Vektorinę sandaugą naudokite statmeniems vektoriams, plotams ir momentams: atidžiai užrašykite tris komponentes, išlaikydami tvarką a × b.
Sijų atramų reakcijos
Pusiausvyra
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Tolygi apkrova
atstojamoji w·L apkrovos viduryje
Momentas
M = F·d
Metodas
Nubraižykite laisvojo kūno diagramą ir kiekvieną atramą pakeiskite jos reakcijomis.
Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite viena jėga, veikiančia jos svorio centre.
Momentų lygtį užrašykite vienos atramos atžvilgiu ir raskite kitos atramos reakciją.
Likusiai reakcijai rasti naudokite ΣFy = 0 ir patikrinkite antrąja momentų lygtimi.
Santvara: mazgų metodas
Mazgų metodas
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Pjūvių metodas
ΣM = 0 about a cut point
Strypo jėga
teigiama = tempimas, neigiama = gniuždymas
Metodas
Raskite visos santvaros atramų reakcijas.
Mazgų metodas: pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos, ir naudokite ΣFx = 0 ir ΣFy = 0.
Pjūvių metodas: perpjaukite per reikiamą strypą ir užrašykite momentų lygtį taško, kuriame susikerta kiti nežinomi strypai, atžvilgiu.
Tarkite, kad strypas tempiamas; neigiamas atsakymas reiškia gniuždymą.
Rėmai ir mechanizmai
Kiekvieno strypo pusiausvyra
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Dviejų jėgų strypas
jėga veikia tiese, einančia per jo du šarnyrus
Šarnyro jėga
vienodo didumo ir priešingos jėgos dviem sujungiamiems strypams
Šarnyro jėgos modulis
F = √(Fx² + Fy²)
Svertas, replės, kampinis svertas
Fin·a = Fout·b
Alkūninis mechanizmas
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Tolygi apkrova
atstojamoji w·L apkrovos viduryje
Metodas
Nubraižykite visą konstrukciją ir raskite atramų reakcijas, jei nežinomųjų ne daugiau kaip trys.
Raskite dviejų jėgų strypus: apkrauti tik dviejuose šarnyruose, jų jėga veikia tiese tarp tų šarnyrų.
Išardykite rėmą ir nubraižykite kiekvieną strypą atskirai; kur strypai susijungia, šarnyrų jėgos vienodo didumo ir priešingos krypties.
Kiekvienam strypui imkite momentus šarnyro, kuriame veikia nežinomos jėgos, atžvilgiu, tada naudokite ΣFx = 0 ir ΣFy = 0; komponentes į modulį sujunkite pačioje pabaigoje.
Skersinė jėga ir lenkimo momentas
Skersinė jėga ir momentas
V = ΣF vienoje pusėje, M = ΣF·d vienoje pusėje
Lenkimo įtempis
σ = M·y/I
Stačiakampis
I = bh³/12
Atsparumo momentas
W = I/ymax
Laisvai atremta, tolygi apkrova
Mmax = wL²/8
Metodas
Atramų reakcijas raskite iš visos sijos pusiausvyros.
Perpjaukite siją reikiamame pjūvyje ir palikite vieną pusę.
Skersinė jėga: tos pusės vertikaliųjų jėgų suma. Lenkimo momentas: jų momentų pjūvio atžvilgiu suma.
Didžiausiam momentui rasti nustatykite, kur skersinė jėga lygi nuliui.
Svorio centras ir inercijos momentas
Svorio centras
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Stačiakampis
I = bh³/12
Šteinerio teorema
I = Ic + A·d²
Sudėtinis skerspjūvis
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Uždaviniai
1.Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandaugaVidutinis
Raskite vektorių a = (−4, −4, 1) ir b = (−1, −7, 6) skaliarinę sandaugą a·b.
a = (−4, −4, 1)b = (−1, −7, 6)
a·b =
2.Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandaugaSunkus
Jėga F = (−10, −10, 30) N veikia taške A(2, −2, −1). Koordinatės pateiktos metrais. Raskite jėgos momento taško taškas O(2, 3, 2) atžvilgiu x komponentę Mx.
F = (−10, −10, 30) NA(2, −2, −1) mO(2, 3, 2) m
Mx = N·m
3.Sijų atramų reakcijosVidutinis
Laisvai atremta sija turi šarnyrinę atramą A ir ritininę atramą B. Ją veikia sutelktoji jėga P, esanti 1 m atstumu nuo A, ir jėgų pora M (pagal laikrodžio rodyklę), esanti 7 m atstumu nuo A. Raskite vertikaliąją reakciją RB, teigiama kryptimi laikydami kryptį aukštyn.
L = 10 mP = 35 kN ties 1 mM = 50 kN·m (pagal laikrodžio rodyklę) ties 7 m
RB = kN
4.Sijų atramų reakcijosSunkus
Laisvai atremta sija turi šarnyrinę atramą A ir ritininę atramą B. Raskite vertikaliąją atramos reakciją RB.
L = 4 mP = 60 kN ties 1,5 mw = 12 kN/m nuo 0 iki 4 m
tarpatramis = 5 maukštis = 4 mB yra 1 m nuo Avertikalioji apkrova = 35 kN
FBC = kN
6.Santvara: mazgų metodasSunkus
Mazgų metodu raskite jėgą FAB strype AB. Tempimą nurodykite teigiamu, gniuždymą – neigiamu.
tarpatramis = 6 maukštis = 2 mB yra 2 m nuo Avertikalioji apkrova = 40 kNhorizontalioji apkrova = 30 kN ←
FAB = kN
7.Rėmai ir mechanizmaiVidutinis
Parodytas A formos rėmas stovi ant šarnyrinės atramos A ir ritininės atramos B, nutolusių 3,2 m. Kojos susitinka šarnyre C, 2,4 m aukštyje, o horizontalus ryšys DE yra 1 m virš žemės. Taške C veikia 6 kN apkrova. Raskite jėgos C, kuria šarnyras C veikia koją BC, didumą.
P = 6 kNAB = 3,2 mC aukštis = 2,4 mDE aukštis = 1 m
C = kN
8.Rėmai ir mechanizmaiSunkus
Parodytas rėmas turi šarnyrus A, B ir C; A ir C pritvirtinti prie žemės 5 m atstumu, o B yra 3 m aukštyje ir 3 m į dešinę nuo A. Strypas AB neša vertikalią 20 kN apkrovą taške K, 0,75 m (horizontaliai) nuo A, o taške B strypą AB veikia horizontali 5 kN apkrova į dešinę. Raskite horizontaliosios reakcijos Ax taške A didumą.
P = 20 kNQ = 5 kNL = 5 mH = 3 mhorizontalus atstumas nuo A iki B = 3 mhorizontalus atstumas nuo A iki K = 0,75 m
Ax = kN
9.Skersinė jėga ir lenkimo momentasVidutinis
Žymės nuo A iki G padalija siją į šešias lygias dalis. Ties kuria žyme lenkimo momentas yra didžiausias dydžiu, įlenkiantis ar išlenkiantis? Spustelėkite ją diagramoje.
35 kN @ 2 m45 kN @ 3 m
1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)
10.Skersinė jėga ir lenkimo momentasSunkus
Žymės nuo A iki G padalija siją į šešias lygias dalis. Ties kuria žyme lenkimo momentas yra didžiausias dydžiu, įlenkiantis ar išlenkiantis? Spustelėkite ją diagramoje.
60 kN @ 0 m35 kN @ 12 m55 kN @ 4 m5 kN/m, 2–8 m
1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)
11.Svorio centras ir inercijos momentasVidutinis
Raskite tėjinio skerspjūvio inercijos momentą Ix horizontaliosios ašies x, einančios per svorio centrą, atžvilgiu.
bf = 260 mmtf = 20 mmtw = 16 mmhw = 220 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Svorio centras ir inercijos momentasSunkus
150 mm × 200 mm plokštė turi stačiakampį iškirpimą, 50 mm pločio ir 50 mm aukščio, vertikalioje simetrijos ašyje, kurio centras yra 130 mm virš apačios. Raskite ploto inercijos momentą Ix horizontaliosios ašies, einančios per svorio centrą, atžvilgiu.
b = 150 mmh = 200 mmiškirpimas: 50 × 50 mmskylės centras: y = 130 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
3Tirpalai
1.Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandauga
Atsakymas: a·b = 38
Skaliarinė sandauga:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, skaliaras. Ji duoda kampą tarp dviejų vektorių, cos θ = a·b/(|a|·|b|), ir lygi nuliui, kai vektoriai statmeni. Skaliarinė a projekcija į b yra a·b/|b|, o pastovi jėga F, poslinkiu d atliekanti darbą, atlieka darbą W = F·d.
Vektorinė sandauga:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) yra statmena abiem vektoriams, o |a × b| = |a|·|b|·sin θ yra jų sudaryto lygiagretainio plotas (trikampio plotas yra pusė jo). Eilės tvarka svarbi: b × a = −(a × b). Jėgos F, veikiančios taške A, momentas taško O atžvilgiu yra MO = r × F, kur r = A − O.
Padėties vektorius iš O į A
r = A − O = (2, −2, −1) − (2, 3, 2) = (0, −5, −3) m
Statinė pusiausvyra: rimties būsenos kūnui ΣFx = 0, ΣFy = 0 ir ΣM = 0 bet kurio taško atžvilgiu. Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite jos atstojamąja (diagramos plotu), veikiančia apkrovos diagramos svorio centre, ir imkite momentus atramos atžvilgiu, kad tos atramos reakcija dingtų iš lygties.
Momentai A atžvilgiu
Prieš laikrodžio rodyklę – teigiama.
ΣMA = 0: RB·10 − 35·1 − 50 = 0
RB = 85/10 = 8,5 kN
Vertikalioji pusiausvyra
RA = 35 − 8,5 = 26,5 kN
Atsakymas
RB = 8,5 kN
Neigiama reakcija nukreipta žemyn.
4.Sijų atramų reakcijos
Atsakymas: RB = 46,5 kN
Statinė pusiausvyra: rimties būsenos kūnui ΣFx = 0, ΣFy = 0 ir ΣM = 0 bet kurio taško atžvilgiu. Imant momentus vienos atramos atžvilgiu, tos atramos reakcija dingsta iš lygties.
Laisvojo kūno diagrama
Atramas pakeiskite reakcijos jėgomis. Ritininė atrama duoda vieną vertikaliąją reakciją; kai apkrovos tik vertikalios, šarnyrinė atrama taip pat duoda vieną vertikaliąją reakciją.
Pusiausvyra
Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę. Tada vertikaliųjų jėgų pusiausvyra.
Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 12·4 = 48 kN, veikianti taške x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 60·1,5 + 12·4·2
RB = 186/4 = 46,5 kN
ΣFy = 0: RA = 108 − 46,5 = 61,5 kN
Atsakymas
RB = 46,5 kN
5.Santvara: mazgų metodas
Atsakymas: FBC = −9,899 kN
Mazgų metodas: kiekvienas santvaros mazgas yra pusiausvyroje, todėl kiekviename mazge ΣFx = 0 ir ΣFy = 0. Pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos. Neigiamas rezultatas reiškia, kad strypas gniuždomas.
Atramų reakcijos
Visos santvaros pusiausvyra. Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę.
ΣMA = 0: Cy·5 = 35·1 → Cy = 7 kN
ΣFy = 0: Ay = 35 − 7 = 28 kN
Mazgas C
Ritininė atrama duoda tik vertikaliąją reakciją, todėl mazge C yra tik dvi nežinomos strypų jėgos. Tarkite, kad abu tempiami.
sin γ = 4/5,657 = 0,7071, cos γ = 4/5,657 = 0,7071
Mazgų metodas: kiekvienas santvaros mazgas yra pusiausvyroje, todėl kiekviename mazge ΣFx = 0 ir ΣFy = 0. Pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos. Neigiamas rezultatas reiškia, kad strypas gniuždomas.
Atramų reakcijos
Visos santvaros pusiausvyra. Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę.
ΣMA = 0: Cy·6 = 40·2 − 30·2 → Cy = 3,333 kN
ΣFy = 0: Ay = 40 − 3,333 = 36,67 kN
ΣFx = 0: Ax = 30 kN
Mazgas A
Tarkite, kad kiekvienas strypas tempiamas (traukia nuo mazgo). Tik AB turi vertikaliąją dedamąją mazge A.
sin α = 2/2,828 = 0,7071
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −36,67/0,7071 = −51,85 kN
Atsakymas
FAB = −51,85 kN (gniuždymas)
7.Rėmai ir mechanizmai
Atsakymas: C = 4,556 kN
Rėmai ir mechanizmai: skirtingai nei santvara, rėmas turi bent vieną strypą, kuris apkrautas daugiau nei dviejuose taškuose arba turi apkrovą tarp šarnyrų. Pirmiausia ieškokite dviejų jėgų strypų: strypo, apkrauto tik dviejuose šarnyruose, jėga veikia tiese per juos, todėl jis prideda vieną nežinomąjį, o ne du. Tada atramų reakcijoms naudokite visą konstrukciją, jei nežinomųjų ne daugiau kaip trys. Galiausiai išardykite rėmą: kiekvieną strypą nubraižykite atskirai, su vienodo didumo ir priešingomis šarnyrų jėgomis dviem juos jungiantiems strypams, ir užrašykite jam ΣFx = 0, ΣFy = 0 ir ΣM = 0. Imant momentus šarnyro atžvilgiu, abi to šarnyro jėgos komponentės iš lygties iškrenta.
Ryšio jėga iš kojos BC
By = 3 kN
T = 3·1,6/1,4 = 3,429 kN
Šarnyro jėgos komponentės, veikiančios BC
Cx = T = 3,429 kN, Cy = −By = −3 kN
Modulis
C = √(3,429² + 3²) = 4,556 kN
Atsakymas
C = 4,556 kN
8.Rėmai ir mechanizmai
Atsakymas: Ax = 1 kN
Rėmai ir mechanizmai: skirtingai nei santvara, rėmas turi bent vieną strypą, kuris apkrautas daugiau nei dviejuose taškuose arba turi apkrovą tarp šarnyrų. Pirmiausia ieškokite dviejų jėgų strypų: strypo, apkrauto tik dviejuose šarnyruose, jėga veikia tiese per juos, todėl jis prideda vieną nežinomąjį, o ne du. Tada atramų reakcijoms naudokite visą konstrukciją, jei nežinomųjų ne daugiau kaip trys. Galiausiai išardykite rėmą: kiekvieną strypą nubraižykite atskirai, su vienodo didumo ir priešingomis šarnyrų jėgomis dviem juos jungiantiems strypams, ir užrašykite jam ΣFx = 0, ΣFy = 0 ir ΣM = 0. Imant momentus šarnyro atžvilgiu, abi to šarnyro jėgos komponentės iš lygties iškrenta.
BC kryptis
BC = 3,606 m, cos = 0,5547, sin = 0,8321
Visas rėmas: momentai taško A atžvilgiu
FBC·0,8321·5 = 20·0,75 + 5·3
FBC = 7,211 kN
Horizontalioji pusiausvyra
Ax + 5 − 7,211·0,5547 = 0
Ax = −1 kN → |Ax| = 1 kN
Atsakymas
Ax = 1 kN
Minuso ženklas reiškia, kad Ax nukreiptas į kairę.
9.Skersinė jėga ir lenkimo momentas
Atsakymas: D (x = 3 m)
Didžiausias lenkimo momentas: M nuolydis keičiasi ten, kur keičiasi skersinė jėga, todėl jo viršūnės yra ten, kur skersinė jėga kerta nulį: po koncentruota apkrova, paskirstytos apkrovos viduje arba virš gembės atramos. Įtvirtintoje gembės atramoje momentas didžiausias prie sienos. Palyginkite M dydį tose vietose, įlenkiantį ar išlenkiantį.
Atramų reakcijos
Paimkite momentus apie vieną atramą, tada naudokite vertikalių jėgų balansą.
R1 = 45,83 kN, R2 = 34,17 kN
Lenkimo momentas ties kiekviena žyme
Susumuokite visų vienoje pjūvio pusėje esančių jėgų momentus. Įlenkiantis teigiamas, išlenkiantis neigiamas.
MA = 0, MB = 45,83, MC = 91,67, MD = 102,5 kN·m, ME = 68,33, MF = 34,17, MG = 0
Atsakymas
Žymė D: MD = 102,5 kN·m
10.Skersinė jėga ir lenkimo momentas
Atsakymas: E (x = 8 m)
Didžiausias lenkimo momentas: M nuolydis keičiasi ten, kur keičiasi skersinė jėga, todėl jo viršūnės yra ten, kur skersinė jėga kerta nulį: po koncentruota apkrova, paskirstytos apkrovos viduje arba virš gembės atramos. Įtvirtintoje gembės atramoje momentas didžiausias prie sienos. Palyginkite M dydį tose vietose, įlenkiantį ar išlenkiantį.
Atramų reakcijos
Paimkite momentus apie vieną atramą, tada naudokite vertikalių jėgų balansą.
R1 = 108,3 kN, R2 = 71,67 kN
Lenkimo momentas ties kiekviena žyme
Susumuokite visų vienoje pjūvio pusėje esančių jėgų momentus. Įlenkiantis teigiamas, išlenkiantis neigiamas.
MA = 0, MB = −120, MC = −33,33, MD = −76,67, ME = −140 kN·m, MF = −70, MG = 0
Atsakymas
Žymė E: ME = −140 kN·m
11.Svorio centras ir inercijos momentas
Atsakymas: Ix = 44,6 × 10⁶ mm⁴
Sudėtiniai skerspjūviai: padalykite skerspjūvį į stačiakampius. Svorio centras yra plotais svertinis vidurkis ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Inercijos momentas centrinės ašies atžvilgiu sumuoja kiekvienos dalies nuosavą bh³/12 ir Šteinerio narį A·d², kur d – atstumas nuo dalies svorio centro iki bendro svorio centro. Lenkimo įtempis σ = M·y/I.
Padalykite į du stačiakampius
Kiekvieną y matuokite nuo apatinio krašto.
lentyna: Af = 260·20 = 5200 mm², yf = 220 + 20/2 = 230 mm
sienelė: Aw = 16·220 = 3520 mm², yw = 220/2 = 110 mm
Pjūviai su skylėmis: skylę traktuokite kaip neigiamą plotą. Svorio centras yra ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), kai A₁, y₁ – pilnos plokštės, o A₂, y₂ – skylės. Ploto inercijos momentui centrinės ašies atžvilgiu kiekvienai daliai taikykite lygiagrečiųjų ašių (Šteinerio) teoremą ir skylę atimkite: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), kur d yra atstumas nuo kiekvienos dalies savojo svorio centro iki ašies, einančios per ȳ. Stačiakampio Ic = bh³/12, o skritulio Ic = πd⁴/64.
Svorio centras
ȳ = (30000·100 − 2500·130)/(30000 − 2500) = 97,27 mm