Statika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandauga

Modulis: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Vienetinis vektorius: û = a/|a|
Komponentės pagal kampą: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Skaliarinė sandauga: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a skaliarinė projekcija į b: a·b/|b|
Darbas: W = F·d
Vektorinė sandauga: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Plotai: lygiagretainis |a × b|, trikampis ½|a × b|
Momentas taško O atžvilgiu: M_O = r × F, r = A − O
Gretasienio tūris: V = |a·(b × c)|

Metodas

Kiekvieną vektorių užrašykite komponentėmis; jėgai, pateiktai moduliu ir kampu, naudokite F·cos θ ir F·sin θ.
Ilgiams ir kryptims naudokite modulį √(x² + y² + z²) ir vienetinį vektorių a/|a|.
Skaliarinę sandaugą naudokite kampams, projekcijoms, statmenumui ir darbui: a·b = |a||b|cos θ.
Vektorinę sandaugą naudokite statmeniems vektoriams, plotams ir momentams: atidžiai užrašykite tris komponentes, išlaikydami tvarką a × b.

Sijų atramų reakcijos

Pusiausvyra: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Tolygi apkrova: atstojamoji w·L apkrovos viduryje
Momentas: M = F·d

Metodas

Nubraižykite laisvojo kūno diagramą ir kiekvieną atramą pakeiskite jos reakcijomis.
Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite viena jėga, veikiančia jos svorio centre.
Momentų lygtį užrašykite vienos atramos atžvilgiu ir raskite kitos atramos reakciją.
Likusiai reakcijai rasti naudokite ΣF_y = 0 ir patikrinkite antrąja momentų lygtimi.

Santvara: mazgų metodas

Mazgų metodas: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Pjūvių metodas: ΣM = 0 about a cut point
Strypo jėga: teigiama = tempimas, neigiama = gniuždymas

Metodas

Raskite visos santvaros atramų reakcijas.
Mazgų metodas: pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos, ir naudokite ΣF_x = 0 ir ΣF_y = 0.
Pjūvių metodas: perpjaukite per reikiamą strypą ir užrašykite momentų lygtį taško, kuriame susikerta kiti nežinomi strypai, atžvilgiu.
Tarkite, kad strypas tempiamas; neigiamas atsakymas reiškia gniuždymą.

Rėmai ir mechanizmai

Kiekvieno strypo pusiausvyra: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Dviejų jėgų strypas: jėga veikia tiese, einančia per jo du šarnyrus
Šarnyro jėga: vienodo didumo ir priešingos jėgos dviem sujungiamiems strypams
Šarnyro jėgos modulis: F = √(F_x² + F_y²)
Svertas, replės, kampinis svertas: F_in·a = F_out·b
Alkūninis mechanizmas: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Tolygi apkrova: atstojamoji w·L apkrovos viduryje

Metodas

Nubraižykite visą konstrukciją ir raskite atramų reakcijas, jei nežinomųjų ne daugiau kaip trys.
Raskite dviejų jėgų strypus: apkrauti tik dviejuose šarnyruose, jų jėga veikia tiese tarp tų šarnyrų.
Išardykite rėmą ir nubraižykite kiekvieną strypą atskirai; kur strypai susijungia, šarnyrų jėgos vienodo didumo ir priešingos krypties.
Kiekvienam strypui imkite momentus šarnyro, kuriame veikia nežinomos jėgos, atžvilgiu, tada naudokite ΣF_x = 0 ir ΣF_y = 0; komponentes į modulį sujunkite pačioje pabaigoje.

Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Skersinė jėga ir momentas: V = ΣF vienoje pusėje, M = ΣF·d vienoje pusėje
Lenkimo įtempis: σ = M·y/I
Stačiakampis: I = bh³/12
Atsparumo momentas: W = I/y_max
Laisvai atremta, tolygi apkrova: M_max = wL²/8

Metodas

Atramų reakcijas raskite iš visos sijos pusiausvyros.
Perpjaukite siją reikiamame pjūvyje ir palikite vieną pusę.
Skersinė jėga: tos pusės vertikaliųjų jėgų suma. Lenkimo momentas: jų momentų pjūvio atžvilgiu suma.
Didžiausiam momentui rasti nustatykite, kur skersinė jėga lygi nuliui.

Svorio centras ir inercijos momentas

Svorio centras: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Stačiakampis: I = bh³/12
Šteinerio teorema: I = I_c + A·d²
Sudėtinis skerspjūvis: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Uždaviniai

1.Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandaugaVidutinis

Raskite k reikšmę, su kuria vektoriai a = (2, −4, 1) ir b = (−5, k, −6) yra statmeni.

a = (2, −4, 1)b = (−5, k, −6)

k =

2.Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandaugaSunkus

Jėga F = (50, 10, 0) N veikia taške A(−2, 0, −4). Koordinatės pateiktos metrais. Raskite jėgos momento taško taškas O(0, 3, −2) atžvilgiu z komponentę M_z.

F = (50, 10, 0) NA(−2, 0, −4) mO(0, 3, −2) m

M_z = N·m

3.Sijų atramų reakcijosVidutinis

Laisvai atremta sija turi šarnyrinę atramą A ir ritininę atramą B. Ją veikia sutelktoji jėga P, esanti 2 m atstumu nuo A, ir jėgų pora M (prieš laikrodžio rodyklę), esanti 2,5 m atstumu nuo A. Raskite vertikaliąją reakciją R_A, teigiama kryptimi laikydami kryptį aukštyn.

L = 4 mP = 10 kN ties 2 mM = 50 kN·m (prieš laikrodžio rodyklę) ties 2,5 m

R_A = kN

4.Sijų atramų reakcijosSunkus

Gembinė sija taške A įtvirtinta sienoje. Ją veikia tiesiškai kintanti apkrova, kuri ties siena lygi nuliui ir didėja iki 6 kN/m laisvajame gale B, bei sutelktoji jėga P, esanti 6 m atstumu nuo sienos. Raskite reakcijos momento sienoje didumą M_A.

L = 10 mw₀ = 6 kN/mP = 70 kN ties 6 m

M_A = kN·m

5.Santvara: mazgų metodasVidutinis

Mazgų metodu raskite jėgą F_AC strype AC. Tempimą nurodykite teigiamu, gniuždymą – neigiamu.

tarpatramis = 6 maukštis = 3 mB yra 4 m nuo Avertikalioji apkrova = 60 kN

F_AC = kN

6.Santvara: mazgų metodasSunkus

Mazgų metodu raskite jėgą F_BC strype BC. Tempimą nurodykite teigiamu, gniuždymą – neigiamu.

tarpatramis = 4 maukštis = 3 mB yra 1 m nuo Avertikalioji apkrova = 55 kNhorizontalioji apkrova = 25 kN ←

F_BC = kN

7.Rėmai ir mechanizmaiVidutinis

Parodytame alkūniniame spaustuve dvi vienodos jungtys AB ir BC sujungtos šarnyru B, ir kiekviena su tiese AC sudaro 5° kampą. Taške B veikia žemyn nukreipta 250 N jėga. Slankiklis C spaudžia ruošinį. Nepaisydami trinties ir svorių, raskite horizontaliąją spaudimo jėgą Q.

F = 250 Nθ = 5°

Q = N

8.Rėmai ir mechanizmaiSunkus

Parodytas rėmas turi šarnyrus A, B ir C; A ir C pritvirtinti prie žemės 4 m atstumu, o B yra 2,5 m aukštyje ir 1,8 m į dešinę nuo A. Strypas AB neša vertikalią 20 kN apkrovą taške K, 0,45 m (horizontaliai) nuo A, o taške B strypą AB veikia horizontali 10 kN apkrova į dešinę. Raskite horizontaliosios reakcijos A_x taške A didumą.

P = 20 kNQ = 10 kNL = 4 mH = 2,5 mhorizontalus atstumas nuo A iki B = 1,8 mhorizontalus atstumas nuo A iki K = 0,45 m

A_x = kN

9.Skersinė jėga ir lenkimo momentasVidutinis

Gembė įtvirtinta taške A. Ją visu ilgiu veikia tolygiai išskirstyta apkrova w ir sutelktoji jėga P, esanti 2 m atstumu nuo A. Raskite lenkimo momentą M_A įtvirtinime A. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.

L = 4 mP = 80 kN ties 2 mw = 4 kN/m nuo 0 iki 4 m

M_A = kN·m

10.Skersinė jėga ir lenkimo momentasSunkus

Raskite lenkimo momentą M_x pjūvyje x = 0,5 m nuo atramos A. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.

L = 5 mP = 15 kN ties 1,5 mw = 12 kN/m nuo 0 iki 5 mx = 0,5 m

M_x = kN·m

11.Svorio centras ir inercijos momentasVidutinis

Raskite tėjinio skerspjūvio inercijos momentą I_x horizontaliosios ašies x, einančios per svorio centrą, atžvilgiu.

b_f = 100 mmt_f = 20 mmt_w = 18 mmh_w = 220 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Svorio centras ir inercijos momentasSunkus

Suvirinto dvitėjo skerspjūvio viršutinė lentyna yra 110 × 14 mm, sienelė 370 mm aukščio ir 14 mm storio, o apatinė lentyna 200 × 24 mm (plotis × storis). Raskite jo inercijos momentą I_x horizontaliosios ašies x, einančios per svorio centrą, atžvilgiu.

viršutinė lentyna: 110 × 14 mmsienelė: 14 × 370 mmapatinė lentyna: 200 × 24 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3Tirpalai

1.Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandauga

Atsakymas: k = −4

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Skaliarinė sandauga lygi nuliui

a·b = 2·(−5) + (−4)·k + 1·(−6) = 0

−16 + (−4)·k = 0

Išspręskite k atžvilgiu

k = −(−16)/(−4) = −4

Atsakymas

k = −4

2.Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandauga

Atsakymas: M_z = 130 N·m

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Padėties vektorius iš O į A

r = A − O = (−2, 0, −4) − (0, 3, −2) = (−2, −3, −2) m

Momentas M = r × F

(r × F)_x = r_yF_z − r_zF_y = (−3)·0 − (−2)·10 = 20 N·m

(r × F)_y = r_zF_x − r_xF_z = (−2)·50 − (−2)·0 = −100 N·m

(r × F)_z = r_xF_y − r_yF_x = (−2)·10 − (−3)·50 = 130 N·m

Prašoma komponentė

M_z = 130 N·m

Atsakymas

M_z = 130 N·m

3.Sijų atramų reakcijos

Atsakymas: R_A = 17,5 kN

Statinė pusiausvyra: rimties būsenos kūnui ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 ir ΣM = 0 bet kurio taško atžvilgiu. Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite jos atstojamąja (diagramos plotu), veikiančia apkrovos diagramos svorio centre, ir imkite momentus atramos atžvilgiu, kad tos atramos reakcija dingtų iš lygties.

Momentai A atžvilgiu

Prieš laikrodžio rodyklę – teigiama.

ΣM_A = 0: R_B·4 − 10·2 + 50 = 0

R_B = −30/4 = −7,5 kN

Vertikalioji pusiausvyra

R_A = 10 − (−7,5) = 17,5 kN

Atsakymas

R_A = 17,5 kN

Neigiama reakcija nukreipta žemyn.

4.Sijų atramų reakcijos

Atsakymas: M_A = 620 kN·m

Gembės pusiausvyra: įtvirtinimas gali stumti aukštyn ir priešintis posūkiui, todėl jame atsiranda vertikalioji reakcija R_A ir reakcijos momentas M_A. ΣF_y = 0 duoda R_A, o momentai sienos atžvilgiu duoda M_A = Σ(apkrova × atstumas nuo sienos). Išskirstytoji apkrova veikia kaip jos atstojamoji apkrovos diagramos svorio centre.

Trikampės apkrovos atstojamoji

W = ½·6·10 = 30 kN

x̄ = 2L/3 = 6,667 m

Momentas sienos atžvilgiu

M_A = W·x̄ + P·a = 30·6,667 + 70·6 = 620 kN·m

Atsakymas

M_A = 620 kN·m

5.Santvara: mazgų metodas

Atsakymas: F_AC = 26,67 kN

Mazgų metodas: kiekvienas santvaros mazgas yra pusiausvyroje, todėl kiekviename mazge ΣF_x = 0 ir ΣF_y = 0. Pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos. Neigiamas rezultatas reiškia, kad strypas gniuždomas.

Atramų reakcijos

Visos santvaros pusiausvyra. Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 60·4 → C_y = 40 kN

ΣF_y = 0: A_y = 60 − 40 = 20 kN

Mazgas C

Ritininė atrama duoda tik vertikaliąją reakciją, todėl mazge C yra tik dvi nežinomos strypų jėgos. Tarkite, kad abu tempiami.

sin γ = 3/3,606 = 0,8321, cos γ = 2/3,606 = 0,5547

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −40/0,8321 = −48,07 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−48,07)·0,5547 = 26,67 kN

Atsakymas

F_AC = 26,67 kN (tempimas)

6.Santvara: mazgų metodas

Atsakymas: F_BC = 7,071 kN

Atramų reakcijos

Visos santvaros pusiausvyra. Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 55·1 − 25·3 → C_y = −5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 55 − −5 = 60 kN

ΣF_x = 0: A_x = 25 kN

Mazgas C

Ritininė atrama duoda tik vertikaliąją reakciją, todėl mazge C yra tik dvi nežinomos strypų jėgos. Tarkite, kad abu tempiami.

sin γ = 3/4,243 = 0,7071, cos γ = 3/4,243 = 0,7071

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −−5/0,7071 = 7,071 kN

Atsakymas

F_BC = 7,071 kN (tempimas)

7.Rėmai ir mechanizmai

Atsakymas: Q = 1429 N

Mechanizmai: replės, svertai, jungčių sistemos ir spaustuvai įėjimo jėgą paverčia didesne ar kitos krypties išėjimo jėga. Vieną dalį nubraižykite kaip laisvąjį kūną ir imkite momentus jos sukimosi ašies atžvilgiu: šarnyro jėga iškrenta, o F_in·a = F_out·b duoda mechaninį išlošį a/b. Šarnyro jėgą tada gaunate iš ΣF = 0 tai pačiai daliai. Alkūniniame mechanizme dvi jungtys susitinka mažu kampu θ; kiekviena jungtis yra dviejų jėgų strypas, todėl maža jėga F sandūroje sukuria dideles jungčių jėgas F/(2 sin θ) ir spaudimo jėgą F/(2 tan θ).

Šarnyro B pusiausvyra

2·F_link·sin 5° = 250

F_link = 1434 N

Spaudimo jėga

Q = F_link·cos 5° = 250/(2·tan 5°) = 1429 N

Atsakymas

Q = 1429 N

Jėgų santykis Q/F = 5,715 auga neribotai, jungtims tiesėjant.

8.Rėmai ir mechanizmai

Atsakymas: A_x = 2,52 kN

Rėmai ir mechanizmai: skirtingai nei santvara, rėmas turi bent vieną strypą, kuris apkrautas daugiau nei dviejuose taškuose arba turi apkrovą tarp šarnyrų. Pirmiausia ieškokite dviejų jėgų strypų: strypo, apkrauto tik dviejuose šarnyruose, jėga veikia tiese per juos, todėl jis prideda vieną nežinomąjį, o ne du. Tada atramų reakcijoms naudokite visą konstrukciją, jei nežinomųjų ne daugiau kaip trys. Galiausiai išardykite rėmą: kiekvieną strypą nubraižykite atskirai, su vienodo didumo ir priešingomis šarnyrų jėgomis dviem juos jungiantiems strypams, ir užrašykite jam ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 ir ΣM = 0. Imant momentus šarnyro atžvilgiu, abi to šarnyro jėgos komponentės iš lygties iškrenta.

BC kryptis

BC = 3,33 m, cos = 0,6606, sin = 0,7507

Visas rėmas: momentai taško A atžvilgiu

F_BC·0,7507·4 = 20·0,45 + 10·2,5

F_BC = 11,32 kN

Horizontalioji pusiausvyra

A_x + 10 − 11,32·0,6606 = 0

A_x = −2,52 kN → |A_x| = 2,52 kN

Atsakymas

A_x = 2,52 kN

Minuso ženklas reiškia, kad A_x nukreiptas į kairę.

9.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: M_A = −192 kN·m

Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu.

Palikite dalį su laisvuoju galu

P: −80·2 = −160 kN·m

w: −4·4²/2 = −32 kN·m

M_A = −160 − 32 = −192 kN·m

Atsakymas

M_A = −192 kN·m

Neigiamas reiškia neigiamą lenkimą: tempiami viršutiniai sluoksniai.

10.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: M_x = 18,75 kN·m

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 12·5 = 60 kN, veikianti taške x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 15·1,5 + 12·5·2,5

R_B = 172,5/5 = 34,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 75 − 34,5 = 40,5 kN

Perpjaukite ties x = 0,5 m ir palikite kairiąją dalį

Įskaitomos tik jėgos kairiau pjūvio. Išskirstytosios apkrovos dalis veikia kaip viena jėga tos dalies viduryje.

M = R_A·x − (kiekviena apkrova kairiau pjūvio × jos atstumas iki pjūvio)

M_x = 40,5·0,5 − 12·0,5·0,25 = 18,75 kN·m

Atsakymas

M_x = 18,75 kN·m

11.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: I_x = 35,17 × 10⁶ mm⁴

Sudėtiniai skerspjūviai: padalykite skerspjūvį į stačiakampius. Svorio centras yra plotais svertinis vidurkis ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Inercijos momentas centrinės ašies atžvilgiu sumuoja kiekvienos dalies nuosavą bh³/12 ir Šteinerio narį A·d², kur d – atstumas nuo dalies svorio centro iki bendro svorio centro. Lenkimo įtempis σ = M·y/I.

Padalykite į du stačiakampius

Kiekvieną y matuokite nuo apatinio krašto.

lentyna: A_f = 100·20 = 2000 mm², y_f = 220 + 20/2 = 230 mm

sienelė: A_w = 18·220 = 3960 mm², y_w = 220/2 = 110 mm

Svorio centras

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2000·230 + 3960·110)/5960 = 150,3 mm

Šteinerio teorema

lentyna: 100·20³/12 + 2000·(230 − 150,3)² = 1,278 × 10⁷ mm⁴

sienelė: 18·220³/12 + 3960·(110 − 150,3)² = 2,239 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,278 × 10⁷ + 2,239 × 10⁷ = 3,517 × 10⁷ mm⁴ = 35,17 × 10⁶ mm⁴

Atsakymas

I_x = 35,17 × 10⁶ mm⁴

12.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: I_x = 265,7 × 10⁶ mm⁴

Padalykite į tris stačiakampius

Kiekvieną y matuokite nuo apatinio krašto.

viršutinė lentyna: A = 1540 mm², y = 401 mm

sienelė: A = 5180 mm², y = 209 mm

apatinė lentyna: A = 4800 mm², y = 12 mm

Svorio centras

ȳ = (1540·401 + 5180·209 + 4800·12)/11520 = 152,6 mm

Šteinerio teorema

viršutinė lentyna: 110·14³/12 + 1540·248,4² = 9,506 × 10⁷ mm⁴

sienelė: 14·370³/12 + 5180·56,42² = 7,558 × 10⁷ mm⁴

apatinė lentyna: 200·24³/12 + 4800·140,6² = 9,51 × 10⁷ mm⁴

I_x = 9,506 × 10⁷ + 7,558 × 10⁷ + 9,51 × 10⁷

I_x = 2,657 × 10⁸ mm⁴ = 265,7 × 10⁶ mm⁴

Atsakymas

I_x = 265,7 × 10⁶ mm⁴

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics