Statika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandauga

Modulis: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Vienetinis vektorius: û = a/|a|
Komponentės pagal kampą: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Skaliarinė sandauga: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a skaliarinė projekcija į b: a·b/|b|
Darbas: W = F·d
Vektorinė sandauga: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Plotai: lygiagretainis |a × b|, trikampis ½|a × b|
Momentas taško O atžvilgiu: M_O = r × F, r = A − O
Gretasienio tūris: V = |a·(b × c)|

Metodas

Kiekvieną vektorių užrašykite komponentėmis; jėgai, pateiktai moduliu ir kampu, naudokite F·cos θ ir F·sin θ.
Ilgiams ir kryptims naudokite modulį √(x² + y² + z²) ir vienetinį vektorių a/|a|.
Skaliarinę sandaugą naudokite kampams, projekcijoms, statmenumui ir darbui: a·b = |a||b|cos θ.
Vektorinę sandaugą naudokite statmeniems vektoriams, plotams ir momentams: atidžiai užrašykite tris komponentes, išlaikydami tvarką a × b.

Sijų atramų reakcijos

Pusiausvyra: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Tolygi apkrova: atstojamoji w·L apkrovos viduryje
Momentas: M = F·d

Metodas

Nubraižykite laisvojo kūno diagramą ir kiekvieną atramą pakeiskite jos reakcijomis.
Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite viena jėga, veikiančia jos svorio centre.
Momentų lygtį užrašykite vienos atramos atžvilgiu ir raskite kitos atramos reakciją.
Likusiai reakcijai rasti naudokite ΣF_y = 0 ir patikrinkite antrąja momentų lygtimi.

Santvara: mazgų metodas

Mazgų metodas: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Pjūvių metodas: ΣM = 0 about a cut point
Strypo jėga: teigiama = tempimas, neigiama = gniuždymas

Metodas

Raskite visos santvaros atramų reakcijas.
Mazgų metodas: pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos, ir naudokite ΣF_x = 0 ir ΣF_y = 0.
Pjūvių metodas: perpjaukite per reikiamą strypą ir užrašykite momentų lygtį taško, kuriame susikerta kiti nežinomi strypai, atžvilgiu.
Tarkite, kad strypas tempiamas; neigiamas atsakymas reiškia gniuždymą.

Rėmai ir mechanizmai

Kiekvieno strypo pusiausvyra: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Dviejų jėgų strypas: jėga veikia tiese, einančia per jo du šarnyrus
Šarnyro jėga: vienodo didumo ir priešingos jėgos dviem sujungiamiems strypams
Šarnyro jėgos modulis: F = √(F_x² + F_y²)
Svertas, replės, kampinis svertas: F_in·a = F_out·b
Alkūninis mechanizmas: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Tolygi apkrova: atstojamoji w·L apkrovos viduryje

Metodas

Nubraižykite visą konstrukciją ir raskite atramų reakcijas, jei nežinomųjų ne daugiau kaip trys.
Raskite dviejų jėgų strypus: apkrauti tik dviejuose šarnyruose, jų jėga veikia tiese tarp tų šarnyrų.
Išardykite rėmą ir nubraižykite kiekvieną strypą atskirai; kur strypai susijungia, šarnyrų jėgos vienodo didumo ir priešingos krypties.
Kiekvienam strypui imkite momentus šarnyro, kuriame veikia nežinomos jėgos, atžvilgiu, tada naudokite ΣF_x = 0 ir ΣF_y = 0; komponentes į modulį sujunkite pačioje pabaigoje.

Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Skersinė jėga ir momentas: V = ΣF vienoje pusėje, M = ΣF·d vienoje pusėje
Lenkimo įtempis: σ = M·y/I
Stačiakampis: I = bh³/12
Atsparumo momentas: W = I/y_max
Laisvai atremta, tolygi apkrova: M_max = wL²/8

Metodas

Atramų reakcijas raskite iš visos sijos pusiausvyros.
Perpjaukite siją reikiamame pjūvyje ir palikite vieną pusę.
Skersinė jėga: tos pusės vertikaliųjų jėgų suma. Lenkimo momentas: jų momentų pjūvio atžvilgiu suma.
Didžiausiam momentui rasti nustatykite, kur skersinė jėga lygi nuliui.

Svorio centras ir inercijos momentas

Svorio centras: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Stačiakampis: I = bh³/12
Šteinerio teorema: I = I_c + A·d²
Sudėtinis skerspjūvis: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Uždaviniai

1.Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandaugaVidutinis

Raskite kampą θ tarp vektorių a = (5, −3, −3) ir b = (4, −3, −1) laipsniais.

a = (5, −3, −3)b = (4, −3, −1)

θ = °

2.Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandaugaSunkus

Jėga F = (−20, 0, −40) N veikia taške A(1, 4, 3). Koordinatės pateiktos metrais. Raskite jėgos momento taško koordinačių pradžia O(0, 0, 0) atžvilgiu z komponentę M_z.

F = (−20, 0, −40) NA(1, 4, 3) mO(0, 0, 0) m

M_z = N·m

3.Sijų atramų reakcijosVidutinis

Laisvai atremta sija turi šarnyrinę atramą A ir ritininę atramą B. Raskite vertikaliąją atramos reakciją R_A.

L = 10 mP₁ = 40 kN ties 3 mP₂ = 25 kN ties 7 m

R_A = kN

4.Sijų atramų reakcijosSunkus

Gembinė sija taške A įtvirtinta sienoje. Ją veikia tiesiškai kintanti apkrova, kuri ties siena lygi nuliui ir didėja iki 6 kN/m laisvajame gale B, bei sutelktoji jėga P, esanti 4 m atstumu nuo sienos. Raskite reakcijos momento sienoje didumą M_A.

L = 4 mw₀ = 6 kN/mP = 75 kN ties 4 m

M_A = kN·m

5.Santvara: mazgų metodasVidutinis

Mazgų metodu raskite jėgą F_AB strype AB. Tempimą nurodykite teigiamu, gniuždymą – neigiamu.

tarpatramis = 4 maukštis = 4 mB yra 1 m nuo Avertikalioji apkrova = 15 kN

F_AB = kN

6.Santvara: mazgų metodasSunkus

Mazgų metodu raskite jėgą F_AC strype AC. Tempimą nurodykite teigiamu, gniuždymą – neigiamu.

tarpatramis = 6 maukštis = 2 mB yra 1 m nuo Avertikalioji apkrova = 50 kNhorizontalioji apkrova = 10 kN →

F_AC = kN

7.Rėmai ir mechanizmaiVidutinis

Parodytas kampinis svertas sukasi apie šarnyrą O. Vertikali 300 N jėga taške A (200 mm nuo O) subalansuota horizontalia jėga taške B (75 mm virš O). Raskite šarnyro reakcijos didumą F_O.

F = 300 NOA = 200 mmOB = 75 mm

F_O = N

8.Rėmai ir mechanizmaiSunkus

Alkūninio preso dvi vienodos jungtys AB ir BC yra po 200 mm ilgio tarp šarnyrų. Šarnyras B yra 25 mm virš tiesės AC. Kokia žemyn nukreipta jėga F taške B sukuria 4000 N horizontalią spaudimo jėgą ties slankikliu C? Nepaisykite trinties ir svorių.

Q = 4000 NAB = BC = 200 mmh = 25 mm

F = N

9.Skersinė jėga ir lenkimo momentasVidutinis

Gembė įtvirtinta taške A. Ją visu ilgiu veikia tolygiai išskirstyta apkrova w ir sutelktoji jėga P, esanti 1 m atstumu nuo A. Raskite lenkimo momentą M_A įtvirtinime A. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.

L = 5 mP = 70 kN ties 1 mw = 4 kN/m nuo 0 iki 5 m

M_A = kN·m

10.Skersinė jėga ir lenkimo momentasSunkus

Raskite lenkimo momentą M_x pjūvyje x = 5,5 m nuo atramos A. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.

L = 6 mP = 15 kN ties 2 mw = 12 kN/m nuo 0 iki 6 mx = 5,5 m

M_x = kN·m

11.Svorio centras ir inercijos momentasVidutinis

Simetriško dvitėjo skerspjūvio lentynos yra 140 mm pločio ir 18 mm storio, bendrasis aukštis 420 mm, o sienelės storis 6 mm. Raskite jo tamprųjį atsparumo momentą S_x lenkiant horizontaliosios centrinės ašies x atžvilgiu.

B = 140 mmH = 420 mmt_f = 18 mmt_w = 6 mm

S_x = × 10³ mm³

12.Svorio centras ir inercijos momentasSunkus

Tėjinis skerspjūvis naudojamas kaip sija su lentyna viršuje ir veikiamas teigiamo lenkimo momento 40 kN·m. Raskite lenkimo įtempio σ_viršus dydį viršutiniame krašte.

b_f = 160 mmt_f = 10 mmt_w = 12 mmh_w = 280 mmM = 40 kN·m

σ_viršus = MPa

3Tirpalai

1.Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandauga

Atsakymas: θ = 16,86 °

Skaliarinė sandauga: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, skaliaras. Ji duoda kampą tarp dviejų vektorių, cos θ = a·b/(|a|·|b|), ir lygi nuliui, kai vektoriai statmeni. Skaliarinė a projekcija į b yra a·b/|b|, o pastovi jėga F, poslinkiu d atliekanti darbą, atlieka darbą W = F·d.

Skaliarinė sandauga

a·b = 5·4 + (−3)·(−3) + (−3)·(−1) = 32

Moduliai

|a| = √(5² + (−3)² + (−3)²) = 6,557

|b| = √(4² + (−3)² + (−1)²) = 5,099

Kampas

cos θ = 32/(6,557·5,099) = 0,957

θ = arccos(0,957) = 16,86°

Atsakymas

θ = 16,86°

2.Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandauga

Atsakymas: M_z = 80 N·m

Vektorinė sandauga: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) yra statmena abiem vektoriams, o |a × b| = |a|·|b|·sin θ yra jų sudaryto lygiagretainio plotas (trikampio plotas yra pusė jo). Eilės tvarka svarbi: b × a = −(a × b). Jėgos F, veikiančios taške A, momentas taško O atžvilgiu yra M_O = r × F, kur r = A − O.

Padėties vektorius iš O į A

r = A − O = (1, 4, 3) − (0, 0, 0) = (1, 4, 3) m

Momentas M = r × F

(r × F)_x = r_yF_z − r_zF_y = 4·(−40) − 3·0 = −160 N·m

(r × F)_y = r_zF_x − r_xF_z = 3·(−20) − 1·(−40) = −20 N·m

(r × F)_z = r_xF_y − r_yF_x = 1·0 − 4·(−20) = 80 N·m

Prašoma komponentė

M_z = 80 N·m

Atsakymas

M_z = 80 N·m

3.Sijų atramų reakcijos

Atsakymas: R_A = 35,5 kN

Statinė pusiausvyra: rimties būsenos kūnui ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 ir ΣM = 0 bet kurio taško atžvilgiu. Imant momentus vienos atramos atžvilgiu, tos atramos reakcija dingsta iš lygties.

Laisvojo kūno diagrama

Atramas pakeiskite reakcijos jėgomis. Ritininė atrama duoda vieną vertikaliąją reakciją; kai apkrovos tik vertikalios, šarnyrinė atrama taip pat duoda vieną vertikaliąją reakciją.

Pusiausvyra

Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę. Tada vertikaliųjų jėgų pusiausvyra.

ΣM_A = 0: R_B·10 = 40·3 + 25·7

R_B = 295/10 = 29,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 65 − 29,5 = 35,5 kN

Atsakymas

R_A = 35,5 kN

4.Sijų atramų reakcijos

Atsakymas: M_A = 332 kN·m

Gembės pusiausvyra: įtvirtinimas gali stumti aukštyn ir priešintis posūkiui, todėl jame atsiranda vertikalioji reakcija R_A ir reakcijos momentas M_A. ΣF_y = 0 duoda R_A, o momentai sienos atžvilgiu duoda M_A = Σ(apkrova × atstumas nuo sienos). Išskirstytoji apkrova veikia kaip jos atstojamoji apkrovos diagramos svorio centre.

Trikampės apkrovos atstojamoji

W = ½·6·4 = 12 kN

x̄ = 2L/3 = 2,667 m

Momentas sienos atžvilgiu

M_A = W·x̄ + P·a = 12·2,667 + 75·4 = 332 kN·m

Atsakymas

M_A = 332 kN·m

5.Santvara: mazgų metodas

Atsakymas: F_AB = −11,6 kN

Mazgų metodas: kiekvienas santvaros mazgas yra pusiausvyroje, todėl kiekviename mazge ΣF_x = 0 ir ΣF_y = 0. Pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos. Neigiamas rezultatas reiškia, kad strypas gniuždomas.

Atramų reakcijos

Visos santvaros pusiausvyra. Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 15·1 → C_y = 3,75 kN

ΣF_y = 0: A_y = 15 − 3,75 = 11,25 kN

Mazgas A

Tarkite, kad kiekvienas strypas tempiamas (traukia nuo mazgo). Tik AB turi vertikaliąją dedamąją mazge A.

sin α = 4/4,123 = 0,9701

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −11,25/0,9701 = −11,6 kN

Atsakymas

F_AB = −11,6 kN (gniuždymas)

6.Santvara: mazgų metodas

Atsakymas: F_AC = 29,17 kN

Atramų reakcijos

Visos santvaros pusiausvyra. Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 50·1 + 10·2 → C_y = 11,67 kN

ΣF_y = 0: A_y = 50 − 11,67 = 38,33 kN

ΣF_x = 0: A_x = −10 kN

Mazgas C

Ritininė atrama duoda tik vertikaliąją reakciją, todėl mazge C yra tik dvi nežinomos strypų jėgos. Tarkite, kad abu tempiami.

sin γ = 2/5,385 = 0,3714, cos γ = 5/5,385 = 0,9285

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −11,67/0,3714 = −31,41 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−31,41)·0,9285 = 29,17 kN

Atsakymas

F_AC = 29,17 kN (tempimas)

7.Rėmai ir mechanizmai

Atsakymas: F_O = 854,4 N

Mechanizmai: replės, svertai, jungčių sistemos ir spaustuvai įėjimo jėgą paverčia didesne ar kitos krypties išėjimo jėga. Vieną dalį nubraižykite kaip laisvąjį kūną ir imkite momentus jos sukimosi ašies atžvilgiu: šarnyro jėga iškrenta, o F_in·a = F_out·b duoda mechaninį išlošį a/b. Šarnyro jėgą tada gaunate iš ΣF = 0 tai pačiai daliai. Alkūniniame mechanizme dvi jungtys susitinka mažu kampu θ; kiekviena jungtis yra dviejų jėgų strypas, todėl maža jėga F sandūroje sukuria dideles jungčių jėgas F/(2 sin θ) ir spaudimo jėgą F/(2 tan θ).

Jėga taške B

Q = 300·200/75 = 800 N

Šarnyro reakcija

O_x = 800 N, O_y = 300 N

F_O = √(800² + 300²) = 854,4 N

Atsakymas

F_O = 854,4 N

8.Rėmai ir mechanizmai

Atsakymas: F = 1008 N

Jungties kampas

sin θ = 25/200 = 0,125, θ = 7,181°

Jungties jėga

F_link = Q/cos θ = 4032 N

Jėga taške B

F = 2·F_link·sin θ = 2·4000·tan θ = 1008 N

Atsakymas

F = 1008 N

9.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: M_A = −120 kN·m

Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu.

Palikite dalį su laisvuoju galu

P: −70·1 = −70 kN·m

w: −4·5²/2 = −50 kN·m

M_A = −70 − 50 = −120 kN·m

Atsakymas

M_A = −120 kN·m

Neigiamas reiškia neigiamą lenkimą: tempiami viršutiniai sluoksniai.

10.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: M_x = 19 kN·m

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 12·6 = 72 kN, veikianti taške x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 15·2 + 12·6·3

R_B = 246/6 = 41 kN

ΣF_y = 0: R_A = 87 − 41 = 46 kN

Perpjaukite ties x = 5,5 m ir palikite kairiąją dalį

Įskaitomos tik jėgos kairiau pjūvio. Išskirstytosios apkrovos dalis veikia kaip viena jėga tos dalies viduryje.

M = R_A·x − (kiekviena apkrova kairiau pjūvio × jos atstumas iki pjūvio)

M_x = 46·5,5 − 15·(5,5 − 2) − 12·5,5·2,75 = 19 kN·m

Atsakymas

M_x = 19 kN·m

11.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: S_x = 1105 × 10³ mm³

Inercijos momentas: stačiakampio inercijos momentas jo centrinės ašies atžvilgiu I = bh³/12, o pagrindo atžvilgiu bh³/3 (Šteinerio teorema I = I_c + A·d²). Angą įskaitykite atimdami jos I, jei abi dalys turi tą pačią ašį. Tamprusis atsparumo momentas S = I/c, kur c – atstumas iki kraštinio sluoksnio.

Išorinis stačiakampis atėmus dvi šonines išpjovas

Abi išpjovos kartu yra (B − t_w) pločio ir h_w = H − 2t_f aukščio, o jų ašis ta pati – x.

h_w = 420 − 2·18 = 384 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (140·420³ − 134·384³)/12

I_x = 2,321 × 10⁸ mm⁴

Atsparumo momentas

c = H/2 = 210 mm

S_x = I/c = 2,321 × 10⁸/210

S_x = 1,105 × 10⁶ mm³ = 1105 × 10³ mm³

Atsakymas

S_x = 1105 × 10³ mm³

12.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: σ_viršus = 92,26 MPa

Sudėtiniai skerspjūviai: padalykite skerspjūvį į stačiakampius. Svorio centras yra plotais svertinis vidurkis ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Inercijos momentas centrinės ašies atžvilgiu sumuoja kiekvienos dalies nuosavą bh³/12 ir Šteinerio narį A·d², kur d – atstumas nuo dalies svorio centro iki bendro svorio centro. Lenkimo įtempis σ = M·y/I.

Padalykite į du stačiakampius

Kiekvieną y matuokite nuo apatinio krašto.

lentyna: A_f = 160·10 = 1600 mm², y_f = 280 + 10/2 = 285 mm

sienelė: A_w = 12·280 = 3360 mm², y_w = 280/2 = 140 mm

Svorio centras

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1600·285 + 3360·140)/4960 = 186,8 mm

Šteinerio teorema

lentyna: 160·10³/12 + 1600·(285 − 186,8)² = 1,545 × 10⁷ mm⁴

sienelė: 12·280³/12 + 3360·(140 − 186,8)² = 2,93 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,545 × 10⁷ + 2,93 × 10⁷ = 4,475 × 10⁷ mm⁴

Lenkimo įtempis

Viršutinis kraštas yra h − ȳ atstumu nuo ašies.

y = 290 − 186,8 = 103,2 mm

σ = M·y/I = 4 × 10⁷·103,2/4,475 × 10⁷ = 92,26 MPa

Atsakymas

σ_viršus = 92,26 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics