Psichologijos tyrimų metodai ir statistika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 16 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Aprašomoji statistika

Vidurkis: x̄ = Σx/n
Imties standartinis nuokrypis: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
z įvertis: z = (x − μ)/σ
Normalusis skirstinys: 68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ

Tikimybė

Priešingas įvykis: P(not A) = 1 − P(A)
Sudėties taisyklė: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Nepriklausomi įvykiai: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Sąlyginė tikimybė: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binominis skirstinys: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normalusis skirstinys

z įvertis: z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x: P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Procentilis: x = μ + z·σ

Metodas

Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

Pasikliautinieji intervalai

σ žinomas: x̄ ± z·σ/√n
σ nežinomas: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritinė z reikšmė: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Imties dydis: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodas

Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
Intervalas: x̄ ± E.

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

z testas vidurkiui: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t testas vidurkiui: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo: atmeskite H₀, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas: x̄ ± z·σ/√n

Metodas

Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.

Tiesinė regresija ir koreliacija

Kvadratų sumos: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Krypties koeficientas: b = S_xy/S_xx
Laisvasis narys: a = ȳ − b·x̄
Koreliacija: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Liekana: e = y − ŷ

Chi kvadrato testai

Testo statistika: χ² = Σ(O − E)²/E
Suderinamumo kriterijus: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Nepriklausomumas: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Kritinės reikšmės (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Sprendimas: atmeskite H₀, jei χ² > χ²_crit

2Uždaviniai

1.Psichologijos tyrimų metodaiVidutinis

Turinio analizėje vertintojų sutarimo patikimumas tikrinamas:

APo tyrimo dalyvių klausiama, ar tyrėjo atliktas jų medžiagos kodavimas teisingas
BMedžiaga koduojama du kartus per dieną
CTą pačią medžiagą koduoja du tyrėjai ir lyginami rezultatai
DNaudojama didesnė medžiagos imtis

2.Psichologijos tyrimų metodaiSunkus

Grindžiamosios teorijos (grounded theory) metodu duomenys renkami tol, kol:

AGaunama p reikšmė, mažesnė nei 0,05
BApklausta bent 1,000 dalyvių
CPasiekiamas teorinis prisotinimas ir nauji duomenys nebeprideda naujų kategorijų
DPatvirtinama pradinė hipotezė

3.Aprašomoji statistikaVidutinis

Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 54, 39, 27, 57, 28.

n = 5

s =

4.Aprašomoji statistikaSunkus

Dydis pasiskirstęs normaliai, vidurkis 70, standartinis nuokrypis 5. Kokia reikšmių dalis P yra mažesnė už 75?

μ = 70σ = 5x = 75

P =

5.TikimybėVidutinis

Keliais būdais N iš 11 žmonių grupės galima išrinkti 3 žmonių komisiją? Tvarka nesvarbi.

n = 11k = 3

N =

6.TikimybėSunkus

Tikrinami 10 komponentai, kiekvienas sugenda nepriklausomai su tikimybe 0,7. Kokia tikimybė P, kad suges daugiausia vienas?

n = 10p = 0,7

P =

7.Normalusis skirstinysVidutinis

cemento maišai masės yra nepriklausomos ir normaliosios, jų vidurkis 25 kg, standartinis nuokrypis 0,5 kg. Raskite tikimybę P, kad 4 iš jų bendra masė viršija 100,5 kg. Suapvalinkite z iki dviejų skaitmenų po kablelio.

μ = 25 kgσ = 0,5 kgn = 4> 100,5 kg

P =

8.Normalusis skirstinysSunkus

Tarkime, kad IQ testų rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 100 tšk., standartinis nuokrypis 15 tšk.. Raskite reikšmę x, už kurią mažesnės yra 99 % reikšmių (99-asis procentilis).

μ = 100σ = 15P = 99%

x = tšk.

9.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis

12 elementų imties vidurkis – 94,5, standartinis nuokrypis s = 2,5. Populiacija pasiskirsčiusi apytiksliai normaliai. Raskite vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo apatinį rėžį.

n = 12x̄ = 94,5s = 2,595%t(11) = 2,201

apatinis rėžis =

10.Pasikliautinieji intervalaiSunkus

Populiacijos standartinis nuokrypis – 10. Kokio dydžio imties n reikia, kad vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 1,5?

σ = 10E = 1,595%

n =

11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis

81 studentų imties vidutinis rezultatas – 494,8, imties standartinis nuokrypis – 15. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ = 500.

μ₀ = 500x̄ = 494,8s = 15n = 81

t =

12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus

36 matavimų imties vidurkis – 201,2. Populiacijos standartinis nuokrypis – 8. Raskite vidurkio 99 % pasikliautinojo intervalo viršutinį rėžį U.

x̄ = 201,2σ = 8n = 3699%

U =

13.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = temperatūra °C ir y = parduoti ledai. Pateiktos jų sumos. Pagal šias sumas raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.

n = 6Σx = 138Σy = 592Σx² = 3244Σy² = 59672Σxy = 13908

r =

14.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus

Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = apkrova kN ir y = pailgėjimas mm. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Gautas naujas stebėjimas (5, 19). Raskite jo liekaną e = y − ŷ.

n = 5(5, 19)

e =

15.Chi kvadrato testaiVidutinis

Kryžminėje lentelėje pateikti stebėti dažniai. Chi kvadrato nepriklausomumo testui raskite langelio „miesto, žemas“ tikėtiną dažnį E.

eilutės suma = 94stulpelio suma = 39N = 139

E =

16.Chi kvadrato testaiSunkus

Lentelėje pateikti stebėti dažniai. Esant α = 0,01 patikrinkite, ar abu kintamieji nepriklausomi (be tolydumo pataisos). Apskaičiuokite testo statistiką χ², tada palyginkite ją su kritine reikšme iš lentelės.

N = 2203 × 2α = 0,01

χ² =

3Tirpalai

1.Psichologijos tyrimų metodai

Atsakymas: C · Tą pačią medžiagą koduoja du tyrėjai ir lyginami rezultatai

Kodėl tai yra atsakymas

Jei nepriklausomi koduotojai tiems patiems duomenims priskiria panašius kodus (didelis sutarimas ar koreliacija), kodavimo schema yra patikima.

Atsakymas

C · Tą pačią medžiagą koduoja du tyrėjai ir lyginami rezultatai

2.Psichologijos tyrimų metodai

Atsakymas: C · Pasiekiamas teorinis prisotinimas ir nauji duomenys nebeprideda naujų kategorijų

Kodėl tai yra atsakymas

Grindžiamoji teorija kuria teoriją induktyviai, kartu renkant ir koduojant duomenis, ir atranka nutraukiama, kai nauji duomenys nebeplėtoja kategorijų.

Atsakymas

C · Pasiekiamas teorinis prisotinimas ir nauji duomenys nebeprideda naujų kategorijų

3.Aprašomoji statistika

Atsakymas: s = 14,09

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Vidurkis

x̄ = 205/5 = 41

Nuokrypių kvadratai

Σ(x − x̄)² = 13² + (−2)² + (−14)² + 16² + (−13)² = 794

Standartinis nuokrypis

s = √(794/4) = 14,09

Atsakymas

s = 14,09

4.Aprašomoji statistika

Atsakymas: P = 0,8413

Standartizuokite

z = 1

Standartinio normaliojo skirstinio lentelė

Φ(1) = 0,8413

P = 0,8413

Atsakymas

P = 0,8413

5.Tikimybė

Atsakymas: N = 165

Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Deriniai

C(11, 3) = (11·10·9)/(3·2·1) = 165

Atsakymas

N = 165

6.Tikimybė

Atsakymas: P = 0,0001437

Nulis ir vienas gedimas

P(X = 0) = 0,3¹⁰ = 5,905 × 10⁻⁶

P(X = 1) = 10·0,7·0,3⁹ = 0,0001378

Sudėkite

P = 5,905 × 10⁻⁶ + 0,0001378 = 0,0001437

Atsakymas

P = 0,0001437

7.Normalusis skirstinys

Atsakymas: P = 0,3085

Normaliųjų dydžių sumos ir skirtumai: jei X ir Y yra nepriklausomi ir normalieji, tai X + Y ir X − Y taip pat normalieji. Vidurkiai sudedami arba atimami: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Dispersijos visada sudedamos, net ir skirtumui: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², todėl σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standartiniai nuokrypiai tiesiogiai niekada nesudedami. n nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių elementų sumos vidurkis yra n·μ, o standartinis nuokrypis σ·√n. Tada standartizuokite kaip įprasta: z = (x − vidurkis)/σ ir raskite Φ(z).

Sumos skirstinys

μ_T = 100 kg, σ_T = 0,5·√4 = 1 kg

Standartizuokite

z = (100,5 − 100)/1 = 0,5

Tikimybė

P = 1 − Φ(0,5) = 0,3085

Atsakymas

P = 0,3085

8.Normalusis skirstinys

Atsakymas: x = 134,9 tšk.

Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.

Procentilio z

Φ(z) = 0,99 → z = 2,326

Atgal į x

x = 100 + 2,326·15 = 134,89 tšk.

Atsakymas

x = 134,89 tšk.

9.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: apatinis rėžis = 92,91

Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.

Kritinė reikšmė

df = n − 1 = 11, t = 2,201

Paklaidos riba

E = 2,201·2,5/√12 = 1,588

Intervalas

94,5 ± 1,588 → [92,91, 96,09]

Atsakymas

apatinis rėžis = 92,91

10.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: n = 171

Išreikškite n

n = (1,96·10/1,5)² = 170,7

Apvalinkite aukštyn

Imties dydis yra sveikasis skaičius, o apvalinant žemyn paklaidos riba būtų per didelė.

n = 171

Atsakymas

n = 171

11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: t = −3,12

Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).

Standartinė paklaida

SE = 15/√81 = 15/9 = 1,667

Testo statistika

t = (494,8 − 500)/1,667 = −3,12

Atsakymas

t = −3,12

t_{0,025; df = 80} = 1,99

|t| > 1,99, todėl H₀ atmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).

12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: U = 204,6

Paklaidos riba

E = 2,576·8/√36 = 3,435

Intervalo rėžis

U = 201,2 + 3,435 = 204,6

Atsakymas

U = 204,6

13.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: r = 0,9827

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Centruotos sumos

S_xy = 13908 − 138·592/6 = 292

S_xx = 3244 − 138²/6 = 70

S_yy = 59672 − 592²/6 = 1261

Koreliacijos koeficientas

r = 292/√(70·1261) = 0,9827

Atsakymas

r = 0,9827

14.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: e = 3,9

Vidurkiai

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 87/5 = 17,4

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 92

Regresijos tiesė

b = 92/40 = 2,3

a = 17,4 − 2,3·6 = 3,6

ŷ = 3,6 + 2,3·x

Prognozuojama reikšmė

ŷ = 3,6 + 2,3·5 = 15,1

Liekana

e = 19 − 15,1 = 3,9

Atsakymas

e = 3,9

Taškas yra virš tiesės.

15.Chi kvadrato testai

Atsakymas: E = 26,37

Chi kvadrato testai: stebėtus dažnius O palyginkite su pagal H₀ tikėtinais dažniais E naudodami χ² = Σ(O − E)²/E. Suderinamumo kriterijus: kiekvienai kategorijai E = n·p, df = k − 1 (ir dar minus vienas už kiekvieną iš duomenų įvertintą parametrą). Nepriklausomumas r × c lentelėje: E = eilutės suma × stulpelio suma / bendra suma, df = (r − 1)(c − 1). H₀ atmeskite, kai χ² viršija pasirinktą α atitinkančią kritinę reikšmę.

Tikėtinas dažnis

E = 94·39/139 = 26,37

Atsakymas

E = 26,37

16.Chi kvadrato testai

Atsakymas: χ² = 0,4167

Tikėtini dažniai

amžius 18–30: 48, 32

amžius 31–50: 36, 24

amžius 51+: 48, 32

Chi kvadrato statistika

χ² = (50 − 48)²/48 + (30 − 32)²/32 + (36 − 36)²/36 + (24 − 24)²/24 + (46 − 48)²/48 + (34 − 32)²/32

χ² = 0,4167

Sprendimas

df = 2, χ²_crit = 9,210

0,4167 < 9,210

Atsakymas

χ² = 0,4167

χ² mažesnis už kritinę reikšmę, todėl H₀ neatmetama: reikšmingų ryšio įrodymų nėra.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology