Psichologijos tyrimų metodai ir statistika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 16 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Aprašomoji statistika

Vidurkis: x̄ = Σx/n
Imties standartinis nuokrypis: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
z įvertis: z = (x − μ)/σ
Normalusis skirstinys: 68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ

Tikimybė

Priešingas įvykis: P(not A) = 1 − P(A)
Sudėties taisyklė: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Nepriklausomi įvykiai: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Sąlyginė tikimybė: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binominis skirstinys: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normalusis skirstinys

z įvertis: z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x: P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Procentilis: x = μ + z·σ

Metodas

Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

Pasikliautinieji intervalai

σ žinomas: x̄ ± z·σ/√n
σ nežinomas: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritinė z reikšmė: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Imties dydis: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodas

Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
Intervalas: x̄ ± E.

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

z testas vidurkiui: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t testas vidurkiui: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo: atmeskite H₀, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas: x̄ ± z·σ/√n

Metodas

Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.

Tiesinė regresija ir koreliacija

Kvadratų sumos: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Krypties koeficientas: b = S_xy/S_xx
Laisvasis narys: a = ȳ − b·x̄
Koreliacija: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Liekana: e = y − ŷ

Chi kvadrato testai

Testo statistika: χ² = Σ(O − E)²/E
Suderinamumo kriterijus: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Nepriklausomumas: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Kritinės reikšmės (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Sprendimas: atmeskite H₀, jei χ² > χ²_crit

2Uždaviniai

1.Psichologijos tyrimų metodaiVidutinis

Teigiamai asimetriškame skirstinyje, pvz., pajamų:

AKraštutinių įverčių nėra
BVidurkis mažesnis už medianą
CVidurkis ir mediana visada lygūs
DVidurkis didesnis už medianą

2.Psichologijos tyrimų metodaiSunkus

Daugialypėje regresijoje, prognozuojančioje egzamino įverčius pagal mokymosi valandas ir miegą, R² = 0,36. Ką tai reiškia?

AMokymosi valandos lemia 36% egzamino sėkmės
BPrediktoriai kartu paaiškina 36% egzamino įverčių dispersijos
C36% studentų išlaikė egzaminą
DPrediktorių koreliacija yra 0,36

3.Aprašomoji statistikaVidutinis

Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 55, 32, 37, 17, 15, 38, 32.

n = 7

s =

4.Aprašomoji statistikaSunkus

Dydis pasiskirstęs normaliai, vidurkis 50, standartinis nuokrypis 12. Kokia reikšmių dalis P yra didesnė už 26?

μ = 50σ = 12x = 26

P =

5.TikimybėVidutinis

Parodytam skirstiniui raskite X dispersiją Var(X).

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,25, 0,2, 0,35, 0,2

Var(X) =

6.TikimybėSunkus

Teste yra 11 klausimų su pasirenkamaisiais atsakymais. Spėliojanti studentė į kiekvieną atsako teisingai su tikimybe 0,25, nepriklausomai. Kokia tikimybė P, kad teisingų atsakymų bus lygiai 4?

n = 11p = 0,25k = 4

P =

7.Normalusis skirstinysVidutinis

Tarkime, kad pristatymo trukmės pasiskirstę normaliai, vidurkis 32 min, standartinis nuokrypis 6 min. Kokia dalis reikšmių yra tarp 23 ir 37,1 min? P pateikite dešimtaine trupmena.

μ = 32σ = 6x₁ = 23x₂ = 37,1

P =

8.Normalusis skirstinysSunkus

egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 65 tšk., standartinis nuokrypis 10 tšk.. Nuvilkite ribą taip, kad nuspalvinti viršutiniai 30 % būtų dešinėje nuo jos. Raskite ribą x.

μ = 65 tšk.σ = 10 tšk.30%

x = tšk.

9.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis

Lyginamas dviejų telefonų modelių baterijos veikimo laikas. 1 modelis: 60 telefonų, vidurkis 60 h, žinomas standartinis nuokrypis 14 h. 2 modelis: 100 telefonų, vidurkis 54 h, žinomas standartinis nuokrypis 7 h. Raskite μ₁ − μ₂ 95 % pasikliautinojo intervalo viršutinį rėžį.

n₁ = 60x̄₁ = 60 hσ₁ = 14 hn₂ = 100x̄₂ = 54 hσ₂ = 7 h95%

viršutinis rėžis = h

10.Pasikliautinieji intervalaiSunkus

11 apdirbtų velenų skersmenų imties standartinis nuokrypis 4 µm. Laikydami, kad skersmenys pasiskirstę normaliai, raskite populiacijos standartinio nuokrypio 95 % pasikliautinojo intervalo rėžį (apatinis rėžis) σ. Kai df = 10, 2,5 % χ² skirstinio yra žemiau 3,247, o 2,5 % – aukščiau 20,483.

n = 11s = 4 µmχ² = 3,247, 20,483

σ = µm

11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis

13 darbuotojų rašymo klaviatūra testą atlieka prieš mokymo kursus ir po jų. Kiekvienam asmeniui užrašomas skirtumas d = po − prieš (žodžiai per minutę). Vidutinis skirtumas 2,25, o skirtumų standartinis nuokrypis 8,1. Raskite porinio testo statistiką t hipotezei H₀: μ_d = 0.

n = 13d̄ = 2,25s_d = 8,1

t =

12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus

16 matavimų imties vidurkis – 125,3. Populiacijos standartinis nuokrypis – 15. Raskite vidurkio 90 % pasikliautinojo intervalo viršutinį rėžį U.

x̄ = 125,3σ = 15n = 1690%

U =

13.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = reklamos išlaidos k€ ir y = pardavimai k€. Raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.

n = 6

r =

14.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = automobilio amžius metais ir y = kaina k€. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Prognozuokite ŷ, kai x = 4,5.

n = 6x = 4,5

ŷ =

15.Chi kvadrato testaiVidutinis

Kryžminėje lentelėje pateikti stebėti dažniai. Chi kvadrato nepriklausomumo testui raskite langelio „studentai, autobusas“ tikėtiną dažnį E.

eilutės suma = 90stulpelio suma = 35N = 146

E =

16.Chi kvadrato testaiSunkus

Chi kvadrato suderinamumo testas tikrina, ar dažniai 9 kategorijose atitinka Puasono skirstinį, kurio vidurkis įvertintas iš tų pačių duomenų. Naudodami lentelę, raskite kritinę reikšmę χ²_crit, kai reikšmingumo lygmuo α = 0,05.

α = 0,05

χ²_crit =

3Tirpalai

1.Psichologijos tyrimų metodai

Atsakymas: D · Vidurkis didesnis už medianą

Kodėl tai yra atsakymas

Kelios labai didelės reikšmės dešinėje uodegoje pakelia vidurkį virš medianos, todėl asimetriškiems duomenims dažnai nurodoma mediana.

Atsakymas

D · Vidurkis didesnis už medianą

2.Psichologijos tyrimų metodai

Atsakymas: B · Prediktoriai kartu paaiškina 36% egzamino įverčių dispersijos

Kodėl tai yra atsakymas

R² rodo, kiek rezultato kintamumo paaiškina visi prediktoriai kartu. Jis neįrodo priežastingumo.

Atsakymas

B · Prediktoriai kartu paaiškina 36% egzamino įverčių dispersijos

3.Aprašomoji statistika

Atsakymas: s = 13,56

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Vidurkis

x̄ = 226/7 = 32,29

Nuokrypių kvadratai

Σ(x − x̄)² = 22,71² + (−0,2857)² + 4,714² + (−15,29)² + (−17,29)² + 5,714² + (−0,2857)² = 1103

Standartinis nuokrypis

s = √(1103/6) = 13,56

Atsakymas

s = 13,56

4.Aprašomoji statistika

Atsakymas: P = 0,9772

Standartizuokite

z = −2

Standartinio normaliojo skirstinio lentelė

Φ(−2) = 0,02275

P = 1 − 0,02275 = 0,9772

Atsakymas

P = 0,9772

5.Tikimybė

Atsakymas: Var(X) = 115

Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σ_Y = |a|·σ_X; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.

Vidurkis

μ = 10·0,25 + 20·0,2 + 30·0,35 + 40·0,2 = 25

Kvadratų vidurkis

E(X²) = 100·0,25 + 400·0,2 + 900·0,35 + 1600·0,2 = 740

Dispersija

Var(X) = 740 − 25² = 115

Atsakymas

Var(X) = 115

6.Tikimybė

Atsakymas: P = 0,1721

Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Binominė formulė

P(X = 4) = 330·0,25⁴·0,75⁷ = 330·0,003906·0,1335 = 0,1721

Atsakymas

P = 0,1721

7.Normalusis skirstinys

Atsakymas: P = 0,7355

Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.

z įverčiai

z₁ = (23 − 32)/6 = −1,5

z₂ = (37,1 − 32)/6 = 0,85

Plotas tarp

P = Φ(0,85) − Φ(−1,5) = 0,8023 − 0,06681 = 0,7355

Atsakymas

P = 0,7355

8.Normalusis skirstinys

Atsakymas: x = 70,2 tšk.

Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.

Plotas kairėje

Φ(z) = 0,7

z iš lentelės

z ≈ 0,52

Atgal į pradinius vienetus

x = 65 + 0,52·10 = 70,2 tšk.

Atsakymas

x = 70,2 tšk.

9.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: viršutinis rėžis = 9,799 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Taškinis įvertis

x̄₁ − x̄₂ = 60 − 54 = 6

Standartinė paklaida

SE = √(14²/60 + 7²/100) = 1,938

Paklaidos riba

E = 1,96·1,938 = 3,799

Intervalas

6 ± 3,799 → [2,201, 9,799]

Atsakymas

viršutinis rėžis = 9,799 h

Intervalas neapima 0, todėl vidurkiai reikšmingai skiriasi.

10.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: σ = 2,795 µm

Dispersijos intervalas: (n − 1)s²/σ² turi χ² skirstinį su n − 1 laisvės laipsniu. σ² 95 % intervalas tęsiasi nuo (n − 1)s², padalyto iš viršutinės χ² reikšmės (virš jos 2,5 %), iki (n − 1)s², padalyto iš apatinės χ² reikšmės (žemiau jos 2,5 %); σ intervalas gaunamas ištraukus šaknį iš abiejų rėžių. Jis nesimetriškas s atžvilgiu.

Kvadratų suma

(n − 1)s² = 10·4² = 160

σ² rėžiai

160/20,483 = 7,811

160/3,247 = 49,28

σ rėžis

σ = √7,811 = 2,795 µm

Atsakymas

σ = 2,795 µm

σ 95 % intervalas: [2,795, 7,02] µm.

11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: t = 1,002

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Vidutinio skirtumo standartinė paklaida

SE = 8,1/√13 = 2,247

Testo statistika

t = 2,25/2,247 = 1,002

Atsakymas

t = 1,002

Kai df = 12, dvipusio 5 % testo kritinė reikšmė yra 2,179; |t| mažesnis, todėl H₀ neatmetama.

12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: U = 131,5

Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).

Paklaidos riba

E = 1,645·15/√16 = 6,169

Intervalo rėžis

U = 125,3 + 6,169 = 131,5

Atsakymas

U = 131,5

13.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: r = 0,9439

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Vidurkiai

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 225/6 = 37,5

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 58,5

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 219,5

Koreliacijos koeficientas

r = 58,5/√(17,5·219,5) = 0,9439

Atsakymas

r = 0,9439

14.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: ŷ = 21,91

Vidurkiai

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 138/6 = 23

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −19

Regresijos tiesė

b = −19/17,5 = −1,086

a = 23 − (−1,086)·3,5 = 26,8

ŷ = 26,8 − 1,086·x

Prognozė

ŷ = 26,8 + (−1,086)·4,5 = 21,91

Atsakymas

ŷ = 21,91

15.Chi kvadrato testai

Atsakymas: E = 21,58

Chi kvadrato testai: stebėtus dažnius O palyginkite su pagal H₀ tikėtinais dažniais E naudodami χ² = Σ(O − E)²/E. Suderinamumo kriterijus: kiekvienai kategorijai E = n·p, df = k − 1 (ir dar minus vienas už kiekvieną iš duomenų įvertintą parametrą). Nepriklausomumas r × c lentelėje: E = eilutės suma × stulpelio suma / bendra suma, df = (r − 1)(c − 1). H₀ atmeskite, kai χ² viršija pasirinktą α atitinkančią kritinę reikšmę.

Tikėtinas dažnis

E = 90·35/146 = 21,58

Atsakymas

E = 21,58

16.Chi kvadrato testai

Atsakymas: χ²_crit = 14,07

Laisvės laipsniai

df = 9 − 1 − 1 = 7

Lentelė

χ²_crit(df = 7, α = 0,05) = 14,067

Atsakymas

χ²_crit = 14,067

H₀ atmeskite, jei apskaičiuotas χ² didesnis už šią reikšmę.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology