Statika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandauga

Modulis: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Vienetinis vektorius: û = a/|a|
Komponentės pagal kampą: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Skaliarinė sandauga: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a skaliarinė projekcija į b: a·b/|b|
Darbas: W = F·d
Vektorinė sandauga: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Plotai: lygiagretainis |a × b|, trikampis ½|a × b|
Momentas taško O atžvilgiu: M_O = r × F, r = A − O
Gretasienio tūris: V = |a·(b × c)|

Metodas

Kiekvieną vektorių užrašykite komponentėmis; jėgai, pateiktai moduliu ir kampu, naudokite F·cos θ ir F·sin θ.
Ilgiams ir kryptims naudokite modulį √(x² + y² + z²) ir vienetinį vektorių a/|a|.
Skaliarinę sandaugą naudokite kampams, projekcijoms, statmenumui ir darbui: a·b = |a||b|cos θ.
Vektorinę sandaugą naudokite statmeniems vektoriams, plotams ir momentams: atidžiai užrašykite tris komponentes, išlaikydami tvarką a × b.

Sijų atramų reakcijos

Pusiausvyra: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Tolygi apkrova: atstojamoji w·L apkrovos viduryje
Momentas: M = F·d

Metodas

Nubraižykite laisvojo kūno diagramą ir kiekvieną atramą pakeiskite jos reakcijomis.
Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite viena jėga, veikiančia jos svorio centre.
Momentų lygtį užrašykite vienos atramos atžvilgiu ir raskite kitos atramos reakciją.
Likusiai reakcijai rasti naudokite ΣF_y = 0 ir patikrinkite antrąja momentų lygtimi.

Santvara: mazgų metodas

Mazgų metodas: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Pjūvių metodas: ΣM = 0 about a cut point
Strypo jėga: teigiama = tempimas, neigiama = gniuždymas

Metodas

Raskite visos santvaros atramų reakcijas.
Mazgų metodas: pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos, ir naudokite ΣF_x = 0 ir ΣF_y = 0.
Pjūvių metodas: perpjaukite per reikiamą strypą ir užrašykite momentų lygtį taško, kuriame susikerta kiti nežinomi strypai, atžvilgiu.
Tarkite, kad strypas tempiamas; neigiamas atsakymas reiškia gniuždymą.

Rėmai ir mechanizmai

Kiekvieno strypo pusiausvyra: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Dviejų jėgų strypas: jėga veikia tiese, einančia per jo du šarnyrus
Šarnyro jėga: vienodo didumo ir priešingos jėgos dviem sujungiamiems strypams
Šarnyro jėgos modulis: F = √(F_x² + F_y²)
Svertas, replės, kampinis svertas: F_in·a = F_out·b
Alkūninis mechanizmas: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Tolygi apkrova: atstojamoji w·L apkrovos viduryje

Metodas

Nubraižykite visą konstrukciją ir raskite atramų reakcijas, jei nežinomųjų ne daugiau kaip trys.
Raskite dviejų jėgų strypus: apkrauti tik dviejuose šarnyruose, jų jėga veikia tiese tarp tų šarnyrų.
Išardykite rėmą ir nubraižykite kiekvieną strypą atskirai; kur strypai susijungia, šarnyrų jėgos vienodo didumo ir priešingos krypties.
Kiekvienam strypui imkite momentus šarnyro, kuriame veikia nežinomos jėgos, atžvilgiu, tada naudokite ΣF_x = 0 ir ΣF_y = 0; komponentes į modulį sujunkite pačioje pabaigoje.

Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Skersinė jėga ir momentas: V = ΣF vienoje pusėje, M = ΣF·d vienoje pusėje
Lenkimo įtempis: σ = M·y/I
Stačiakampis: I = bh³/12
Atsparumo momentas: W = I/y_max
Laisvai atremta, tolygi apkrova: M_max = wL²/8

Metodas

Atramų reakcijas raskite iš visos sijos pusiausvyros.
Perpjaukite siją reikiamame pjūvyje ir palikite vieną pusę.
Skersinė jėga: tos pusės vertikaliųjų jėgų suma. Lenkimo momentas: jų momentų pjūvio atžvilgiu suma.
Didžiausiam momentui rasti nustatykite, kur skersinė jėga lygi nuliui.

Svorio centras ir inercijos momentas

Svorio centras: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Stačiakampis: I = bh³/12
Šteinerio teorema: I = I_c + A·d²
Sudėtinis skerspjūvis: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Uždaviniai

1.Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandaugaVidutinis

Raskite k reikšmę, su kuria vektoriai a = (−4, −4, 5) ir b = (−2, k, 1) yra statmeni.

a = (−4, −4, 5)b = (−2, k, 1)

k =

2.Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandaugaSunkus

Kai a = (0, −5, 4) ir b = (4, 6, 5), raskite vektorinės sandaugos a × b y komponentę (a × b)_y.

a = (0, −5, 4)b = (4, 6, 5)

(a × b)_y =

3.Sijų atramų reakcijosVidutinis

Laisvai atremta sija turi šarnyrinę atramą A ir ritininę atramą B. Raskite vertikaliąją atramos reakciją R_A.

L = 8 mP₁ = 60 kN ties 4 mP₂ = 35 kN ties 5 m

R_A = kN

4.Sijų atramų reakcijosSunkus

Sudėtinė sija taške A įtvirtinta sienoje, turi vidinį šarnyrą C (2,5 m nuo A) ir remiasi į ritininę atramą D (6 m nuo A). Ją veikia sutelktoji jėga P, esanti 3 m atstumu nuo A, tolygiai išskirstyta apkrova w visoje dalyje CD ir sutelktoji jėga Q, esanti 1 m atstumu nuo A. Raskite reakcijos momento sienoje didumą M_A.

AC = 2,5 mAD = 6 mP = 20 kN ties 3 mw = 2 kN/m nuo 2,5 iki 6 mQ = 80 kN ties 1 m

M_A = kN·m

5.Santvara: mazgų metodasVidutinis

Mazgų metodu raskite jėgą F_AC strype AC. Tempimą nurodykite teigiamu, gniuždymą – neigiamu.

tarpatramis = 5 maukštis = 2 mB yra 1 m nuo Avertikalioji apkrova = 60 kN

F_AC = kN

6.Santvara: mazgų metodasSunkus

Mazgų metodu raskite jėgą F_AC strype AC. Tempimą nurodykite teigiamu, gniuždymą – neigiamu.

tarpatramis = 8 maukštis = 3 mB yra 5 m nuo Avertikalioji apkrova = 10 kNhorizontalioji apkrova = 15 kN →

F_AC = kN

7.Rėmai ir mechanizmaiVidutinis

Parodytas kampinis svertas sukasi apie šarnyrą O. Vertikali 50 N jėga taške A (300 mm nuo O) subalansuota horizontalia jėga taške B (60 mm virš O). Raskite šarnyro reakcijos didumą F_O.

F = 50 NOA = 300 mmOB = 60 mm

F_O = N

8.Rėmai ir mechanizmaiSunkus

Alkūninio preso dvi vienodos jungtys AB ir BC yra po 150 mm ilgio tarp šarnyrų. Šarnyras B yra 12 mm virš tiesės AC. Kokia žemyn nukreipta jėga F taške B sukuria 1000 N horizontalią spaudimo jėgą ties slankikliu C? Nepaisykite trinties ir svorių.

Q = 1000 NAB = BC = 150 mmh = 12 mm

F = N

9.Skersinė jėga ir lenkimo momentasVidutinis

Žymės nuo A iki G padalija siją į šešias lygias dalis. Ties kuria žyme lenkimo momentas yra didžiausias dydžiu, įlenkiantis ar išlenkiantis? Spustelėkite ją diagramoje.

