Psichologijos tyrimų metodai ir statistika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 16 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Aprašomoji statistika

Vidurkis
x̄ = Σx/n
Imties standartinis nuokrypis
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana
vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
z įvertis
z = (x − μ)/σ
Normalusis skirstinys
68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ

Tikimybė

Priešingas įvykis
P(not A) = 1 − P(A)
Sudėties taisyklė
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Nepriklausomi įvykiai
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Sąlyginė tikimybė
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binominis skirstinys
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Normalusis skirstinys

z įvertis
z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x
P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp
Φ(z2) − Φ(z1)
Procentilis
x = μ + z·σ

Metodas

  1. Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
  2. Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
  3. Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
  4. Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

Pasikliautinieji intervalai

σ žinomas
x̄ ± z·σ/√n
σ nežinomas
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritinė z reikšmė
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Imties dydis
n = (z·σ/E)², rounded up

Metodas

  1. Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
  2. Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
  3. Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
  4. Intervalas: x̄ ± E.

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

z testas vidurkiui
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t testas vidurkiui
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo
atmeskite H0, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas
x̄ ± z·σ/√n

Metodas

  1. Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
  2. Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
  3. Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
  4. H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.

Tiesinė regresija ir koreliacija

Kvadratų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Krypties koeficientas
b = Sxy/Sxx
Laisvasis narys
a = ȳ − b·x̄
Koreliacija
r = Sxy/√(SxxSyy)
Liekana
e = y − ŷ

Chi kvadrato testai

Testo statistika
χ² = Σ(O − E)²/E
Suderinamumo kriterijus
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Nepriklausomumas
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Kritinės reikšmės (α = 0,05)
df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Sprendimas
atmeskite H0, jei χ² > χ²crit

2Uždaviniai

1.Psichologijos tyrimų metodaiVidutinis

I rūšies klaida įvyksta, kai tyrėjas:

  1. ANaudoja netinkamą statistinį testą
  2. BAtmeta nulinę hipotezę, kuri iš tikrųjų teisinga
  3. CSurenka per daug duomenų
  4. DNeatmeta klaidingos nulinės hipotezės
2.Psichologijos tyrimų metodaiSunkus

Tyrėjas atlieka penkis t testus ir, taikydamas Bonferroni pataisą, nori bendrą I tipo klaidų lygį išlaikyti 0,05. Kokį reikšmingumo lygmenį turėtų naudoti kiekvienas testas?

  1. A0,05
  2. B0,025
  3. C0,01
  4. D0,25
3.Aprašomoji statistikaVidutinis
1520253035404550

Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 13, 45, 53, 14, 14, 24.

n = 6
s =
4.Aprašomoji statistikaSunkus
z −2−1012

Dydis pasiskirstęs normaliai, vidurkis 60, standartinis nuokrypis 5. Kokia reikšmių dalis P yra didesnė už 66,25?

μ = 60σ = 5x = 66,25
P =
5.TikimybėVidutinis
xp(x)00,320,340,360,1μ = 2,4

Parodytam skirstiniui raskite X standartinį nuokrypį σ.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,3, 0,3, 0,3, 0,1
σ =
6.TikimybėSunkus
xp(x)00,3520,340,160,25μ

X turi parodytą skirstinį, o Y = 3X + 1. Raskite Y standartinį nuokrypį σY.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,35, 0,3, 0,1, 0,25Y = 3X + 1
σY =
7.Normalusis skirstinysVidutinis
−3−2−10123znuspalvintas plotas tarp −z ir z = 0,9762

Nuvilkite z, kad nuspalvintas plotas tarp −z ir z po standartine normaliąja kreive būtų 0,9762. Raskite z dviejų ženklų po kablelio tikslumu.

A = 0,9762
z =
8.Normalusis skirstinysSunkus
380420460500540580620hviršus 60%

baterijų veikimo trukmės pasiskirstę normaliai, vidurkis 500 h, standartinis nuokrypis 40 h. Nuvilkite ribą taip, kad nuspalvinti viršutiniai 60 % būtų dešinėje nuo jos. Raskite ribą x.

μ = 500 hσ = 40 h60%
x = h
9.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis
n = 12, s = 8LU = ?x̄ = 73E90%

12 elementų imties vidurkis – 73, standartinis nuokrypis s = 8. Populiacija pasiskirsčiusi apytiksliai normaliai. Raskite vidurkio 90 % pasikliautinojo intervalo viršutinį rėžį.

n = 12x̄ = 73s = 890%t(11) = 1,796
viršutinis rėžis =
10.Pasikliautinieji intervalaiSunkus
σ = 31, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 195%

Populiacijos standartinis nuokrypis – 31. Kokio dydžio imties n reikia, kad vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 1?

σ = 31E = 195%
n =
11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
−0,840,84p = ?

Teigiama, kad populiacijos vidurkis lygus 50; žinoma, kad populiacijos standartinis nuokrypis yra 10. Atsitiktinės 100 stebėjimų imties vidurkis 49,16. Tikrinkite H₀: μ = 50 prieš H₁: μ ≠ 50. Raskite p reikšmę p.

μ₀ = 50σ = 10n = 100x̄ = 49,16H₁: μ ≠ μ₀
p =
12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
σ = 4, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 1,595%

Kokia didelė turi būti imtis, kad vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 1,5? Standartinis nuokrypis – 4. Raskite mažiausią imties dydį n.

σ = 4E = 1,595%
n =
13.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis
xy2741161982710311239xy51010203040

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = apkrova kN ir y = pailgėjimas mm. Raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.

n = 6
r =
14.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus
xy133235345449553662xy246405060ŷ = 58

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = reklamos išlaidos k€ ir y = pardavimai k€. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Kuriai reikšmei x tiesė prognozuoja ŷ = 58?

n = 6ŷ = 58
x =
15.Chi kvadrato testaiVidutinis
kosulysbe kosulioIš visorūkantieji364480nerūkantieji6337100Iš viso9981180

Kryžminėje lentelėje pateikti stebėti dažniai. Apskaičiuokite eilučių ir stulpelių kintamųjų nepriklausomumo testo chi kvadrato statistiką χ². Tolydumo pataisos nenaudokite.

N = 1802 × 2
χ² =
16.Chi kvadrato testaiSunkus
dfα = 0,05α = 0,0113,8416,63525,9919,21037,81511,34549,48813,277511,07015,086612,59216,812714,06718,475815,50720,090916,91921,6661018,30723,209

Chi kvadrato suderinamumo testas tikrina, ar dažniai 7 kategorijose atitinka Puasono skirstinį, kurio vidurkis įvertintas iš tų pačių duomenų. Naudodami lentelę, raskite kritinę reikšmę χ²crit, kai reikšmingumo lygmuo α = 0,05.

α = 0,05
χ²crit =

3Tirpalai

1.Psichologijos tyrimų metodai

Atsakymas: B · Atmeta nulinę hipotezę, kuri iš tikrųjų teisinga

Kodėl tai yra atsakymas

I rūšies klaida skelbia poveikį, kurio nėra. Jos tikimybė lygi reikšmingumo lygmeniui (dažnai 0,05). II rūšies klaida praleidžia tikrą poveikį.

Atsakymas

B · Atmeta nulinę hipotezę, kuri iš tikrųjų teisinga
2.Psichologijos tyrimų metodai

Atsakymas: C · 0,01

Kodėl tai yra atsakymas

Bonferroni pataisa α dalija iš palyginimų skaičiaus: 0,05 / 5 = 0,01. Ji paprasta, bet konservatyvi, todėl didina II tipo klaidų riziką.

Atsakymas

C · 0,01
3.Aprašomoji statistika

Atsakymas: s = 17,57

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Vidurkis

x̄ = 163/6 = 27,17

Nuokrypių kvadratai

Σ(x − x̄)² = (−14,17)² + 17,83² + 25,83² + (−13,17)² + (−13,17)² + (−3,167)² = 1543

Standartinis nuokrypis

s = √(1543/5) = 17,57

Atsakymas

s = 17,57
4.Aprašomoji statistika

Atsakymas: P = 0,1056

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Standartizuokite

z = 1,25

Standartinio normaliojo skirstinio lentelė

Φ(1,25) = 0,8944
P = 1 − 0,8944 = 0,1056

Atsakymas

P = 0,1056
5.Tikimybė

Atsakymas: σ = 1,96

Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.

Vidurkis

μ = 0·0,3 + 2·0,3 + 4·0,3 + 6·0,1 = 2,4

Kvadratų vidurkis

E(X²) = 0·0,3 + 4·0,3 + 16·0,3 + 36·0,1 = 9,6

Dispersija

Var(X) = 9,6 − 2,4² = 3,84
σ = √3,84 = 1,96

Atsakymas

σ = 1,96
6.Tikimybė

Atsakymas: σY = 7,068

Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.

X sklaida

μ = 2,5, Var(X) = 5,55, σX = 2,356

Tiesinis pokytis

σY = |3|·2,356 = 7,068

Atsakymas

σY = 7,068

Vidurkis pasislenka: E(Y) = 3·2,5 + 1 = 8,5.

7.Normalusis skirstinys

Atsakymas: z = 2,26

Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.

Plotas kairėje nuo z

Φ(z) = (1 + 0,9762)/2 = 0,9881

Skaitykite z lentelę atvirkščiai

Lentelėje suraskite 0,9881 ir nuskaitykite z.

z = 2,26

Atsakymas

z = 2,26
8.Normalusis skirstinys

Atsakymas: x = 490 h

Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.

Plotas kairėje

Φ(z) = 0,4

z iš lentelės

z ≈ −0,25

Atgal į pradinius vienetus

x = 500 − 0,25·40 = 490 h

Atsakymas

x = 490 h
9.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: viršutinis rėžis = 77,15

Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.

Kritinė reikšmė

df = n − 1 = 11, t = 1,796

Paklaidos riba

E = 1,796·8/√12 = 4,148

Intervalas

73 ± 4,148 → [68,85, 77,15]

Atsakymas

viršutinis rėžis = 77,15
10.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: n = 3692

Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.

Išreikškite n

n = (1,96·31/1)² = 3692

Apvalinkite aukštyn

Imties dydis yra sveikasis skaičius, o apvalinant žemyn paklaidos riba būtų per didelė.

n = 3692

Atsakymas

n = 3692
11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: p = 0,4009

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Testo statistika

SE = σ/√n = 10/√100 = 1
z = (49,16 − 50)/1 = −0,84

Uodegos plotas

Φ(0,84) = 0,7995
1 − Φ(0,84) = 0,2005

p reikšmė

p = 2·0,2005 = 0,4009

Atsakymas

p = 0,4009

p > 0,05, todėl H₀ neatmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu.

12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: n = 28

Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).

Išreikškite n

n = (1,96·4/1,5)² = 27,32

Apvalinkite aukštyn

n = 28

Atsakymas

n = 28
13.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: r = 0,9955

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Vidurkiai

x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 134/6 = 22,33

Kvadratų ir sandaugų sumos

Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 228
Syy = Σ(y − ȳ)² = 749,3

Koreliacijos koeficientas

r = 228/√(70·749,3) = 0,9955

Atsakymas

r = 0,9955
14.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: x = 5,54

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Vidurkiai

x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 277/6 = 46,17

Kvadratų ir sandaugų sumos

Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 101,5

Regresijos tiesė

b = 101,5/17,5 = 5,8
a = 46,17 − 5,8·3,5 = 25,87
ŷ = 25,87 + 5,8·x

Išspręskite x atžvilgiu

x = (58 − 25,87)/5,8 = 5,54

Atsakymas

x = 5,54
15.Chi kvadrato testai

Atsakymas: χ² = 5,818

Chi kvadrato testai: stebėtus dažnius O palyginkite su pagal H₀ tikėtinais dažniais E naudodami χ² = Σ(O − E)²/E. Suderinamumo kriterijus: kiekvienai kategorijai E = n·p, df = k − 1 (ir dar minus vienas už kiekvieną iš duomenų įvertintą parametrą). Nepriklausomumas r × c lentelėje: E = eilutės suma × stulpelio suma / bendra suma, df = (r − 1)(c − 1). H₀ atmeskite, kai χ² viršija pasirinktą α atitinkančią kritinę reikšmę.

Tikėtini dažniai

rūkantieji: 80·99/180 = 44, 80·81/180 = 36
nerūkantieji: 100·99/180 = 55, 100·81/180 = 45

Chi kvadrato statistika

χ² = (36 − 44)²/44 + (44 − 36)²/36 + (63 − 55)²/55 + (37 − 45)²/45
χ² = 5,818

Atsakymas

χ² = 5,818

df = 1. Kai α = 0,05, kritinė reikšmė yra 3,841, todėl H₀ (nepriklausomumas) atmetama.

16.Chi kvadrato testai

Atsakymas: χ²crit = 11,07

Chi kvadrato testai: stebėtus dažnius O palyginkite su pagal H₀ tikėtinais dažniais E naudodami χ² = Σ(O − E)²/E. Suderinamumo kriterijus: kiekvienai kategorijai E = n·p, df = k − 1 (ir dar minus vienas už kiekvieną iš duomenų įvertintą parametrą). Nepriklausomumas r × c lentelėje: E = eilutės suma × stulpelio suma / bendra suma, df = (r − 1)(c − 1). H₀ atmeskite, kai χ² viršija pasirinktą α atitinkančią kritinę reikšmę.

Laisvės laipsniai

df = 7 − 1 − 1 = 5

Lentelė

χ²crit(df = 5, α = 0,05) = 11,070

Atsakymas

χ²crit = 11,070

H₀ atmeskite, jei apskaičiuotas χ² didesnis už šią reikšmę.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology