Vektorinę sandaugą naudokite statmeniems vektoriams, plotams ir momentams: atidžiai užrašykite tris komponentes, išlaikydami tvarką a × b.
Sijų atramų reakcijos
Pusiausvyra
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Tolygi apkrova
atstojamoji w·L apkrovos viduryje
Momentas
M = F·d
Metodas
Nubraižykite laisvojo kūno diagramą ir kiekvieną atramą pakeiskite jos reakcijomis.
Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite viena jėga, veikiančia jos svorio centre.
Momentų lygtį užrašykite vienos atramos atžvilgiu ir raskite kitos atramos reakciją.
Likusiai reakcijai rasti naudokite ΣFy = 0 ir patikrinkite antrąja momentų lygtimi.
Santvara: mazgų metodas
Mazgų metodas
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Pjūvių metodas
ΣM = 0 about a cut point
Strypo jėga
teigiama = tempimas, neigiama = gniuždymas
Metodas
Raskite visos santvaros atramų reakcijas.
Mazgų metodas: pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos, ir naudokite ΣFx = 0 ir ΣFy = 0.
Pjūvių metodas: perpjaukite per reikiamą strypą ir užrašykite momentų lygtį taško, kuriame susikerta kiti nežinomi strypai, atžvilgiu.
Tarkite, kad strypas tempiamas; neigiamas atsakymas reiškia gniuždymą.
Rėmai ir mechanizmai
Kiekvieno strypo pusiausvyra
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Dviejų jėgų strypas
jėga veikia tiese, einančia per jo du šarnyrus
Šarnyro jėga
vienodo didumo ir priešingos jėgos dviem sujungiamiems strypams
Šarnyro jėgos modulis
F = √(Fx² + Fy²)
Svertas, replės, kampinis svertas
Fin·a = Fout·b
Alkūninis mechanizmas
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Tolygi apkrova
atstojamoji w·L apkrovos viduryje
Metodas
Nubraižykite visą konstrukciją ir raskite atramų reakcijas, jei nežinomųjų ne daugiau kaip trys.
Raskite dviejų jėgų strypus: apkrauti tik dviejuose šarnyruose, jų jėga veikia tiese tarp tų šarnyrų.
Išardykite rėmą ir nubraižykite kiekvieną strypą atskirai; kur strypai susijungia, šarnyrų jėgos vienodo didumo ir priešingos krypties.
Kiekvienam strypui imkite momentus šarnyro, kuriame veikia nežinomos jėgos, atžvilgiu, tada naudokite ΣFx = 0 ir ΣFy = 0; komponentes į modulį sujunkite pačioje pabaigoje.
Skersinė jėga ir lenkimo momentas
Skersinė jėga ir momentas
V = ΣF vienoje pusėje, M = ΣF·d vienoje pusėje
Lenkimo įtempis
σ = M·y/I
Stačiakampis
I = bh³/12
Atsparumo momentas
W = I/ymax
Laisvai atremta, tolygi apkrova
Mmax = wL²/8
Metodas
Atramų reakcijas raskite iš visos sijos pusiausvyros.
Perpjaukite siją reikiamame pjūvyje ir palikite vieną pusę.
Skersinė jėga: tos pusės vertikaliųjų jėgų suma. Lenkimo momentas: jų momentų pjūvio atžvilgiu suma.
Didžiausiam momentui rasti nustatykite, kur skersinė jėga lygi nuliui.
Svorio centras ir inercijos momentas
Svorio centras
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Stačiakampis
I = bh³/12
Šteinerio teorema
I = Ic + A·d²
Sudėtinis skerspjūvis
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Uždaviniai
1.Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandaugaVidutinis
Raskite vektoriaus a = (2, −7, 1) skaliarinę projekciją compb a į b = (−5, −3, 5), t. y. a komponentę b kryptimi.
a = (2, −7, 1)b = (−5, −3, 5)
compb a =
2.Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandaugaSunkus
Vienetinis vektorius n̂ statmenas abiem vektoriams a = (2, 2, −3) ir b = (1, 4, −4) ir turi teigiamą z komponentę. Raskite jo x komponentę n̂x.
a = (2, 2, −3)b = (1, 4, −4)n̂z > 0
n̂x =
3.Sijų atramų reakcijosVidutinis
Gembinė sija taške A įtvirtinta sienoje. Ją visu ilgiu veikia tolygiai išskirstyta apkrova w ir sutelktoji jėga P, esanti 4,5 m atstumu nuo sienos. Raskite reakcijos momento sienoje didumą MA.
L = 6 mP = 15 kN ties 4,5 mw = 5 kN/m nuo 0 iki 6 m
MA = kN·m
4.Sijų atramų reakcijosSunkus
Laisvai atremta sija turi šarnyrinę atramą A ir ritininę atramą B. 1 m atstumu nuo A veikia apkrova P, pasvirusi 45° kampu į horizontalę, o 3,5 m atstumu nuo A – vertikalioji apkrova Q. Raskite kampą α tarp suminės reakcijos jėgos šarnyre A ir horizontalės.
L = 4 mP = 25 kN ties 1 m, θ = 45°Q = 80 kN ties 3,5 m
α = °
5.Santvara: mazgų metodasVidutinis
Tiksliai vienas šios santvaros elementas neneša jėgos esant šioms apkrovoms. Kuris yra nulinės jėgos elementas? Spustelėkite jį diagramoje.
Mazgų metodu raskite jėgą FAB strype AB. Tempimą nurodykite teigiamu, gniuždymą – neigiamu.
tarpatramis = 5 maukštis = 2 mB yra 4 m nuo Avertikalioji apkrova = 50 kNhorizontalioji apkrova = 15 kN ←
FAB = kN
7.Rėmai ir mechanizmaiVidutinis
Parodytas A formos rėmas stovi ant šarnyrinės atramos A ir ritininės atramos B, nutolusių 3,2 m, jo viršūnės šarnyras C yra 2 m aukštyje, o horizontalus ryšys DE – 1,2 m virš žemės. Vertikali 10 kN apkrova veikia koją AC taške K, 0,4 m (horizontaliai) nuo A. Raskite ryšio tempimo jėgą T.
P = 10 kNAB = 3,2 mC aukštis = 2 mDE aukštis = 1,2 mhorizontalus atstumas nuo A iki K = 0,4 m
T = kN
8.Rėmai ir mechanizmaiSunkus
Parodytas A formos rėmas stovi ant šarnyrinės atramos A ir ritininės atramos B, nutolusių 5 m, jo viršūnės šarnyras C yra 2,5 m aukštyje, o horizontalus ryšys DE – 1,2 m virš žemės. Vertikali 6 kN apkrova veikia koją AC taške K, 1,5 m (horizontaliai) nuo A. Raskite jėgos C, kuria šarnyras C veikia koją BC, didumą.
P = 6 kNAB = 5 mC aukštis = 2,5 mDE aukštis = 1,2 mhorizontalus atstumas nuo A iki K = 1,5 m
C = kN
9.Skersinė jėga ir lenkimo momentasVidutinis
Raskite skersinę jėgą Vx pjūvyje x = 0,5 m nuo atramos A. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.
L = 10 mw = 12 kN/m nuo 0 iki 10 mx = 0,5 m
Vx = kN
10.Skersinė jėga ir lenkimo momentasSunkus
Raskite lenkimo momentą Mx pjūvyje x = 3 m nuo atramos A. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.
L = 4 mP = 45 kN ties 3 mw = 10 kN/m nuo 0 iki 4 mx = 3 m
Mx = kN·m
11.Svorio centras ir inercijos momentasVidutinis
100 mm × 200 mm plokštė turi apvalią 30 mm skersmens skylę vertikalioje simetrijos ašyje, kurios centras yra 130 mm virš apačios. Raskite ploto inercijos momentą Ix horizontaliosios ašies, einančios per svorio centrą, atžvilgiu.
b = 100 mmh = 200 mmd = 30 mmskylės centras: y = 130 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Svorio centras ir inercijos momentasSunkus
100 mm × 150 mm plokštė turi stačiakampį iškirpimą, 50 mm pločio ir 20 mm aukščio, vertikalioje simetrijos ašyje, kurio centras yra 90 mm virš apačios. Raskite ploto inercijos momentą Ix horizontaliosios ašies, einančios per svorio centrą, atžvilgiu.
b = 100 mmh = 150 mmiškirpimas: 50 × 20 mmskylės centras: y = 90 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
3Tirpalai
1.Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandauga
Atsakymas: compb a = 2,083
Skaliarinė sandauga:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, skaliaras. Ji duoda kampą tarp dviejų vektorių, cos θ = a·b/(|a|·|b|), ir lygi nuliui, kai vektoriai statmeni. Skaliarinė a projekcija į b yra a·b/|b|, o pastovi jėga F, poslinkiu d atliekanti darbą, atlieka darbą W = F·d.
Skaliarinė sandauga
a·b = 2·(−5) + (−7)·(−3) + 1·5 = 16
b ilgis
|b| = √((−5)² + (−3)² + 5²) = 7,681
Skaliarinė projekcija
compb a = a·b/|b| = 16/7,681 = 2,083
Atsakymas
compb a = 2,083
2.Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandauga
Atsakymas: n̂x = 0,4558
Vektorinė sandauga:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) yra statmena abiem vektoriams, o |a × b| = |a|·|b|·sin θ yra jų sudaryto lygiagretainio plotas (trikampio plotas yra pusė jo). Eilės tvarka svarbi: b × a = −(a × b). Jėgos F, veikiančios taške A, momentas taško O atžvilgiu yra MO = r × F, kur r = A − O.
Vektorinė sandauga
(a × b)x = aybz − azby = 2·(−4) − (−3)·4 = 4
(a × b)y = azbx − axbz = (−3)·1 − 2·(−4) = 5
(a × b)z = axby − aybx = 2·4 − 2·1 = 6
Normalizuokite
a × b z komponentė jau teigiama.
|a × b| = √(4² + 5² + 6²) = 8,775
n̂ = (4, 5, 6)/8,775 = (0,4558, 0,5698, 0,6838)
n̂x = 0,4558
Atsakymas
n̂x = 0,4558
3.Sijų atramų reakcijos
Atsakymas: MA = 157,5 kN·m
Gembės pusiausvyra: įtvirtinimas gali stumti aukštyn ir priešintis posūkiui, todėl jame atsiranda vertikalioji reakcija RA ir reakcijos momentas MA. ΣFy = 0 duoda RA, o momentai sienos atžvilgiu duoda MA = Σ(apkrova × atstumas nuo sienos). Išskirstytoji apkrova veikia kaip jos atstojamoji apkrovos diagramos svorio centre.
Išskirstytosios apkrovos atstojamoji
W = 5·6 = 30 kN, x̄ = 3 m
Momentas sienos atžvilgiu
MA = P·a + W·x̄ = 15·4,5 + 30·3 = 157,5 kN·m
Atsakymas
MA = 157,5 kN·m
4.Sijų atramų reakcijos
Atsakymas: α = 52,76 °
Statinė pusiausvyra: rimties būsenos kūnui ΣFx = 0, ΣFy = 0 ir ΣM = 0 bet kurio taško atžvilgiu. Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite jos atstojamąja (diagramos plotu), veikiančia apkrovos diagramos svorio centre, ir imkite momentus atramos atžvilgiu, kad tos atramos reakcija dingtų iš lygties.
P dedamosios
Pv = 25·sin 45° = 17,68 kN
Ph = 25·cos 45° = 17,68 kN
Reakcijos
ΣMA = 0: RB·4 = 17,68·1 + 80·3,5 → RB = 74,42 kN
Ay = 17,68 + 80 − 74,42 = 23,26 kN
Ax = Ph = 17,68 kN
Kryptis ties A
α = atan(Ay/Ax) = atan(23,26/17,68) = 52,76°
Atsakymas
α = 52,76°
5.Santvara: mazgų metodas
Atsakymas: elementas DH
Nulinės jėgos elementai: mazge jėgos turi atsvirti visomis kryptimis. Jei mazgas neturi apkrovos ir atramos, o du iš trijų jo elementų yra vienoje linijoje, tai pusiausvyra skersai tos linijos apima tik trečiąjį elementą, todėl jo jėga lygi nuliui. Jei neapkrautame mazge susitinka tik du elementai ir jie nėra vienoje linijoje, abu yra nulis.
Mazgas D
CD ir DE yra vienoje tiesėje, o mazgas neapkrautas. Subalansavus jėgas skersai tos linijos lieka tik DH.
ΣF⊥ = 0 → FDH = 0
Patikrinkite mazgų metodu
Išsprendus visus mazgus gaunamos šios elementų jėgos (T = tempimas, C = gniuždymas).
Mazgų metodas: kiekvienas santvaros mazgas yra pusiausvyroje, todėl kiekviename mazge ΣFx = 0 ir ΣFy = 0. Pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos. Neigiamas rezultatas reiškia, kad strypas gniuždomas.
Atramų reakcijos
Visos santvaros pusiausvyra. Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę.
ΣMA = 0: Cy·5 = 50·4 − 15·2 → Cy = 34 kN
ΣFy = 0: Ay = 50 − 34 = 16 kN
ΣFx = 0: Ax = 15 kN
Mazgas A
Tarkite, kad kiekvienas strypas tempiamas (traukia nuo mazgo). Tik AB turi vertikaliąją dedamąją mazge A.
sin α = 2/4,472 = 0,4472
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −16/0,4472 = −35,78 kN
Atsakymas
FAB = −35,78 kN (gniuždymas)
7.Rėmai ir mechanizmai
Atsakymas: T = 2,5 kN
Rėmai ir mechanizmai: skirtingai nei santvara, rėmas turi bent vieną strypą, kuris apkrautas daugiau nei dviejuose taškuose arba turi apkrovą tarp šarnyrų. Pirmiausia ieškokite dviejų jėgų strypų: strypo, apkrauto tik dviejuose šarnyruose, jėga veikia tiese per juos, todėl jis prideda vieną nežinomąjį, o ne du. Tada atramų reakcijoms naudokite visą konstrukciją, jei nežinomųjų ne daugiau kaip trys. Galiausiai išardykite rėmą: kiekvieną strypą nubraižykite atskirai, su vienodo didumo ir priešingomis šarnyrų jėgomis dviem juos jungiantiems strypams, ir užrašykite jam ΣFx = 0, ΣFy = 0 ir ΣM = 0. Imant momentus šarnyro atžvilgiu, abi to šarnyro jėgos komponentės iš lygties iškrenta.
Visas rėmas: momentai taško A atžvilgiu
By = 10·0,4/3,2 = 1,25 kN
Koja BC: momentai taško C atžvilgiu
1,25·1,6 = T·0,8
T = 2,5 kN
Atsakymas
T = 2,5 kN
8.Rėmai ir mechanizmai
Atsakymas: C = 3,902 kN
Rėmai ir mechanizmai: skirtingai nei santvara, rėmas turi bent vieną strypą, kuris apkrautas daugiau nei dviejuose taškuose arba turi apkrovą tarp šarnyrų. Pirmiausia ieškokite dviejų jėgų strypų: strypo, apkrauto tik dviejuose šarnyruose, jėga veikia tiese per juos, todėl jis prideda vieną nežinomąjį, o ne du. Tada atramų reakcijoms naudokite visą konstrukciją, jei nežinomųjų ne daugiau kaip trys. Galiausiai išardykite rėmą: kiekvieną strypą nubraižykite atskirai, su vienodo didumo ir priešingomis šarnyrų jėgomis dviem juos jungiantiems strypams, ir užrašykite jam ΣFx = 0, ΣFy = 0 ir ΣM = 0. Imant momentus šarnyro atžvilgiu, abi to šarnyro jėgos komponentės iš lygties iškrenta.
Atramos B reakcija
By = 6·1,5/5 = 1,8 kN
Ryšio jėga
T = 1,8·2,5/1,3 = 3,462 kN
Šarnyro jėga, veikianti BC
Cx = 3,462 kN, Cy = −1,8 kN
C = √(3,462² + 1,8²) = 3,902 kN
Atsakymas
C = 3,902 kN
9.Skersinė jėga ir lenkimo momentas
Atsakymas: Vx = 54 kN
Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu.
Atramų reakcijos
Visos sijos pusiausvyra.
Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 12·10 = 120 kN, veikianti taške x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 12·10·5
RB = 600/10 = 60 kN
ΣFy = 0: RA = 120 − 60 = 60 kN
Perpjaukite ties x = 0,5 m ir palikite kairiąją dalį
Įskaitomos tik jėgos kairiau pjūvio. Išskirstytosios apkrovos dalis veikia kaip viena jėga tos dalies viduryje.
V = RA − (visos žemyn nukreiptos apkrovos kairiau pjūvio)
Vx = 60 − 12·0,5 = 54 kN
Atsakymas
Vx = 54 kN
10.Skersinė jėga ir lenkimo momentas
Atsakymas: Mx = 48,75 kN·m
Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu.
Atramų reakcijos
Visos sijos pusiausvyra.
Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 10·4 = 40 kN, veikianti taške x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 45·3 + 10·4·2
RB = 215/4 = 53,75 kN
ΣFy = 0: RA = 85 − 53,75 = 31,25 kN
Perpjaukite ties x = 3 m ir palikite kairiąją dalį
Įskaitomos tik jėgos kairiau pjūvio. Išskirstytosios apkrovos dalis veikia kaip viena jėga tos dalies viduryje.
M = RA·x − (kiekviena apkrova kairiau pjūvio × jos atstumas iki pjūvio)
Mx = 31,25·3 − 10·3·1,5 = 48,75 kN·m
Atsakymas
Mx = 48,75 kN·m
11.Svorio centras ir inercijos momentas
Atsakymas: Ix = 65,97 × 10⁶ mm⁴
Pjūviai su skylėmis: skylę traktuokite kaip neigiamą plotą. Svorio centras yra ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), kai A₁, y₁ – pilnos plokštės, o A₂, y₂ – skylės. Ploto inercijos momentui centrinės ašies atžvilgiu kiekvienai daliai taikykite lygiagrečiųjų ašių (Šteinerio) teoremą ir skylę atimkite: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), kur d yra atstumas nuo kiekvienos dalies savojo svorio centro iki ašies, einančios per ȳ. Stačiakampio Ic = bh³/12, o skritulio Ic = πd⁴/64.
Svorio centras
ȳ = (20000·100 − 706,9·130)/(20000 − 706,9) = 98,9 mm
Pilna plokštė ȳ atžvilgiu
100·200³/12 + 20000·1,099² = 66,69 × 10⁶ mm⁴
Skylė ȳ atžvilgiu
π·30⁴/64 + 706,9·31,1² = 0,7234 × 10⁶ mm⁴
Atimkite
Ix = 65,97 × 10⁶ mm⁴
Atsakymas
Ix = 65,97 × 10⁶ mm⁴
12.Svorio centras ir inercijos momentas
Atsakymas: Ix = 27,85 × 10⁶ mm⁴
Pjūviai su skylėmis: skylę traktuokite kaip neigiamą plotą. Svorio centras yra ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), kai A₁, y₁ – pilnos plokštės, o A₂, y₂ – skylės. Ploto inercijos momentui centrinės ašies atžvilgiu kiekvienai daliai taikykite lygiagrečiųjų ašių (Šteinerio) teoremą ir skylę atimkite: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), kur d yra atstumas nuo kiekvienos dalies savojo svorio centro iki ašies, einančios per ȳ. Stačiakampio Ic = bh³/12, o skritulio Ic = πd⁴/64.
Svorio centras
ȳ = (15000·75 − 1000·90)/(15000 − 1000) = 73,93 mm