40 kN @ 4 m30 kN @ 5 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

10.Skersinė jėga ir lenkimo momentasSunkus

Laisvai atremta sija dalyje tarpatramio apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova. Raskite atstumą x₀ nuo A iki pjūvio, kuriame lenkimo momentas didžiausias.

L = 4 mw = 20 kN/m nuo 1 iki 4 m

x₀ = m

11.Svorio centras ir inercijos momentasVidutinis

Raskite tėjinio skerspjūvio inercijos momentą I_x horizontaliosios ašies x, einančios per svorio centrą, atžvilgiu.

b_f = 100 mmt_f = 30 mmt_w = 12 mmh_w = 220 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Svorio centras ir inercijos momentasSunkus

Suvirinto dvitėjo skerspjūvio viršutinė lentyna yra 180 × 12 mm, sienelė 360 mm aukščio ir 10 mm storio, o apatinė lentyna 290 × 16 mm (plotis × storis). Raskite jo inercijos momentą I_x horizontaliosios ašies x, einančios per svorio centrą, atžvilgiu.

viršutinė lentyna: 180 × 12 mmsienelė: 10 × 360 mmapatinė lentyna: 290 × 16 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3Tirpalai

1.Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandauga

Atsakymas: k = 3,25

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Skaliarinė sandauga lygi nuliui

a·b = (−4)·(−2) + (−4)·k + 5·1 = 0

13 + (−4)·k = 0

Išspręskite k atžvilgiu

k = −13/(−4) = 3,25

Atsakymas

k = 3,25

2.Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandauga

Atsakymas: (a × b)_y = 16

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Vektorinė sandauga komponentėmis

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = (−5)·5 − 4·6 = −49

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = 4·4 − 0·5 = 16

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = 0·6 − (−5)·4 = 20

Prašoma komponentė

(a × b)_y = 16

Atsakymas

(a × b)_y = 16

Patikra: a × b yra statmena abiem vektoriams, todėl jos skaliarinė sandauga su a ir su b lygi nuliui.

3.Sijų atramų reakcijos

Atsakymas: R_A = 43,13 kN

Statinė pusiausvyra: rimties būsenos kūnui ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 ir ΣM = 0 bet kurio taško atžvilgiu. Imant momentus vienos atramos atžvilgiu, tos atramos reakcija dingsta iš lygties.

Laisvojo kūno diagrama

Atramas pakeiskite reakcijos jėgomis. Ritininė atrama duoda vieną vertikaliąją reakciją; kai apkrovos tik vertikalios, šarnyrinė atrama taip pat duoda vieną vertikaliąją reakciją.

Pusiausvyra

Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę. Tada vertikaliųjų jėgų pusiausvyra.

ΣM_A = 0: R_B·8 = 60·4 + 35·5

R_B = 415/8 = 51,88 kN

ΣF_y = 0: R_A = 95 − 51,88 = 43,13 kN

Atsakymas

R_A = 43,13 kN

4.Sijų atramų reakcijos

Atsakymas: M_A = 131,6 kN·m

Statinė pusiausvyra: rimties būsenos kūnui ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 ir ΣM = 0 bet kurio taško atžvilgiu. Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite jos atstojamąja (diagramos plotu), veikiančia apkrovos diagramos svorio centre, ir imkite momentus atramos atžvilgiu, kad tos atramos reakcija dingtų iš lygties. Vidinis šarnyras negali perduoti lenkimo momento, todėl gaunama viena papildoma lygtis: bet kurios pusės jėgų momentas šarnyro atžvilgiu lygus nuliui.

Dalis CD

Šarnyre momento nėra, todėl vien dalies CD momentai taško C atžvilgiu turi būti pusiausviri.

W = 2·3,5 = 7 kN ties 1,75 m nuo C

ΣM_C = 0: R_D·3,5 = 20·0,5 + 7·1,75

R_D = 6,357 kN

V_C = 27 − 6,357 = 20,64 kN

Dalis AC

Šarnyro jėga V_C dalį AC veikia žemyn (lygi ir priešinga jos poveikiui daliai CD).

R_A = 80 + 20,64 = 100,6 kN

M_A = 80·1 + 20,64·2,5 = 131,6 kN·m

Atsakymas

M_A = 131,6 kN·m

5.Santvara: mazgų metodas

Atsakymas: F_AC = 24 kN

Mazgų metodas: kiekvienas santvaros mazgas yra pusiausvyroje, todėl kiekviename mazge ΣF_x = 0 ir ΣF_y = 0. Pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos. Neigiamas rezultatas reiškia, kad strypas gniuždomas.

Atramų reakcijos

Visos santvaros pusiausvyra. Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 60·1 → C_y = 12 kN

ΣF_y = 0: A_y = 60 − 12 = 48 kN

Mazgas C

Ritininė atrama duoda tik vertikaliąją reakciją, todėl mazge C yra tik dvi nežinomos strypų jėgos. Tarkite, kad abu tempiami.

sin γ = 2/4,472 = 0,4472, cos γ = 4/4,472 = 0,8944

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −12/0,4472 = −26,83 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−26,83)·0,8944 = 24 kN

Atsakymas

F_AC = 24 kN (tempimas)

6.Santvara: mazgų metodas

Atsakymas: F_AC = 11,88 kN

Atramų reakcijos

Visos santvaros pusiausvyra. Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 10·5 + 15·3 → C_y = 11,88 kN

ΣF_y = 0: A_y = 10 − 11,88 = −1,875 kN

ΣF_x = 0: A_x = −15 kN

Mazgas C

Ritininė atrama duoda tik vertikaliąją reakciją, todėl mazge C yra tik dvi nežinomos strypų jėgos. Tarkite, kad abu tempiami.

sin γ = 3/4,243 = 0,7071, cos γ = 3/4,243 = 0,7071

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −11,88/0,7071 = −16,79 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−16,79)·0,7071 = 11,88 kN

Atsakymas

F_AC = 11,88 kN (tempimas)

7.Rėmai ir mechanizmai

Atsakymas: F_O = 255 N

Mechanizmai: replės, svertai, jungčių sistemos ir spaustuvai įėjimo jėgą paverčia didesne ar kitos krypties išėjimo jėga. Vieną dalį nubraižykite kaip laisvąjį kūną ir imkite momentus jos sukimosi ašies atžvilgiu: šarnyro jėga iškrenta, o F_in·a = F_out·b duoda mechaninį išlošį a/b. Šarnyro jėgą tada gaunate iš ΣF = 0 tai pačiai daliai. Alkūniniame mechanizme dvi jungtys susitinka mažu kampu θ; kiekviena jungtis yra dviejų jėgų strypas, todėl maža jėga F sandūroje sukuria dideles jungčių jėgas F/(2 sin θ) ir spaudimo jėgą F/(2 tan θ).

Jėga taške B

Q = 50·300/60 = 250 N

Šarnyro reakcija

O_x = 250 N, O_y = 50 N

F_O = √(250² + 50²) = 255 N

Atsakymas

F_O = 255 N

8.Rėmai ir mechanizmai

Atsakymas: F = 160,5 N

Jungties kampas

sin θ = 12/150 = 0,08, θ = 4,589°

Jungties jėga

F_link = Q/cos θ = 1003 N

Jėga taške B

F = 2·F_link·sin θ = 2·1000·tan θ = 160,5 N

Atsakymas

F = 160,5 N

9.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: E (x = 4 m)

Didžiausias lenkimo momentas: M nuolydis keičiasi ten, kur keičiasi skersinė jėga, todėl jo viršūnės yra ten, kur skersinė jėga kerta nulį: po koncentruota apkrova, paskirstytos apkrovos viduje arba virš gembės atramos. Įtvirtintoje gembės atramoje momentas didžiausias prie sienos. Palyginkite M dydį tose vietose, įlenkiantį ar išlenkiantį.

Atramų reakcijos

Paimkite momentus apie vieną atramą, tada naudokite vertikalių jėgų balansą.

R₁ = 18,33 kN, R₂ = 51,67 kN

Lenkimo momentas ties kiekviena žyme

Susumuokite visų vienoje pjūvio pusėje esančių jėgų momentus. Įlenkiantis teigiamas, išlenkiantis neigiamas.

M_A = 0, M_B = 18,33, M_C = 36,67, M_D = 55, M_E = 73,33 kN·m, M_F = 51,67, M_G = 0

Atsakymas

Žymė E: M_E = 73,33 kN·m

10.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: x₀ = 2,125 m

Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu. Didžiausias momentas: kadangi dM/dx = V, lenkimo momentas didžiausias ten, kur skersinė jėga eina per nulį – sutelktosios jėgos vietoje arba išskirstytosios apkrovos ruože.

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 20·3 = 60 kN, veikianti taške x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 20·3·2,5

R_B = 150/4 = 37,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 37,5 = 22,5 kN

Nulinė skersinė jėga

Skersinė jėga prasideda nuo R_A, neapkrautuose ruožuose išlieka pastovi, o apkrovos ruože mažėja nuolydžiu w.

R_A − w·(x₀ − 1) = 0

x₀ = 1 + 22,5/20 = 2,125 m

Atsakymas

x₀ = 2,125 m

11.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: I_x = 32,81 × 10⁶ mm⁴

Sudėtiniai skerspjūviai: padalykite skerspjūvį į stačiakampius. Svorio centras yra plotais svertinis vidurkis ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Inercijos momentas centrinės ašies atžvilgiu sumuoja kiekvienos dalies nuosavą bh³/12 ir Šteinerio narį A·d², kur d – atstumas nuo dalies svorio centro iki bendro svorio centro. Lenkimo įtempis σ = M·y/I.

Padalykite į du stačiakampius

Kiekvieną y matuokite nuo apatinio krašto.

lentyna: A_f = 100·30 = 3000 mm², y_f = 220 + 30/2 = 235 mm

sienelė: A_w = 12·220 = 2640 mm², y_w = 220/2 = 110 mm

Svorio centras

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3000·235 + 2640·110)/5640 = 176,5 mm

Šteinerio teorema

lentyna: 100·30³/12 + 3000·(235 − 176,5)² = 1,05 × 10⁷ mm⁴

sienelė: 12·220³/12 + 2640·(110 − 176,5)² = 2,232 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,05 × 10⁷ + 2,232 × 10⁷ = 3,281 × 10⁷ mm⁴ = 32,81 × 10⁶ mm⁴

Atsakymas

I_x = 32,81 × 10⁶ mm⁴

12.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: I_x = 256,4 × 10⁶ mm⁴

Padalykite į tris stačiakampius

Kiekvieną y matuokite nuo apatinio krašto.

viršutinė lentyna: A = 2160 mm², y = 382 mm

sienelė: A = 3600 mm², y = 196 mm

apatinė lentyna: A = 4640 mm², y = 8 mm

Svorio centras

ȳ = (2160·382 + 3600·196 + 4640·8)/10400 = 150,8 mm

Šteinerio teorema

viršutinė lentyna: 180·12³/12 + 2160·231,2² = 1,155 × 10⁸ mm⁴

sienelė: 10·360³/12 + 3600·45,25² = 4,625 × 10⁷ mm⁴

apatinė lentyna: 290·16³/12 + 4640·142,8² = 9,466 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,155 × 10⁸ + 4,625 × 10⁷ + 9,466 × 10⁷

I_x = 2,564 × 10⁸ mm⁴ = 256,4 × 10⁶ mm⁴

Atsakymas

I_x = 256,4 × 10⁶ mm⁴

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics