Statika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandauga

Modulis: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Vienetinis vektorius: û = a/|a|
Komponentės pagal kampą: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Skaliarinė sandauga: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a skaliarinė projekcija į b: a·b/|b|
Darbas: W = F·d
Vektorinė sandauga: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Plotai: lygiagretainis |a × b|, trikampis ½|a × b|
Momentas taško O atžvilgiu: M_O = r × F, r = A − O
Gretasienio tūris: V = |a·(b × c)|

Metodas

Kiekvieną vektorių užrašykite komponentėmis; jėgai, pateiktai moduliu ir kampu, naudokite F·cos θ ir F·sin θ.
Ilgiams ir kryptims naudokite modulį √(x² + y² + z²) ir vienetinį vektorių a/|a|.
Skaliarinę sandaugą naudokite kampams, projekcijoms, statmenumui ir darbui: a·b = |a||b|cos θ.
Vektorinę sandaugą naudokite statmeniems vektoriams, plotams ir momentams: atidžiai užrašykite tris komponentes, išlaikydami tvarką a × b.

Sijų atramų reakcijos

Pusiausvyra: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Tolygi apkrova: atstojamoji w·L apkrovos viduryje
Momentas: M = F·d

Metodas

Nubraižykite laisvojo kūno diagramą ir kiekvieną atramą pakeiskite jos reakcijomis.
Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite viena jėga, veikiančia jos svorio centre.
Momentų lygtį užrašykite vienos atramos atžvilgiu ir raskite kitos atramos reakciją.
Likusiai reakcijai rasti naudokite ΣF_y = 0 ir patikrinkite antrąja momentų lygtimi.

Santvara: mazgų metodas

Mazgų metodas: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Pjūvių metodas: ΣM = 0 about a cut point
Strypo jėga: teigiama = tempimas, neigiama = gniuždymas

Metodas

Raskite visos santvaros atramų reakcijas.
Mazgų metodas: pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos, ir naudokite ΣF_x = 0 ir ΣF_y = 0.
Pjūvių metodas: perpjaukite per reikiamą strypą ir užrašykite momentų lygtį taško, kuriame susikerta kiti nežinomi strypai, atžvilgiu.
Tarkite, kad strypas tempiamas; neigiamas atsakymas reiškia gniuždymą.

Rėmai ir mechanizmai

Kiekvieno strypo pusiausvyra: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Dviejų jėgų strypas: jėga veikia tiese, einančia per jo du šarnyrus
Šarnyro jėga: vienodo didumo ir priešingos jėgos dviem sujungiamiems strypams
Šarnyro jėgos modulis: F = √(F_x² + F_y²)
Svertas, replės, kampinis svertas: F_in·a = F_out·b
Alkūninis mechanizmas: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Tolygi apkrova: atstojamoji w·L apkrovos viduryje

Metodas

Nubraižykite visą konstrukciją ir raskite atramų reakcijas, jei nežinomųjų ne daugiau kaip trys.
Raskite dviejų jėgų strypus: apkrauti tik dviejuose šarnyruose, jų jėga veikia tiese tarp tų šarnyrų.
Išardykite rėmą ir nubraižykite kiekvieną strypą atskirai; kur strypai susijungia, šarnyrų jėgos vienodo didumo ir priešingos krypties.
Kiekvienam strypui imkite momentus šarnyro, kuriame veikia nežinomos jėgos, atžvilgiu, tada naudokite ΣF_x = 0 ir ΣF_y = 0; komponentes į modulį sujunkite pačioje pabaigoje.

Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Skersinė jėga ir momentas: V = ΣF vienoje pusėje, M = ΣF·d vienoje pusėje
Lenkimo įtempis: σ = M·y/I
Stačiakampis: I = bh³/12
Atsparumo momentas: W = I/y_max
Laisvai atremta, tolygi apkrova: M_max = wL²/8

Metodas

Atramų reakcijas raskite iš visos sijos pusiausvyros.
Perpjaukite siją reikiamame pjūvyje ir palikite vieną pusę.
Skersinė jėga: tos pusės vertikaliųjų jėgų suma. Lenkimo momentas: jų momentų pjūvio atžvilgiu suma.
Didžiausiam momentui rasti nustatykite, kur skersinė jėga lygi nuliui.

Svorio centras ir inercijos momentas

Svorio centras: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Stačiakampis: I = bh³/12
Šteinerio teorema: I = I_c + A·d²
Sudėtinis skerspjūvis: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Uždaviniai

1.Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandaugaVidutinis

Pastovi jėga F = (15, 30, 10) N veikia kūną, kuris tiesiai juda iš taško A(−4, 5, −5) į tašką B(−5, 2, −4). Koordinatės pateiktos metrais. Raskite jėgos atliktą darbą W.

F = (15, 30, 10) NA(−4, 5, −5) mB(−5, 2, −4) m

W = J

2.Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandaugaSunkus

Jėga F = (30, −30, −30) N veikia taške A(−2, 4, 2). Koordinatės pateiktos metrais. Raskite jėgos momento taško taškas O(1, 2, 3) atžvilgiu z komponentę M_z.

F = (30, −30, −30) NA(−2, 4, 2) mO(1, 2, 3) m

M_z = N·m

3.Sijų atramų reakcijosVidutinis

Gembinė sija taške A įtvirtinta sienoje. Ją veikia tolygiai išskirstyta apkrova w nuo sienos iki 6 m ir sutelktoji jėga P, esanti 5 m atstumu nuo sienos. Raskite reakcijos momento sienoje didumą M_A.

L = 8 mP = 80 kN ties 5 mw = 10 kN/m nuo 0 iki 6 m

M_A = kN·m

4.Sijų atramų reakcijosSunkus

Laisvai atremta sija turi šarnyrinę atramą A ir ritininę atramą B. Raskite vertikaliąją atramos reakciją R_B.

L = 5 mP = 60 kN ties 4 mw = 3 kN/m nuo 1 iki 2 m

R_B = kN

5.Santvara: mazgų metodasVidutinis

Mazgų metodu raskite jėgą F_AC strype AC. Tempimą nurodykite teigiamu, gniuždymą – neigiamu.

tarpatramis = 6 maukštis = 4 mB yra 4 m nuo Avertikalioji apkrova = 55 kN

F_AC = kN

6.Santvara: mazgų metodasSunkus

Tiksliai vienas šios santvaros elementas neneša jėgos esant šioms apkrovoms. Kuris yra nulinės jėgos elementas? Spustelėkite jį diagramoje.

B: 25 kN ↓D: 15 kN ↓F: 15 kN ↓F: 25 kN →

1elementas AB
2elementas BC
3elementas CD
4elementas DE
5elementas FG
6elementas GH
7elementas AF
8elementas HE
9elementas BF
10elementas CG
11elementas DH
12elementas BG
13elementas DG

7.Rėmai ir mechanizmaiVidutinis

Parodytas A formos rėmas stovi ant šarnyrinės atramos A ir ritininės atramos B, nutolusių 2 m. Kojos susitinka šarnyre C, 3,6 m aukštyje, o horizontalus ryšys DE yra 1,5 m virš žemės. Taške C veikia 20 kN apkrova. Raskite jėgos C, kuria šarnyras C veikia koją BC, didumą.

P = 20 kNAB = 2 mC aukštis = 3,6 mDE aukštis = 1,5 m

C = kN

8.Rėmai ir mechanizmaiSunkus

Tolygi horizontali strėlė AB, sverianti 3 kN, šarnyru pritvirtinta prie sienos taške A ir laikoma lyno nuo galo B iki sienos taško C, 1 m virš A. Taške B kabo 4 kN apkrova. Raskite lyno įtempimą T.

W = 4 kNW_b = 3 kNAB = 2,5 mAC = 1 m

T = kN

9.Skersinė jėga ir lenkimo momentasVidutinis

Žymės nuo A iki G padalija siją į šešias lygias dalis. Ties kuria žyme lenkimo momentas yra didžiausias dydžiu, įlenkiantis ar išlenkiantis? Spustelėkite ją diagramoje.

45 kN @ 6 m5 kN/m, 0–12 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

10.Skersinė jėga ir lenkimo momentasSunkus

Laisvai atremta sija visu tarpatramiu apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w ir sutelktąja jėga P. Raskite didžiausią sijos lenkimo momentą M_max.

L = 6 mP = 55 kN ties 2 mw = 8 kN/m nuo 0 iki 6 m

M_max = kN·m

11.Svorio centras ir inercijos momentasVidutinis

Simetriško dvitėjo skerspjūvio lentynos yra 180 mm pločio ir 20 mm storio, bendrasis aukštis 500 mm, o sienelės storis 14 mm. Raskite jo inercijos momentą I_x horizontaliosios centrinės ašies x atžvilgiu.

B = 180 mmH = 500 mmt_f = 20 mmt_w = 14 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Svorio centras ir inercijos momentasSunkus

Simetriško dvitėjo skerspjūvio lentynos yra 110 mm pločio ir 14 mm storio, bendrasis aukštis 320 mm, o sienelės storis 12 mm. Jį veikia 20 kN·m lenkimo momentas ašies x atžvilgiu. Raskite lenkimo įtempio didumą σ_j sienelės ir viršutinės lentynos sandūroje.

B = 110 mmH = 320 mmt_f = 14 mmt_w = 12 mmM = 20 kN·m

σ_j = MPa

3Tirpalai

1.Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandauga

Atsakymas: W = −95 J

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Poslinkis

d = B − A = (−5, 2, −4) − (−4, 5, −5) = (−1, −3, 1) m

Darbas

W = F·d = 15·(−1) + 30·(−3) + 10·1 = −95 J

Atsakymas

W = −95 J

Neigiamas darbas: jėga daugiausia veikia prieš judėjimą.

2.Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandauga

Atsakymas: M_z = 30 N·m

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Padėties vektorius iš O į A

r = A − O = (−2, 4, 2) − (1, 2, 3) = (−3, 2, −1) m

Momentas M = r × F

(r × F)_x = r_yF_z − r_zF_y = 2·(−30) − (−1)·(−30) = −90 N·m

(r × F)_y = r_zF_x − r_xF_z = (−1)·30 − (−3)·(−30) = −120 N·m

(r × F)_z = r_xF_y − r_yF_x = (−3)·(−30) − 2·30 = 30 N·m

Prašoma komponentė

M_z = 30 N·m

Atsakymas

M_z = 30 N·m

3.Sijų atramų reakcijos

Atsakymas: M_A = 580 kN·m

Gembės pusiausvyra: įtvirtinimas gali stumti aukštyn ir priešintis posūkiui, todėl jame atsiranda vertikalioji reakcija R_A ir reakcijos momentas M_A. ΣF_y = 0 duoda R_A, o momentai sienos atžvilgiu duoda M_A = Σ(apkrova × atstumas nuo sienos). Išskirstytoji apkrova veikia kaip jos atstojamoji apkrovos diagramos svorio centre.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji

W = 10·6 = 60 kN, x̄ = 3 m

Momentas sienos atžvilgiu

M_A = P·a + W·x̄ = 80·5 + 60·3 = 580 kN·m

Atsakymas

M_A = 580 kN·m

4.Sijų atramų reakcijos

Atsakymas: R_B = 48,9 kN

Statinė pusiausvyra: rimties būsenos kūnui ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 ir ΣM = 0 bet kurio taško atžvilgiu. Imant momentus vienos atramos atžvilgiu, tos atramos reakcija dingsta iš lygties.

Laisvojo kūno diagrama

Atramas pakeiskite reakcijos jėgomis. Ritininė atrama duoda vieną vertikaliąją reakciją; kai apkrovos tik vertikalios, šarnyrinė atrama taip pat duoda vieną vertikaliąją reakciją.

Pusiausvyra

Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę. Tada vertikaliųjų jėgų pusiausvyra.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 3·1 = 3 kN, veikianti taške x̄ = 1,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 60·4 + 3·1·1,5

R_B = 244,5/5 = 48,9 kN

ΣF_y = 0: R_A = 63 − 48,9 = 14,1 kN

Atsakymas

R_B = 48,9 kN

5.Santvara: mazgų metodas

Atsakymas: F_AC = 18,33 kN

Mazgų metodas: kiekvienas santvaros mazgas yra pusiausvyroje, todėl kiekviename mazge ΣF_x = 0 ir ΣF_y = 0. Pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos. Neigiamas rezultatas reiškia, kad strypas gniuždomas.

Atramų reakcijos

Visos santvaros pusiausvyra. Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 55·4 → C_y = 36,67 kN

ΣF_y = 0: A_y = 55 − 36,67 = 18,33 kN

Mazgas C

Ritininė atrama duoda tik vertikaliąją reakciją, todėl mazge C yra tik dvi nežinomos strypų jėgos. Tarkite, kad abu tempiami.

sin γ = 4/4,472 = 0,8944, cos γ = 2/4,472 = 0,4472

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −36,67/0,8944 = −40,99 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−40,99)·0,4472 = 18,33 kN

Atsakymas

F_AC = 18,33 kN (tempimas)

6.Santvara: mazgų metodas

Atsakymas: elementas CG

Nulinės jėgos elementai: mazge jėgos turi atsvirti visomis kryptimis. Jei mazgas neturi apkrovos ir atramos, o du iš trijų jo elementų yra vienoje linijoje, tai pusiausvyra skersai tos linijos apima tik trečiąjį elementą, todėl jo jėga lygi nuliui. Jei neapkrautame mazge susitinka tik du elementai ir jie nėra vienoje linijoje, abu yra nulis.

Mazgas C

BC ir CD yra vienoje tiesėje, o mazgas neapkrautas. Subalansavus jėgas skersai tos linijos lieka tik CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Patikrinkite mazgų metodu

Išsprendus visus mazgus gaunamos šios elementų jėgos (T = tempimas, C = gniuždymas).

AB: 52,5 kN (T), BC: 40 kN (T), CD: 40 kN (T), DE: 27,5 kN (T), FG: 52,5 kN (C), GH: 27,5 kN (C), AF: 38,89 kN (C), HE: 38,89 kN (C), BF: 12,5 kN (T), CG: 0, DH: 27,5 kN (T), BG: 17,68 kN (T), DG: 17,68 kN (C)

Atsakymas

Nulinės jėgos elementas: CG

7.Rėmai ir mechanizmai

Atsakymas: C = 11,08 kN

Rėmai ir mechanizmai: skirtingai nei santvara, rėmas turi bent vieną strypą, kuris apkrautas daugiau nei dviejuose taškuose arba turi apkrovą tarp šarnyrų. Pirmiausia ieškokite dviejų jėgų strypų: strypo, apkrauto tik dviejuose šarnyruose, jėga veikia tiese per juos, todėl jis prideda vieną nežinomąjį, o ne du. Tada atramų reakcijoms naudokite visą konstrukciją, jei nežinomųjų ne daugiau kaip trys. Galiausiai išardykite rėmą: kiekvieną strypą nubraižykite atskirai, su vienodo didumo ir priešingomis šarnyrų jėgomis dviem juos jungiantiems strypams, ir užrašykite jam ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 ir ΣM = 0. Imant momentus šarnyro atžvilgiu, abi to šarnyro jėgos komponentės iš lygties iškrenta.

Ryšio jėga iš kojos BC

B_y = 10 kN

T = 10·1/2,1 = 4,762 kN

Šarnyro jėgos komponentės, veikiančios BC

C_x = T = 4,762 kN, C_y = −B_y = −10 kN

Modulis

C = √(4,762² + 10²) = 11,08 kN

Atsakymas

C = 11,08 kN

8.Rėmai ir mechanizmai

Atsakymas: T = 14,81 kN

Lyno kampas

BC = √(2,5² + 1²) = 2,693 m, sin β = 0,3714

Momentai A atžvilgiu

T·0,3714·2,5 = 4·2,5 + 3·1,25

T = 14,81 kN

Atsakymas

T = 14,81 kN

9.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: D (x = 6 m)

Didžiausias lenkimo momentas: M nuolydis keičiasi ten, kur keičiasi skersinė jėga, todėl jo viršūnės yra ten, kur skersinė jėga kerta nulį: po koncentruota apkrova, paskirstytos apkrovos viduje arba virš gembės atramos. Įtvirtintoje gembės atramoje momentas didžiausias prie sienos. Palyginkite M dydį tose vietose, įlenkiantį ar išlenkiantį.

Atramų reakcijos

Paimkite momentus apie vieną atramą, tada naudokite vertikalių jėgų balansą.

R₁ = 52,5 kN, R₂ = 52,5 kN

Lenkimo momentas ties kiekviena žyme

Susumuokite visų vienoje pjūvio pusėje esančių jėgų momentus. Įlenkiantis teigiamas, išlenkiantis neigiamas.

M_A = 0, M_B = 95, M_C = 170, M_D = 225 kN·m, M_E = 170, M_F = 95, M_G = 0

Atsakymas

Žymė D: M_D = 225 kN·m

10.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: M_max = 105,3 kN·m

Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu. Didžiausias momentas: kadangi dM/dx = V, lenkimo momentas didžiausias ten, kur skersinė jėga eina per nulį – sutelktosios jėgos vietoje arba išskirstytosios apkrovos ruože.

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 8·6 = 48 kN, veikianti taške x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 55·2 + 8·6·3

R_B = 254/6 = 42,33 kN

ΣF_y = 0: R_A = 103 − 42,33 = 60,67 kN

Kur V = 0?

V(2⁻) = R_A − w·2 = 44,67 kN

V(2⁺) = 44,67 − 55 = −10,33 kN

Skersinė jėga keičia ženklą ties apkrova, todėl maksimumas yra po apkrova.

Didžiausias momentas

M_max = R_A·2 − w·2²/2 = 60,67·2 − 8·2²/2 = 105,3 kN·m

Atsakymas

M_max = 105,3 kN·m

Tai yra taške x = 2 m nuo A.

11.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: I_x = 528,5 × 10⁶ mm⁴

Inercijos momentas: stačiakampio inercijos momentas jo centrinės ašies atžvilgiu I = bh³/12, o pagrindo atžvilgiu bh³/3 (Šteinerio teorema I = I_c + A·d²). Angą įskaitykite atimdami jos I, jei abi dalys turi tą pačią ašį. Tamprusis atsparumo momentas S = I/c, kur c – atstumas iki kraštinio sluoksnio.

Išorinis stačiakampis atėmus dvi šonines išpjovas

Abi išpjovos kartu yra (B − t_w) pločio ir h_w = H − 2t_f aukščio, o jų ašis ta pati – x.

h_w = 500 − 2·20 = 460 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (180·500³ − 166·460³)/12

I_x = 5,285 × 10⁸ mm⁴ = 528,5 × 10⁶ mm⁴

Atsakymas

I_x = 528,5 × 10⁶ mm⁴

12.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: σ_j = 30,09 MPa

Sudėtiniai skerspjūviai: padalykite skerspjūvį į stačiakampius. Svorio centras yra plotais svertinis vidurkis ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Inercijos momentas centrinės ašies atžvilgiu sumuoja kiekvienos dalies nuosavą bh³/12 ir Šteinerio narį A·d², kur d – atstumas nuo dalies svorio centro iki bendro svorio centro. Lenkimo įtempis σ = M·y/I.

Išorinis stačiakampis atėmus dvi šonines išpjovas

Abi išpjovos kartu yra (B − t_w) pločio ir h_w = H − 2t_f aukščio, o jų ašis ta pati – x.

h_w = 320 − 2·14 = 292 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (110·320³ − 98·292³)/12

I_x = 9,705 × 10⁷ mm⁴

Lenkimo įtempis

y = 160 − 14 = 146 mm

σ = M·y/I = 2 × 10⁷·146/9,705 × 10⁷ = 30,09 MPa

Atsakymas

σ_j = 30,09 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics