Vektorinę sandaugą naudokite statmeniems vektoriams, plotams ir momentams: atidžiai užrašykite tris komponentes, išlaikydami tvarką a × b.
Sijų atramų reakcijos
Pusiausvyra
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Tolygi apkrova
atstojamoji w·L apkrovos viduryje
Momentas
M = F·d
Metodas
Nubraižykite laisvojo kūno diagramą ir kiekvieną atramą pakeiskite jos reakcijomis.
Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite viena jėga, veikiančia jos svorio centre.
Momentų lygtį užrašykite vienos atramos atžvilgiu ir raskite kitos atramos reakciją.
Likusiai reakcijai rasti naudokite ΣFy = 0 ir patikrinkite antrąja momentų lygtimi.
Santvara: mazgų metodas
Mazgų metodas
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Pjūvių metodas
ΣM = 0 about a cut point
Strypo jėga
teigiama = tempimas, neigiama = gniuždymas
Metodas
Raskite visos santvaros atramų reakcijas.
Mazgų metodas: pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos, ir naudokite ΣFx = 0 ir ΣFy = 0.
Pjūvių metodas: perpjaukite per reikiamą strypą ir užrašykite momentų lygtį taško, kuriame susikerta kiti nežinomi strypai, atžvilgiu.
Tarkite, kad strypas tempiamas; neigiamas atsakymas reiškia gniuždymą.
Rėmai ir mechanizmai
Kiekvieno strypo pusiausvyra
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Dviejų jėgų strypas
jėga veikia tiese, einančia per jo du šarnyrus
Šarnyro jėga
vienodo didumo ir priešingos jėgos dviem sujungiamiems strypams
Šarnyro jėgos modulis
F = √(Fx² + Fy²)
Svertas, replės, kampinis svertas
Fin·a = Fout·b
Alkūninis mechanizmas
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Tolygi apkrova
atstojamoji w·L apkrovos viduryje
Metodas
Nubraižykite visą konstrukciją ir raskite atramų reakcijas, jei nežinomųjų ne daugiau kaip trys.
Raskite dviejų jėgų strypus: apkrauti tik dviejuose šarnyruose, jų jėga veikia tiese tarp tų šarnyrų.
Išardykite rėmą ir nubraižykite kiekvieną strypą atskirai; kur strypai susijungia, šarnyrų jėgos vienodo didumo ir priešingos krypties.
Kiekvienam strypui imkite momentus šarnyro, kuriame veikia nežinomos jėgos, atžvilgiu, tada naudokite ΣFx = 0 ir ΣFy = 0; komponentes į modulį sujunkite pačioje pabaigoje.
Skersinė jėga ir lenkimo momentas
Skersinė jėga ir momentas
V = ΣF vienoje pusėje, M = ΣF·d vienoje pusėje
Lenkimo įtempis
σ = M·y/I
Stačiakampis
I = bh³/12
Atsparumo momentas
W = I/ymax
Laisvai atremta, tolygi apkrova
Mmax = wL²/8
Metodas
Atramų reakcijas raskite iš visos sijos pusiausvyros.
Perpjaukite siją reikiamame pjūvyje ir palikite vieną pusę.
Skersinė jėga: tos pusės vertikaliųjų jėgų suma. Lenkimo momentas: jų momentų pjūvio atžvilgiu suma.
Didžiausiam momentui rasti nustatykite, kur skersinė jėga lygi nuliui.
Svorio centras ir inercijos momentas
Svorio centras
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Stačiakampis
I = bh³/12
Šteinerio teorema
I = Ic + A·d²
Sudėtinis skerspjūvis
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Uždaviniai
1.Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandaugaVidutinis
Raskite vektorių a = (−2, 0, −4) ir b = (−2, 7, −2) skaliarinę sandaugą a·b.
a = (−2, 0, −4)b = (−2, 7, −2)
a·b =
2.Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandaugaSunkus
Raskite lygiagretainio, sudaryto vektorių a = (5, 2, 1) ir b = (2, 0, −1), plotą A.
a = (5, 2, 1)b = (2, 0, −1)
A =
3.Sijų atramų reakcijosVidutinis
Laisvai atremta sija turi šarnyrinę atramą A ir ritininę atramą B. Ją veikia sutelktoji jėga P, esanti 4 m atstumu nuo A, ir jėgų pora M (pagal laikrodžio rodyklę), esanti 2,5 m atstumu nuo A. Raskite vertikaliąją reakciją RA, teigiama kryptimi laikydami kryptį aukštyn.
L = 5 mP = 50 kN ties 4 mM = 25 kN·m (pagal laikrodžio rodyklę) ties 2,5 m
RA = kN
4.Sijų atramų reakcijosSunkus
Sudėtinė sija taške A įtvirtinta sienoje, turi vidinį šarnyrą C (3,5 m nuo A) ir remiasi į ritininę atramą D (6 m nuo A). Ją veikia sutelktoji jėga P, esanti 5 m atstumu nuo A. Raskite ritininės atramos reakciją RD.
tarpatramis = 6 maukštis = 2 mB yra 2 m nuo Avertikalioji apkrova = 50 kNhorizontalioji apkrova = 10 kN →
FAC = kN
7.Rėmai ir mechanizmaiVidutinis
Parodytas kampinis svertas sukasi apie šarnyrą O. Vertikali 200 N jėga taške A (100 mm nuo O) subalansuota horizontalia jėga taške B (100 mm virš O). Raskite šarnyro reakcijos didumą FO.
F = 200 NOA = 100 mmOB = 100 mm
FO = N
8.Rėmai ir mechanizmaiSunkus
Parodytas A formos rėmas stovi ant šarnyrinės atramos A ir ritininės atramos B, nutolusių 4,8 m, jo viršūnės šarnyras C yra 4,5 m aukštyje, o horizontalus ryšys DE – 1 m virš žemės. Vertikali 8 kN apkrova veikia koją AC taške K, 1,2 m (horizontaliai) nuo A. Raskite jėgos C, kuria šarnyras C veikia koją BC, didumą.
P = 8 kNAB = 4,8 mC aukštis = 4,5 mDE aukštis = 1 mhorizontalus atstumas nuo A iki K = 1,2 m
C = kN
9.Skersinė jėga ir lenkimo momentasVidutinis
Sija remiasi į šarnyrinę atramą A ir ritininę atramą B, o už B tęsiasi 1,5 m ilgio konsolė iki laisvojo galo C. Ją veikia sutelktoji jėga P1 tarp atramų ir sutelktoji jėga P2 taške C. Raskite lenkimo momentą Mx po apkrova P1. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.
L = 9,5 mP1 = 75 kN ties 2 mP2 = 55 kN ties 9,5 matramos ties x = 0 ir x = 8 m
Mx = kN·m
10.Skersinė jėga ir lenkimo momentasSunkus
Raskite lenkimo momentą Mx pjūvyje x = 3 m nuo atramos A. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.
L = 6 mP = 60 kN ties 2 mw = 6 kN/m nuo 0 iki 6 mx = 3 m
Mx = kN·m
11.Svorio centras ir inercijos momentasVidutinis
Lovinis skerspjūvis atvira puse į viršų: 120 mm pločio pagrindo plokštė su dviem vertikaliomis lentynomis, bendrasis aukštis 130 mm. Pagrindo ir lentynų storis vienodas – 14 mm. Raskite svorio centro aukštį ȳ virš apatinės kraštinės.
b = 120 mmh = 130 mmt = 14 mm
ȳ = mm
12.Svorio centras ir inercijos momentasSunkus
Tėjinis skerspjūvis naudojamas kaip sija su lentyna viršuje ir veikiamas teigiamo lenkimo momento 50 kN·m. Raskite lenkimo įtempį σapačia apatiniame krašte.
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
Vektorinė sandauga
(a × b)x = aybz − azby = 2·(−1) − 1·0 = −2
(a × b)y = azbx − axbz = 1·2 − 5·(−1) = 7
(a × b)z = axby − aybx = 5·0 − 2·2 = −4
Plotas
A = |a × b| = √((−2)² + 7² + (−4)²) = 8,307
Atsakymas
A = 8,307
3.Sijų atramų reakcijos
Atsakymas: RA = 5 kN
Statinė pusiausvyra: rimties būsenos kūnui ΣFx = 0, ΣFy = 0 ir ΣM = 0 bet kurio taško atžvilgiu. Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite jos atstojamąja (diagramos plotu), veikiančia apkrovos diagramos svorio centre, ir imkite momentus atramos atžvilgiu, kad tos atramos reakcija dingtų iš lygties.
Momentai A atžvilgiu
Prieš laikrodžio rodyklę – teigiama.
ΣMA = 0: RB·5 − 50·4 − 25 = 0
RB = 225/5 = 45 kN
Vertikalioji pusiausvyra
RA = 50 − 45 = 5 kN
Atsakymas
RA = 5 kN
Neigiama reakcija nukreipta žemyn.
4.Sijų atramų reakcijos
Atsakymas: RD = 42 kN
Statinė pusiausvyra: rimties būsenos kūnui ΣFx = 0, ΣFy = 0 ir ΣM = 0 bet kurio taško atžvilgiu. Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite jos atstojamąja (diagramos plotu), veikiančia apkrovos diagramos svorio centre, ir imkite momentus atramos atžvilgiu, kad tos atramos reakcija dingtų iš lygties. Vidinis šarnyras negali perduoti lenkimo momento, todėl gaunama viena papildoma lygtis: bet kurios pusės jėgų momentas šarnyro atžvilgiu lygus nuliui.
Dalis CD
Šarnyre momento nėra, todėl vien dalies CD momentai taško C atžvilgiu turi būti pusiausviri.
ΣMC = 0: RD·2,5 = 70·1,5
RD = 42 kN
VC = 70 − 42 = 28 kN
Atsakymas
RD = 42 kN
5.Santvara: mazgų metodas
Atsakymas: FAC = 5,208 kN
Mazgų metodas: kiekvienas santvaros mazgas yra pusiausvyroje, todėl kiekviename mazge ΣFx = 0 ir ΣFy = 0. Pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos. Neigiamas rezultatas reiškia, kad strypas gniuždomas.
Atramų reakcijos
Visos santvaros pusiausvyra. Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę.
ΣMA = 0: Cy·6 = 25·1 → Cy = 4,167 kN
ΣFy = 0: Ay = 25 − 4,167 = 20,83 kN
Mazgas C
Ritininė atrama duoda tik vertikaliąją reakciją, todėl mazge C yra tik dvi nežinomos strypų jėgos. Tarkite, kad abu tempiami.
sin γ = 4/6,403 = 0,6247, cos γ = 5/6,403 = 0,7809
Mazgų metodas: kiekvienas santvaros mazgas yra pusiausvyroje, todėl kiekviename mazge ΣFx = 0 ir ΣFy = 0. Pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos. Neigiamas rezultatas reiškia, kad strypas gniuždomas.
Atramų reakcijos
Visos santvaros pusiausvyra. Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę.
ΣMA = 0: Cy·6 = 50·2 + 10·2 → Cy = 20 kN
ΣFy = 0: Ay = 50 − 20 = 30 kN
ΣFx = 0: Ax = −10 kN
Mazgas C
Ritininė atrama duoda tik vertikaliąją reakciją, todėl mazge C yra tik dvi nežinomos strypų jėgos. Tarkite, kad abu tempiami.
sin γ = 2/4,472 = 0,4472, cos γ = 4/4,472 = 0,8944
Mechanizmai: replės, svertai, jungčių sistemos ir spaustuvai įėjimo jėgą paverčia didesne ar kitos krypties išėjimo jėga. Vieną dalį nubraižykite kaip laisvąjį kūną ir imkite momentus jos sukimosi ašies atžvilgiu: šarnyro jėga iškrenta, o Fin·a = Fout·b duoda mechaninį išlošį a/b. Šarnyro jėgą tada gaunate iš ΣF = 0 tai pačiai daliai. Alkūniniame mechanizme dvi jungtys susitinka mažu kampu θ; kiekviena jungtis yra dviejų jėgų strypas, todėl maža jėga F sandūroje sukuria dideles jungčių jėgas F/(2 sin θ) ir spaudimo jėgą F/(2 tan θ).
Jėga taške B
Q = 200·100/100 = 200 N
Šarnyro reakcija
Ox = 200 N, Oy = 200 N
FO = √(200² + 200²) = 282,8 N
Atsakymas
FO = 282,8 N
8.Rėmai ir mechanizmai
Atsakymas: C = 2,425 kN
Rėmai ir mechanizmai: skirtingai nei santvara, rėmas turi bent vieną strypą, kuris apkrautas daugiau nei dviejuose taškuose arba turi apkrovą tarp šarnyrų. Pirmiausia ieškokite dviejų jėgų strypų: strypo, apkrauto tik dviejuose šarnyruose, jėga veikia tiese per juos, todėl jis prideda vieną nežinomąjį, o ne du. Tada atramų reakcijoms naudokite visą konstrukciją, jei nežinomųjų ne daugiau kaip trys. Galiausiai išardykite rėmą: kiekvieną strypą nubraižykite atskirai, su vienodo didumo ir priešingomis šarnyrų jėgomis dviem juos jungiantiems strypams, ir užrašykite jam ΣFx = 0, ΣFy = 0 ir ΣM = 0. Imant momentus šarnyro atžvilgiu, abi to šarnyro jėgos komponentės iš lygties iškrenta.
Atramos B reakcija
By = 8·1,2/4,8 = 2 kN
Ryšio jėga
T = 2·2,4/3,5 = 1,371 kN
Šarnyro jėga, veikianti BC
Cx = 1,371 kN, Cy = −2 kN
C = √(1,371² + 2²) = 2,425 kN
Atsakymas
C = 2,425 kN
9.Skersinė jėga ir lenkimo momentas
Atsakymas: Mx = 91,88 kN·m
Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu.
Atramų reakcijos
Visos sijos pusiausvyra. Konsolės apkrova taip pat sukuria momentą taško A atžvilgiu.
ΣMA = 0: RB·8 = 75·2 + 55·9,5
RB = 672,5/8 = 84,06 kN
ΣFy = 0: RA = 130 − 84,06 = 45,94 kN
Pjūvis po P1, paliekama kairioji dalis
Mx = RA·2 = 45,94·2 = 91,88 kN·m
Atsakymas
Mx = 91,88 kN·m
10.Skersinė jėga ir lenkimo momentas
Atsakymas: Mx = 87 kN·m
Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu.
Atramų reakcijos
Visos sijos pusiausvyra.
Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 6·6 = 36 kN, veikianti taške x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 60·2 + 6·6·3
RB = 228/6 = 38 kN
ΣFy = 0: RA = 96 − 38 = 58 kN
Perpjaukite ties x = 3 m ir palikite kairiąją dalį
Įskaitomos tik jėgos kairiau pjūvio. Išskirstytosios apkrovos dalis veikia kaip viena jėga tos dalies viduryje.
M = RA·x − (kiekviena apkrova kairiau pjūvio × jos atstumas iki pjūvio)
Mx = 58·3 − 60·(3 − 2) − 6·3·1,5 = 87 kN·m
Atsakymas
Mx = 87 kN·m
11.Svorio centras ir inercijos momentas
Atsakymas: ȳ = 49,84 mm
Sudėtiniai skerspjūviai: padalykite skerspjūvį į stačiakampius. Svorio centras yra plotais svertinis vidurkis ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Inercijos momentas centrinės ašies atžvilgiu sumuoja kiekvienos dalies nuosavą bh³/12 ir Šteinerio narį A·d², kur d – atstumas nuo dalies svorio centro iki bendro svorio centro. Lenkimo įtempis σ = M·y/I.
Padalykite į stačiakampius
Pagrindą imkite viso pločio, o dvi lentynas virš jo (aukštis h − t), kad niekas nebūtų įskaičiuota du kartus.
bazė: A1 = 120·14 = 1680 mm², y1 = 7 mm
dvi lentynos: A2 = 2·14·116 = 3248 mm², y2 = 14 + 116/2 = 72 mm
Svorio centras
ȳ = (1680·7 + 3248·72)/4928 = 49,84 mm
Atsakymas
ȳ = 49,84 mm
12.Svorio centras ir inercijos momentas
Atsakymas: σapačia = 329,7 MPa
Sudėtiniai skerspjūviai: padalykite skerspjūvį į stačiakampius. Svorio centras yra plotais svertinis vidurkis ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Inercijos momentas centrinės ašies atžvilgiu sumuoja kiekvienos dalies nuosavą bh³/12 ir Šteinerio narį A·d², kur d – atstumas nuo dalies svorio centro iki bendro svorio centro. Lenkimo įtempis σ = M·y/I.
Padalykite į du stačiakampius
Kiekvieną y matuokite nuo apatinio krašto.
lentyna: Af = 100·25 = 2500 mm², yf = 220 + 25/2 = 232,5 mm
sienelė: Aw = 10·220 = 2200 mm², yw = 220/2 = 110 mm