1,96

Atgal į x

x = 500 + 1,96·40 = 578,4 h

Atsakymas

x = 578,4 h
9.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: apatinis rėžis = 77,1

Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.

Kritinė reikšmė

df = n − 1 = 24, t = 2,064

Paklaidos riba

E = 2,064·15,5/√25 = 6,398

Intervalas

83,5 ± 6,398 → [77,1, 89,9]

Atsakymas

apatinis rėžis = 77,1
10.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: n = 1559

Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.

Išreikškite n

n = (1,645·36/1,5)² = 1559

Apvalinkite aukštyn

Imties dydis yra sveikasis skaičius, o apvalinant žemyn paklaidos riba būtų per didelė.

n = 1559

Atsakymas

n = 1559
11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: t = 1,2

Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).

Standartinė paklaida

SE = 20/√49 = 20/7 = 2,857

Testo statistika

t = (53,43 − 50)/2,857 = 1,2

Atsakymas

t = 1,2
t0,025; df = 48 = 2,011

|t| < 2.011, todėl H₀ neatmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).

12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: L = 119,5

Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).

Paklaidos riba

E = 1,96·15/√25 = 5,88

Intervalo rėžis

L = 125,4 − 5,88 = 119,5

Atsakymas

L = 119,5
13.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: r² = 0,9389

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Vidurkiai

x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 95/5 = 19

Kvadratų ir sandaugų sumos

Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −26
Syy = Σ(y − ȳ)² = 72

Determinacijos koeficientas

r² = −26²/(10·72) = 0,9389

Atsakymas

r² = 0,9389

Apie 93,89% y kitimo paaiškinama tiese.

14.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: e = −4,676

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Vidurkiai

x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 152/6 = 25,33

Kvadratų ir sandaugų sumos

Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 268

Regresijos tiesė

b = 268/70 = 3,829
a = 25,33 − 3,829·7 = −1,467
ŷ = −1,467 + 3,829·x

Prognozuojama reikšmė

ŷ = −1,467 + 3,829·5 = 17,68

Liekana

e = 13 − 17,68 = −4,676

Atsakymas

e = −4,676

Taškas yra po tiese.

15.Chi kvadrato testai

Atsakymas: χ² = 9,722

Chi kvadrato testai: stebėtus dažnius O palyginkite su pagal H₀ tikėtinais dažniais E naudodami χ² = Σ(O − E)²/E. Suderinamumo kriterijus: kiekvienai kategorijai E = n·p, df = k − 1 (ir dar minus vienas už kiekvieną iš duomenų įvertintą parametrą). Nepriklausomumas r × c lentelėje: E = eilutės suma × stulpelio suma / bendra suma, df = (r − 1)(c − 1). H₀ atmeskite, kai χ² viršija pasirinktą α atitinkančią kritinę reikšmę.

Tikėtini dažniai

vyrai: 40·70/100 = 28, 40·30/100 = 12
moterys: 60·70/100 = 42, 60·30/100 = 18

Chi kvadrato statistika

χ² = (21 − 28)²/28 + (19 − 12)²/12 + (49 − 42)²/42 + (11 − 18)²/18
χ² = 9,722

Atsakymas

χ² = 9,722

df = 1. Kai α = 0,05, kritinė reikšmė yra 3,841, todėl H₀ (nepriklausomumas) atmetama.

16.Chi kvadrato testai

Atsakymas: χ²crit = 5,991

Chi kvadrato testai: stebėtus dažnius O palyginkite su pagal H₀ tikėtinais dažniais E naudodami χ² = Σ(O − E)²/E. Suderinamumo kriterijus: kiekvienai kategorijai E = n·p, df = k − 1 (ir dar minus vienas už kiekvieną iš duomenų įvertintą parametrą). Nepriklausomumas r × c lentelėje: E = eilutės suma × stulpelio suma / bendra suma, df = (r − 1)(c − 1). H₀ atmeskite, kai χ² viršija pasirinktą α atitinkančią kritinę reikšmę.

Laisvės laipsniai

df = 4 − 1 − 1 = 2

Lentelė

χ²crit(df = 2, α = 0,05) = 5,991

Atsakymas

χ²crit = 5,991

H₀ atmeskite, jei apskaičiuotas χ² didesnis už šią reikšmę.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology