Aprašomoji statistika
- Vidurkis
- x̄ = Σx/n
- Imties standartinis nuokrypis
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Mediana
- vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
- z įvertis
- z = (x − μ)/σ
- Normalusis skirstinys
- 68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ
Psichologijos tyrimų metodai ir statistika: pasiruošimo paketas
Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 16 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.
1Formulės ir metodai
Tikimybė
- Priešingas įvykis
- P(not A) = 1 − P(A)
- Sudėties taisyklė
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Nepriklausomi įvykiai
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Sąlyginė tikimybė
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binominis skirstinys
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Normalusis skirstinys
- z įvertis
- z = (x − μ)/σ
- Mažiau nei x
- P(X < x) = Φ(z)
- Daugiau nei x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Tarp
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Procentilis
- x = μ + z·σ
Metodas
- Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
- Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
- Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
- Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.
Pasikliautinieji intervalai
- σ žinomas
- x̄ ± z·σ/√n
- σ nežinomas
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Kritinė z reikšmė
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Imties dydis
- n = (z·σ/E)², rounded up
Metodas
- Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
- Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
- Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
- Intervalas: x̄ ± E.
Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
- z testas vidurkiui
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- t testas vidurkiui
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo
- atmeskite H0, jei |z| > 1,96
- Pasikliautinasis intervalas
- x̄ ± z·σ/√n
Metodas
- Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
- Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
- Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
- H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.
Tiesinė regresija ir koreliacija
- Kvadratų sumos
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Krypties koeficientas
- b = Sxy/Sxx
- Laisvasis narys
- a = ȳ − b·x̄
- Koreliacija
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Liekana
- e = y − ŷ
Chi kvadrato testai
- Testo statistika
- χ² = Σ(O − E)²/E
- Suderinamumo kriterijus
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- Nepriklausomumas
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- Kritinės reikšmės (α = 0,05)
- df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
- Sprendimas
- atmeskite H0, jei χ² > χ²crit
2Uždaviniai
1.Psichologijos tyrimų metodaiVidutinis
Ekologinis validumas reiškia:
- AKiek testas nuoseklus laikui bėgant
- BAr testas atrodo matuojantis tai, kas reikia
- CAr testas prognozuoja būsimą elgesį
- DKiek rezultatus galima apibendrinti realaus gyvenimo situacijoms
2.Psichologijos tyrimų metodaiSunkus
Tyrėjas nori patikrinti, ar naujas mokymo metodas lemia geresnius pažymius, bet negali atsitiktinai paskirstyti studentų. Kuris planas šioje situacijoje duoda stipriausius priežastingumo įrodymus?
- ASuporuotų klasių palyginimas, matuojant prieš ir po, su palyginamąja grupe
- BPažymių koreliavimas su tuo, kiek studentams patinka dėstytojas
- CStudentų klausimas, ar jie mano, kad metodas veikė
- DTik naująjį metodą naudojančios klasės matavimas po mokymo
3.Aprašomoji statistikaVidutinis
Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 51, 38, 45, 56, 10.
n = 5
s =
4.Aprašomoji statistikaSunkus
Dydis pasiskirstęs normaliai, vidurkis 170, standartinis nuokrypis 5. Kokia reikšmių dalis P yra mažesnė už 180?
μ = 170σ = 5x = 180
P =
5.TikimybėVidutinis
Keliais būdais N iš 9 žmonių grupės galima išrinkti 4 žmonių komisiją? Tvarka nesvarbi.
n = 9k = 4
N =
6.TikimybėSunkus
Žaidimo kaina yra €5. Laimite €10 su tikimybe 0,2 ir €50 su tikimybe 0,02; kitu atveju nelaimite nieko. Statymas negrąžinamas. Raskite laukiamą grynąjį laimėjimą E(G) per žaidimą.
statymas = €5€10: p = 0,2€50: p = 0,02
E(G) = €
7.Normalusis skirstinysVidutinis
Tarkime, kad baterijų veikimo trukmės pasiskirstę normaliai, vidurkis 500 h, standartinis nuokrypis 40 h. Kokia dalis reikšmių yra tarp 482 ir 580 h? P pateikite dešimtaine trupmena.
μ = 500σ = 40x1 = 482x2 = 580
P =
8.Normalusis skirstinysSunkus
Vyrų ūgis X ir moterų ūgis Y grupėje yra nepriklausomi ir normalieji: X vidurkis 180 cm ir standartinis nuokrypis 10 cm, Y vidurkis 170 cm ir standartinis nuokrypis 12 cm. Raskite tikimybę P, kad X yra didesnis už Y. Suapvalinkite z iki dviejų skaitmenų po kablelio.
μX = 180 cm, σX = 10 cmμY = 170 cm, σY = 12 cm
P =
9.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis
20 elementų imties vidurkis – 80,5, standartinis nuokrypis s = 14. Populiacija pasiskirsčiusi apytiksliai normaliai. Raskite vidurkio 90 % pasikliautinojo intervalo paklaidos ribą E.
n = 20x̄ = 80,5s = 1490%t(19) = 1,729
E =
10.Pasikliautinieji intervalaiSunkus
Populiacijos standartinis nuokrypis – 32. Kokio dydžio imties n reikia, kad vidurkio 99 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 0,5?
σ = 32E = 0,599%
n =
11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
25 studentų imties vidutinis rezultatas – 209,6, imties standartinis nuokrypis – 20. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ = 200.
μ₀ = 200x̄ = 209,6s = 20n = 25
t =
12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
Vienpusis z testas, kai α = 0,01, turi aptikti 1,5 vienetų vidurkio poslinkį su 95 % galia. Standartinis nuokrypis 6. Raskite mažiausią imties dydį n.
α = 0,01galia = 95%δ = 1,5σ = 6zα = 2,326zβ = 1,645
n =
13.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis
Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = reklamos išlaidos k€ ir y = pardavimai k€. Pateiktos jų sumos. Pagal šias sumas raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.
n = 6Σx = 48Σy = 514Σx² = 454Σy² = 46692Σxy = 4542
r =
14.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus
Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = mokymosi valandos ir y = egzamino rezultatas. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Prognozuokite ŷ, kai x = 5,5.
n = 6x = 5,5
ŷ =
15.Chi kvadrato testaiVidutinis
Kryžminėje lentelėje pateikti stebėti dažniai. Chi kvadrato nepriklausomumo testui raskite langelio „darbuotojai, automobilis“ tikėtiną dažnį E.
eilutės suma = 43stulpelio suma = 52N = 144
E =
16.Chi kvadrato testaiSunkus
Chi kvadrato suderinamumo testas tikrina, ar dažniai 9 kategorijose atitinka Puasono skirstinį, kurio vidurkis įvertintas iš tų pačių duomenų. Naudodami lentelę, raskite kritinę reikšmę χ²crit, kai reikšmingumo lygmuo α = 0,01.
α = 0,01
χ²crit =
3Tirpalai
1.Psichologijos tyrimų metodai
Atsakymas: D · Kiek rezultatus galima apibendrinti realaus gyvenimo situacijoms
Kodėl tai yra atsakymas
Ekologinis validumas susijęs su tuo, ar rezultatai tinka kasdienėms situacijoms. Griežtai kontroliuojami laboratoriniai tyrimai šiuo požiūriu dažnai vertinami prastai.
Atsakymas
D · Kiek rezultatus galima apibendrinti realaus gyvenimo situacijoms
2.Psichologijos tyrimų metodai
Atsakymas: A · Suporuotų klasių palyginimas, matuojant prieš ir po, su palyginamąja grupe
Kodėl tai yra atsakymas
Neekvivalentinių grupių planas su pirminiu ir galutiniu matavimu kontroliuoja pradinius skirtumus ir pokyčius laikui bėgant, nors jis silpnesnis už atsitiktinių imčių eksperimentą.
Atsakymas
A · Suporuotų klasių palyginimas, matuojant prieš ir po, su palyginamąja grupe
3.Aprašomoji statistika
Atsakymas: s = 18,07
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Vidurkis
x̄ = 200/5 = 40
Nuokrypių kvadratai
Σ(x − x̄)² = 11² + (−2)² + 5² + 16² + (−30)² = 1306
Standartinis nuokrypis
s = √(1306/4) = 18,07
Atsakymas
s = 18,07
4.Aprašomoji statistika
Atsakymas: P = 0,9772
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Standartizuokite
z = 2
Standartinio normaliojo skirstinio lentelė
Φ(2) = 0,9772
P = 0,9772
Atsakymas
P = 0,9772
5.Tikimybė
Atsakymas: N = 126
Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Deriniai
C(9, 4) = (9·8·7·6)/(4·3·2·1) = 126
Atsakymas
N = 126
6.Tikimybė
Atsakymas: E(G) = −2 €
Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.
Grynosios baigtys
G: 5 (p = 0,2), 45 (p = 0,02), −5 (p = 0,78)
Laukiamoji vertė
E(G) = 5·0,2 + 45·0,02 − 5·0,78 = −2 €
Atsakymas
E(G) = −2 €
Neigiama vertė reiškia, kad vidutiniškai prarandate pinigus.
7.Normalusis skirstinys
Atsakymas: P = 0,6509
Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.
z įverčiai
z₁ = (482 − 500)/40 = −0,45
z₂ = (580 − 500)/40 = 2
Plotas tarp
P = Φ(2) − Φ(−0,45) = 0,9772 − 0,3264 = 0,6509
Atsakymas
P = 0,6509
8.Normalusis skirstinys
Atsakymas: P = 0,7389
Normaliųjų dydžių sumos ir skirtumai: jei X ir Y yra nepriklausomi ir normalieji, tai X + Y ir X − Y taip pat normalieji. Vidurkiai sudedami arba atimami: E(X ± Y) = μX ± μY. Dispersijos visada sudedamos, net ir skirtumui: Var(X ± Y) = σX² + σY², todėl σ = √(σX² + σY²). Standartiniai nuokrypiai tiesiogiai niekada nesudedami. n nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių elementų sumos vidurkis yra n·μ, o standartinis nuokrypis σ·√n. Tada standartizuokite kaip įprasta: z = (x − vidurkis)/σ ir raskite Φ(z).
Skirtumo skirstinys
μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15,62 cm
Standartizuokite
z = (0 − 10)/15,62 = −0,64
Tikimybė
P = 1 − Φ(−0,64) = 0,7389
Atsakymas
P = 0,7389
9.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: E = 5,413
Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.
Kritinė reikšmė
df = n − 1 = 19, t = 1,729
Paklaidos riba
E = 1,729·14/√20 = 5,413
Atsakymas
E = 5,413
10.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: n = 27181
Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.
Išreikškite n
n = (2,576·32/0,5)² = 27180
Apvalinkite aukštyn
Imties dydis yra sveikasis skaičius, o apvalinant žemyn paklaidos riba būtų per didelė.
n = 27181
Atsakymas
n = 27181
11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: t = 2,4
Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).
Standartinė paklaida
SE = 20/√25 = 20/5 = 4
Testo statistika
t = (209,6 − 200)/4 = 2,4
Atsakymas
t = 2,4
t0,025; df = 24 = 2,064
|t| > 2,064, todėl H₀ atmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).
12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: n = 253
Imties dydis testui: kad vienpusis z testas α lygmeniu aptiktų tikrąjį poslinkį δ su galia 1 − β, standartinė paklaida turi tenkinti δ = (z_α + z_β)·σ/√n, todėl n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², suapvalinta į didesnę pusę.
Išreikškite n
n = ((2,326 + 1,645)·6/1,5)² = 252,3
Apvalinkite aukštyn
n = 253
Atsakymas
n = 253
13.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: r = 0,9966
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Centruotos sumos
Sxy = 4542 − 48·514/6 = 430
Sxx = 454 − 48²/6 = 70
Syy = 46692 − 514²/6 = 2659
Koreliacijos koeficientas
r = 430/√(70·2659) = 0,9966
Atsakymas
r = 0,9966
14.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: ŷ = 66,14
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 27/6 = 4,5
ȳ = 373/6 = 62,17
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 69,5
Regresijos tiesė
b = 69,5/17,5 = 3,971
a = 62,17 − 3,971·4,5 = 44,3
ŷ = 44,3 + 3,971·x
Prognozė
ŷ = 44,3 + 3,971·5,5 = 66,14
Atsakymas
ŷ = 66,14
15.Chi kvadrato testai
Atsakymas: E = 15,53
Chi kvadrato testai: stebėtus dažnius O palyginkite su pagal H₀ tikėtinais dažniais E naudodami χ² = Σ(O − E)²/E. Suderinamumo kriterijus: kiekvienai kategorijai E = n·p, df = k − 1 (ir dar minus vienas už kiekvieną iš duomenų įvertintą parametrą). Nepriklausomumas r × c lentelėje: E = eilutės suma × stulpelio suma / bendra suma, df = (r − 1)(c − 1). H₀ atmeskite, kai χ² viršija pasirinktą α atitinkančią kritinę reikšmę.
Tikėtinas dažnis
E = 43·52/144 = 15,53
Atsakymas
E = 15,53
16.Chi kvadrato testai
Atsakymas: χ²crit = 18,48
Chi kvadrato testai: stebėtus dažnius O palyginkite su pagal H₀ tikėtinais dažniais E naudodami χ² = Σ(O − E)²/E. Suderinamumo kriterijus: kiekvienai kategorijai E = n·p, df = k − 1 (ir dar minus vienas už kiekvieną iš duomenų įvertintą parametrą). Nepriklausomumas r × c lentelėje: E = eilutės suma × stulpelio suma / bendra suma, df = (r − 1)(c − 1). H₀ atmeskite, kai χ² viršija pasirinktą α atitinkančią kritinę reikšmę.
Laisvės laipsniai
df = 9 − 1 − 1 = 7
Lentelė
χ²crit(df = 7, α = 0,01) = 18,475
Atsakymas
χ²crit = 18,475
H₀ atmeskite, jei apskaičiuotas χ² didesnis už šią reikšmę.
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology