Psichologijos tyrimų metodai ir statistika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 16 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Aprašomoji statistika

Vidurkis: x̄ = Σx/n
Imties standartinis nuokrypis: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
z įvertis: z = (x − μ)/σ
Normalusis skirstinys: 68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ

Tikimybė

Priešingas įvykis: P(not A) = 1 − P(A)
Sudėties taisyklė: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Nepriklausomi įvykiai: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Sąlyginė tikimybė: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binominis skirstinys: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normalusis skirstinys

z įvertis: z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x: P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Procentilis: x = μ + z·σ

Metodas

Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

Pasikliautinieji intervalai

σ žinomas: x̄ ± z·σ/√n
σ nežinomas: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritinė z reikšmė: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Imties dydis: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodas

Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
Intervalas: x̄ ± E.

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

z testas vidurkiui: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t testas vidurkiui: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo: atmeskite H₀, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas: x̄ ± z·σ/√n

Metodas

Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.

Tiesinė regresija ir koreliacija

Kvadratų sumos: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Krypties koeficientas: b = S_xy/S_xx
Laisvasis narys: a = ȳ − b·x̄
Koreliacija: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Liekana: e = y − ŷ

Chi kvadrato testai

Testo statistika: χ² = Σ(O − E)²/E
Suderinamumo kriterijus: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Nepriklausomumas: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Kritinės reikšmės (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Sprendimas: atmeskite H₀, jei χ² > χ²_crit

2Uždaviniai

1.Psichologijos tyrimų metodaiVidutinis

Stebėjimo tyrimuose įvykių atranka (event sampling) reiškia:

ARegistruoti elgesį tik fiksuotais laiko intervalais
BAtsitiktinai rinktis dalyvius
CRegistruoti kiekvieną kartą, kai pasireiškia nurodytas elgesys
DRegistruoti tik dalyvių nurodytus įvykius

2.Psichologijos tyrimų metodaiSunkus

Tyrėjas renka duomenis devyniais laiko taškais ir kiekvieną kartą testuoja 5% lygmeniu be korekcijos. Kokia problema?

AToks metodas nekelia jokių problemų
BPoveikio dydis su kiekvienu testu mažėja
CTikimybė gauti bent vieną klaidingai teigiamą rezultatą gerokai viršija 5%
DDuomenys kaskart tampa patikimesni, todėl paskutinis testas yra tiksliausias

3.Aprašomoji statistikaVidutinis

Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 45, 43, 43, 57, 56.

n = 5

s =

4.Aprašomoji statistikaSunkus

Dydis pasiskirstęs normaliai, vidurkis 500, standartinis nuokrypis 25. Kokia reikšmių dalis P yra mažesnė už 462,5?

μ = 500σ = 25x = 462,5

P =

5.TikimybėVidutinis

Keliais būdais N iš 9 žmonių grupės galima išrinkti 3 žmonių komisiją? Tvarka nesvarbi.

n = 9k = 3

N =

6.TikimybėSunkus

Teste yra 6 klausimų su pasirenkamaisiais atsakymais. Spėliojanti studentė į kiekvieną atsako teisingai su tikimybe 0,6, nepriklausomai. Kokia tikimybė P, kad teisingų atsakymų bus lygiai 2?

n = 6p = 0,6k = 2

P =

7.Normalusis skirstinysVidutinis

Nuvilkite z, kad nuspalvintas plotas tarp −z ir z po standartine normaliąja kreive būtų 0,9722. Raskite z dviejų ženklų po kablelio tikslumu.

A = 0,9722

z =

8.Normalusis skirstinysSunkus

maišų masės pasiskirstę normaliai, vidurkis 250 g, standartinis nuokrypis 5 g. Nuvilkite ribą taip, kad nuspalvinti apatiniai 10 % būtų kairėje nuo jos. Raskite ribą x.

μ = 250 gσ = 5 g10%

x = g

9.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis

30 elementų imties vidurkis – 35, standartinis nuokrypis s = 10. Populiacija pasiskirsčiusi apytiksliai normaliai. Raskite vidurkio 99 % pasikliautinojo intervalo apatinį rėžį.

n = 30x̄ = 35s = 1099%t(29) = 2,756

apatinis rėžis =

10.Pasikliautinieji intervalaiSunkus

11 apdirbtų velenų skersmenų imties standartinis nuokrypis 5,9 µm. Laikydami, kad skersmenys pasiskirstę normaliai, raskite populiacijos standartinio nuokrypio 95 % pasikliautinojo intervalo rėžį (viršutinis rėžis) σ. Kai df = 10, 2,5 % χ² skirstinio yra žemiau 3,247, o 2,5 % – aukščiau 20,483.

n = 11s = 5,9 µmχ² = 3,247, 20,483

σ = µm

11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis

64 studentų imties vidutinis rezultatas – 503,6, imties standartinis nuokrypis – 10. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ = 500.

μ₀ = 500x̄ = 503,6s = 10n = 64

t =

12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus

Klinikiniame tyrime pasveiksta 83 iš 150 pacientų, gydytų A būdu, ir 48 iš 120 pacientų, gydytų B būdu. Naudodami jungtinę dalį, raskite testo statistiką z hipotezei H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 83n₁ = 150x₂ = 48n₂ = 120

z =

13.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = temperatūra °C ir y = parduoti ledai. Raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.

n = 6

r =

14.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus

Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = apkrova kN ir y = pailgėjimas mm. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Prognozuokite ŷ, kai x = 3.

n = 5x = 3

ŷ =

15.Chi kvadrato testaiVidutinis

Kryžminėje lentelėje pateikti stebėti dažniai. Chi kvadrato nepriklausomumo testui raskite langelio „naktinė pamaina, be defektų“ tikėtiną dažnį E.

eilutės suma = 51stulpelio suma = 44N = 126

E =

16.Chi kvadrato testaiSunkus

Chi kvadrato nepriklausomumo testas atliekamas kryžminei lentelei, turinčiai 3 eilutes ir 3 stulpelius (neskaičiuojant sumų). Kiek laisvės laipsnių df turi testas?

3 × 3

df =

3Tirpalai

1.Psichologijos tyrimų metodai

Atsakymas: C · Registruoti kiekvieną kartą, kai pasireiškia nurodytas elgesys

Kodėl tai yra atsakymas

Įvykių atranka skaičiuoja kiekvieną tikslinio elgesio pasireiškimą. Laiko atranka registruoja, kas vyksta nustatytais intervalais, pvz., kas 30 sekundžių.

Atsakymas

C · Registruoti kiekvieną kartą, kai pasireiškia nurodytas elgesys

2.Psichologijos tyrimų metodai

Atsakymas: C · Tikimybė gauti bent vieną klaidingai teigiamą rezultatą gerokai viršija 5%

Kodėl tai yra atsakymas

Atlikus devynis nepriklausomus testus, bent vienos I rūšies klaidos tikimybė yra apie 1 − 0,95⁹ ≈ 37%. Tam spręsti taikomos korekcijos, pvz., Bonferonio.

Atsakymas

C · Tikimybė gauti bent vieną klaidingai teigiamą rezultatą gerokai viršija 5%

3.Aprašomoji statistika

Atsakymas: s = 7,085

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Vidurkis

x̄ = 244/5 = 48,8

Nuokrypių kvadratai

Σ(x − x̄)² = (−3,8)² + (−5,8)² + (−5,8)² + 8,2² + 7,2² = 200,8

Standartinis nuokrypis

s = √(200,8/4) = 7,085

Atsakymas

s = 7,085

4.Aprašomoji statistika

Atsakymas: P = 0,06681

Standartizuokite

z = −1,5

Standartinio normaliojo skirstinio lentelė

Φ(−1,5) = 0,06681

P = 0,06681

Atsakymas

P = 0,06681

5.Tikimybė

Atsakymas: N = 84

Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Deriniai

C(9, 3) = (9·8·7)/(3·2·1) = 84

Atsakymas

N = 84

6.Tikimybė

Atsakymas: P = 0,1382

Binominė formulė

P(X = 2) = 15·0,6²·0,4⁴ = 15·0,36·0,0256 = 0,1382

Atsakymas

P = 0,1382

7.Normalusis skirstinys

Atsakymas: z = 2,2

Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.

Plotas kairėje nuo z

Φ(z) = (1 + 0,9722)/2 = 0,9861

Skaitykite z lentelę atvirkščiai

Lentelėje suraskite 0,9861 ir nuskaitykite z.

z = 2,20

Atsakymas

z = 2,20

8.Normalusis skirstinys

Atsakymas: x = 243,6 g

Plotas kairėje

Φ(z) = 0,1

z iš lentelės

z ≈ −1,28

Atgal į pradinius vienetus

x = 250 − 1,28·5 = 243,6 g

Atsakymas

x = 243,6 g

9.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: apatinis rėžis = 29,97

Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.

Kritinė reikšmė

df = n − 1 = 29, t = 2,756

Paklaidos riba

E = 2,756·10/√30 = 5,032

Intervalas

35 ± 5,032 → [29,97, 40,03]

Atsakymas

apatinis rėžis = 29,97

10.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: σ = 10,35 µm

Dispersijos intervalas: (n − 1)s²/σ² turi χ² skirstinį su n − 1 laisvės laipsniu. σ² 95 % intervalas tęsiasi nuo (n − 1)s², padalyto iš viršutinės χ² reikšmės (virš jos 2,5 %), iki (n − 1)s², padalyto iš apatinės χ² reikšmės (žemiau jos 2,5 %); σ intervalas gaunamas ištraukus šaknį iš abiejų rėžių. Jis nesimetriškas s atžvilgiu.

Kvadratų suma

(n − 1)s² = 10·5,9² = 348,1

σ² rėžiai

348,1/20,483 = 16,99

348,1/3,247 = 107,2

σ rėžis

σ = √107,2 = 10,35 µm

Atsakymas

σ = 10,35 µm

σ 95 % intervalas: [4,122, 10,35] µm.

11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: t = 2,88

Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).

Standartinė paklaida

SE = 10/√64 = 10/8 = 1,25

Testo statistika

t = (503,6 − 500)/1,25 = 2,88

Atsakymas

t = 2,88

t_{0,025; df = 63} = 1,998

|t| > 1,998, todėl H₀ atmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).

12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: z = 2,505

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Imčių dalys

p̂₁ = 83/150 = 0,5533

p̂₂ = 48/120 = 0,4

p̂ = 131/270 = 0,4852

Standartinė paklaida pagal H₀

SE = √(0,4852·0,5148·(1/150 + 1/120)) = 0,06121

Testo statistika

z = (0,5533 − 0,4)/0,06121 = 2,505

Atsakymas

z = 2,505

|z| > 1,96, todėl H₀ atmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).

13.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: r = 0,9815

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Vidurkiai

x̄ = 147/6 = 24,5

ȳ = 686/6 = 114,3

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 888

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 5197

Koreliacijos koeficientas

r = 888/√(157,5·5197) = 0,9815

Atsakymas

r = 0,9815

14.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: ŷ = 12,2

Vidurkiai

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 118/5 = 23,6

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 152

Regresijos tiesė

b = 152/40 = 3,8

a = 23,6 − 3,8·6 = 0,8

ŷ = 0,8 + 3,8·x

Prognozė

ŷ = 0,8 + 3,8·3 = 12,2

Atsakymas

ŷ = 12,2

15.Chi kvadrato testai

Atsakymas: E = 17,81

Chi kvadrato testai: stebėtus dažnius O palyginkite su pagal H₀ tikėtinais dažniais E naudodami χ² = Σ(O − E)²/E. Suderinamumo kriterijus: kiekvienai kategorijai E = n·p, df = k − 1 (ir dar minus vienas už kiekvieną iš duomenų įvertintą parametrą). Nepriklausomumas r × c lentelėje: E = eilutės suma × stulpelio suma / bendra suma, df = (r − 1)(c − 1). H₀ atmeskite, kai χ² viršija pasirinktą α atitinkančią kritinę reikšmę.

Tikėtinas dažnis

E = 51·44/126 = 17,81

Atsakymas

E = 17,81

16.Chi kvadrato testai

Atsakymas: df = 4

Laisvės laipsniai

df = (3 − 1)·(3 − 1) = 4

Atsakymas

df = 4

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology