Statika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandauga

Modulis: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Vienetinis vektorius: û = a/|a|
Komponentės pagal kampą: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Skaliarinė sandauga: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a skaliarinė projekcija į b: a·b/|b|
Darbas: W = F·d
Vektorinė sandauga: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Plotai: lygiagretainis |a × b|, trikampis ½|a × b|
Momentas taško O atžvilgiu: M_O = r × F, r = A − O
Gretasienio tūris: V = |a·(b × c)|

Metodas

Kiekvieną vektorių užrašykite komponentėmis; jėgai, pateiktai moduliu ir kampu, naudokite F·cos θ ir F·sin θ.
Ilgiams ir kryptims naudokite modulį √(x² + y² + z²) ir vienetinį vektorių a/|a|.
Skaliarinę sandaugą naudokite kampams, projekcijoms, statmenumui ir darbui: a·b = |a||b|cos θ.
Vektorinę sandaugą naudokite statmeniems vektoriams, plotams ir momentams: atidžiai užrašykite tris komponentes, išlaikydami tvarką a × b.

Sijų atramų reakcijos

Pusiausvyra: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Tolygi apkrova: atstojamoji w·L apkrovos viduryje
Momentas: M = F·d

Metodas

Nubraižykite laisvojo kūno diagramą ir kiekvieną atramą pakeiskite jos reakcijomis.
Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite viena jėga, veikiančia jos svorio centre.
Momentų lygtį užrašykite vienos atramos atžvilgiu ir raskite kitos atramos reakciją.
Likusiai reakcijai rasti naudokite ΣF_y = 0 ir patikrinkite antrąja momentų lygtimi.

Santvara: mazgų metodas

Mazgų metodas: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Pjūvių metodas: ΣM = 0 about a cut point
Strypo jėga: teigiama = tempimas, neigiama = gniuždymas

Metodas

Raskite visos santvaros atramų reakcijas.
Mazgų metodas: pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos, ir naudokite ΣF_x = 0 ir ΣF_y = 0.
Pjūvių metodas: perpjaukite per reikiamą strypą ir užrašykite momentų lygtį taško, kuriame susikerta kiti nežinomi strypai, atžvilgiu.
Tarkite, kad strypas tempiamas; neigiamas atsakymas reiškia gniuždymą.

Rėmai ir mechanizmai

Kiekvieno strypo pusiausvyra: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Dviejų jėgų strypas: jėga veikia tiese, einančia per jo du šarnyrus
Šarnyro jėga: vienodo didumo ir priešingos jėgos dviem sujungiamiems strypams
Šarnyro jėgos modulis: F = √(F_x² + F_y²)
Svertas, replės, kampinis svertas: F_in·a = F_out·b
Alkūninis mechanizmas: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Tolygi apkrova: atstojamoji w·L apkrovos viduryje

Metodas

Nubraižykite visą konstrukciją ir raskite atramų reakcijas, jei nežinomųjų ne daugiau kaip trys.
Raskite dviejų jėgų strypus: apkrauti tik dviejuose šarnyruose, jų jėga veikia tiese tarp tų šarnyrų.
Išardykite rėmą ir nubraižykite kiekvieną strypą atskirai; kur strypai susijungia, šarnyrų jėgos vienodo didumo ir priešingos krypties.
Kiekvienam strypui imkite momentus šarnyro, kuriame veikia nežinomos jėgos, atžvilgiu, tada naudokite ΣF_x = 0 ir ΣF_y = 0; komponentes į modulį sujunkite pačioje pabaigoje.

Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Skersinė jėga ir momentas: V = ΣF vienoje pusėje, M = ΣF·d vienoje pusėje
Lenkimo įtempis: σ = M·y/I
Stačiakampis: I = bh³/12
Atsparumo momentas: W = I/y_max
Laisvai atremta, tolygi apkrova: M_max = wL²/8

Metodas

Atramų reakcijas raskite iš visos sijos pusiausvyros.
Perpjaukite siją reikiamame pjūvyje ir palikite vieną pusę.
Skersinė jėga: tos pusės vertikaliųjų jėgų suma. Lenkimo momentas: jų momentų pjūvio atžvilgiu suma.
Didžiausiam momentui rasti nustatykite, kur skersinė jėga lygi nuliui.

Svorio centras ir inercijos momentas

Svorio centras: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Stačiakampis: I = bh³/12
Šteinerio teorema: I = I_c + A·d²
Sudėtinis skerspjūvis: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Uždaviniai

1.Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandaugaVidutinis

Raskite vektorių a = (7, −6, 2) ir b = (−5, −4, 5) skaliarinę sandaugą a·b.

a = (7, −6, 2)b = (−5, −4, 5)

a·b =

2.Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandaugaSunkus

Vienetinis vektorius n̂ statmenas abiem vektoriams a = (−1, 4, −2) ir b = (−3, 3, −5) ir turi teigiamą z komponentę. Raskite jo y komponentę n̂_y.

a = (−1, 4, −2)b = (−3, 3, −5)n̂_z > 0

n̂_y =

3.Sijų atramų reakcijosVidutinis

Gembinė sija taške A įtvirtinta sienoje. Ją veikia tolygiai išskirstyta apkrova w nuo sienos iki 5 m ir sutelktoji jėga P, esanti 8 m atstumu nuo sienos. Raskite vertikaliąją reakciją R_A sienoje.

L = 8 mP = 55 kN ties 8 mw = 10 kN/m nuo 0 iki 5 m

R_A = kN

4.Sijų atramų reakcijosSunkus

Gembinė sija taške A įtvirtinta sienoje. Ją veikia tiesiškai kintanti apkrova, kuri ties siena lygi nuliui ir didėja iki 20 kN/m laisvajame gale B, bei sutelktoji jėga P, esanti 2,5 m atstumu nuo sienos. Raskite reakcijos momento sienoje didumą M_A.

L = 6 mw₀ = 20 kN/mP = 40 kN ties 2,5 m

M_A = kN·m

5.Santvara: mazgų metodasVidutinis

Mazgų metodu raskite jėgą F_AC strype AC. Tempimą nurodykite teigiamu, gniuždymą – neigiamu.

tarpatramis = 6 maukštis = 4 mB yra 2 m nuo Avertikalioji apkrova = 25 kN

F_AC = kN

6.Santvara: mazgų metodasSunkus

Tiksliai vienas šios santvaros elementas neneša jėgos esant šioms apkrovoms. Kuris yra nulinės jėgos elementas? Spustelėkite jį diagramoje.

G: 10 kN ↓H: 35 kN ←

1elementas AB
2elementas BC
3elementas CD
4elementas DE
5elementas FG
6elementas GH
7elementas AF
8elementas HE
9elementas BF
10elementas CG
11elementas DH
12elementas BG
13elementas DG

7.Rėmai ir mechanizmaiVidutinis

Horizontali sija AB šarnyru pritvirtinta prie sienos taške A ir paremta atspara CD, šarnyru pritvirtinta prie sienos taške C, 1,2 m žemiau A. Taške B kabo 8 kN apkrova. Svorių nepaisykite. Raskite šarnyro jėgos, veikiančios siją taške A, didumą A.

P = 8 kNAD = 1,5 mAB = 3,6 mAC = 1,2 m

A = kN

8.Rėmai ir mechanizmaiSunkus

Parodytas A formos rėmas stovi ant šarnyrinės atramos A ir ritininės atramos B, nutolusių 4 m. Kojos susitinka šarnyre C, 3 m aukštyje, ir sujungtos horizontaliu strypu DE 1,2 m aukštyje. Taške C į dešinę veikia horizontali 8 kN jėga. Raskite ryšio tempimo jėgą T.

P = 8 kNAB = 4 mC aukštis = 3 mDE aukštis = 1,2 m

T = kN

9.Skersinė jėga ir lenkimo momentasVidutinis

Žymės nuo A iki G padalija siją į šešias lygias dalis. Ties kuria žyme lenkimo momentas yra didžiausias dydžiu, įlenkiantis ar išlenkiantis? Spustelėkite ją diagramoje.

25 kN @ 8 m45 kN @ 10 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

10.Skersinė jėga ir lenkimo momentasSunkus

Sija remiasi į šarnyrinę atramą A ir ritininę atramą B, o už B tęsiasi 2 m ilgio konsolė iki laisvojo galo C. Visą ilgį A–C veikia tolygiai išskirstyta apkrova w. Raskite atstumą x_c nuo A iki persilenkimo taško tarp atramų (kur lenkimo momentas keičia ženklą).

L = 10 mw = 2 kN/m nuo 0 iki 10 matramos ties x = 0 ir x = 8 m

x_c = m

11.Svorio centras ir inercijos momentasVidutinis

200 mm × 150 mm plokštė turi apvalią 40 mm skersmens skylę vertikalioje simetrijos ašyje, kurios centras yra 105 mm virš apačios. Raskite ploto inercijos momentą I_x horizontaliosios ašies, einančios per svorio centrą, atžvilgiu.

b = 200 mmh = 150 mmd = 40 mmskylės centras: y = 105 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Svorio centras ir inercijos momentasSunkus

Tėjinis skerspjūvis naudojamas kaip sija su lentyna viršuje ir veikiamas teigiamo lenkimo momento 10 kN·m. Raskite lenkimo įtempį σ_apačia apatiniame krašte.

b_f = 140 mmt_f = 15 mmt_w = 8 mmh_w = 220 mmM = 10 kN·m

σ_apačia = MPa

3Tirpalai

1.Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandauga

Atsakymas: a·b = −1

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Sudauginkite atitinkamas komponentes ir sudėkite

a·b = 7·(−5) + (−6)·(−4) + 2·5 = (−35) + 24 + 10 = −1

Atsakymas

a·b = −1

Neigiama: kampas tarp vektorių didesnis nei 90°.

2.Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandauga

Atsakymas: n̂_y = 0,05998

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Vektorinė sandauga

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = 4·(−5) − (−2)·3 = −14

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = (−2)·(−3) − (−1)·(−5) = 1

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = (−1)·3 − 4·(−3) = 9

Normalizuokite

a × b z komponentė jau teigiama.

|a × b| = √((−14)² + 1² + 9²) = 16,67

n̂ = (−14, 1, 9)/16,67 = (−0,8397, 0,05998, 0,5398)

n̂_y = 0,05998

Atsakymas

n̂_y = 0,05998

3.Sijų atramų reakcijos

Atsakymas: R_A = 105 kN

Gembės pusiausvyra: įtvirtinimas gali stumti aukštyn ir priešintis posūkiui, todėl jame atsiranda vertikalioji reakcija R_A ir reakcijos momentas M_A. ΣF_y = 0 duoda R_A, o momentai sienos atžvilgiu duoda M_A = Σ(apkrova × atstumas nuo sienos). Išskirstytoji apkrova veikia kaip jos atstojamoji apkrovos diagramos svorio centre.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji

W = 10·5 = 50 kN, x̄ = 2,5 m

Vertikalioji pusiausvyra

R_A = P + W = 55 + 50 = 105 kN

Atsakymas

R_A = 105 kN

4.Sijų atramų reakcijos

Atsakymas: M_A = 340 kN·m

Trikampės apkrovos atstojamoji

W = ½·20·6 = 60 kN

x̄ = 2L/3 = 4 m

Momentas sienos atžvilgiu

M_A = W·x̄ + P·a = 60·4 + 40·2,5 = 340 kN·m

Atsakymas

M_A = 340 kN·m

5.Santvara: mazgų metodas

Atsakymas: F_AC = 8,333 kN

Mazgų metodas: kiekvienas santvaros mazgas yra pusiausvyroje, todėl kiekviename mazge ΣF_x = 0 ir ΣF_y = 0. Pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos. Neigiamas rezultatas reiškia, kad strypas gniuždomas.

Atramų reakcijos

Visos santvaros pusiausvyra. Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 25·2 → C_y = 8,333 kN

ΣF_y = 0: A_y = 25 − 8,333 = 16,67 kN

Mazgas C

Ritininė atrama duoda tik vertikaliąją reakciją, todėl mazge C yra tik dvi nežinomos strypų jėgos. Tarkite, kad abu tempiami.

sin γ = 4/5,657 = 0,7071, cos γ = 4/5,657 = 0,7071

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −8,333/0,7071 = −11,79 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−11,79)·0,7071 = 8,333 kN

Atsakymas

F_AC = 8,333 kN (tempimas)

6.Santvara: mazgų metodas

Atsakymas: elementas CG

Nulinės jėgos elementai: mazge jėgos turi atsvirti visomis kryptimis. Jei mazgas neturi apkrovos ir atramos, o du iš trijų jo elementų yra vienoje linijoje, tai pusiausvyra skersai tos linijos apima tik trečiąjį elementą, todėl jo jėga lygi nuliui. Jei neapkrautame mazge susitinka tik du elementai ir jie nėra vienoje linijoje, abu yra nulis.

Mazgas C

BC ir CD yra vienoje tiesėje, o mazgas neapkrautas. Subalansavus jėgas skersai tos linijos lieka tik CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Patikrinkite mazgų metodu

Išsprendus visus mazgus gaunamos šios elementų jėgos (T = tempimas, C = gniuždymas).

AB: 21,25 kN (C), BC: 7,5 kN (C), CD: 7,5 kN (C), DE: 3,75 kN (C), FG: 13,75 kN (C), GH: 31,25 kN (C), AF: 19,45 kN (C), HE: 5,303 kN (T), BF: 13,75 kN (T), CG: 0, DH: 3,75 kN (C), BG: 19,45 kN (C), DG: 5,303 kN (T)

Atsakymas

Nulinės jėgos elementas: CG

7.Rėmai ir mechanizmai

Atsakymas: A = 26,48 kN

Rėmai ir mechanizmai: skirtingai nei santvara, rėmas turi bent vieną strypą, kuris apkrautas daugiau nei dviejuose taškuose arba turi apkrovą tarp šarnyrų. Pirmiausia ieškokite dviejų jėgų strypų: strypo, apkrauto tik dviejuose šarnyruose, jėga veikia tiese per juos, todėl jis prideda vieną nežinomąjį, o ne du. Tada atramų reakcijoms naudokite visą konstrukciją, jei nežinomųjų ne daugiau kaip trys. Galiausiai išardykite rėmą: kiekvieną strypą nubraižykite atskirai, su vienodo didumo ir priešingomis šarnyrų jėgomis dviem juos jungiantiems strypams, ir užrašykite jam ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 ir ΣM = 0. Imant momentus šarnyro atžvilgiu, abi to šarnyro jėgos komponentės iš lygties iškrenta.

Atsparos jėga

F_CD = 8·3,6/(0,6247·1,5) = 30,73 kN

Komponentės taške A

A_x = F_CD·cos α = 24 kN (link sienos)

A_y = 8 − F_CD·sin α = −11,2 kN

Modulis

A = √(24² + −11,2²) = 26,48 kN

Atsakymas

A = 26,48 kN

Neigiamas A_y reiškia, kad siena traukia siją žemyn taške A.

8.Rėmai ir mechanizmai

Atsakymas: T = 6,667 kN

Visas rėmas: momentai taško A atžvilgiu

B_y·4 = 8·3

B_y = 6 kN

Koja BC: momentai taško C atžvilgiu

6·2 = T·1,8

T = 6,667 kN

Atsakymas

T = 6,667 kN

Teigiamas T reiškia, kad ryšys tempiamas, kaip ir buvo daroma prielaida.

9.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: E (x = 8 m)

Didžiausias lenkimo momentas: M nuolydis keičiasi ten, kur keičiasi skersinė jėga, todėl jo viršūnės yra ten, kur skersinė jėga kerta nulį: po koncentruota apkrova, paskirstytos apkrovos viduje arba virš gembės atramos. Įtvirtintoje gembės atramoje momentas didžiausias prie sienos. Palyginkite M dydį tose vietose, įlenkiantį ar išlenkiantį.

Atramų reakcijos

Paimkite momentus apie vieną atramą, tada naudokite vertikalių jėgų balansą.

R₁ = 15,83 kN, R₂ = 54,17 kN

Lenkimo momentas ties kiekviena žyme

Susumuokite visų vienoje pjūvio pusėje esančių jėgų momentus. Įlenkiantis teigiamas, išlenkiantis neigiamas.

M_A = 0, M_B = 31,67, M_C = 63,33, M_D = 95, M_E = 126,7 kN·m, M_F = 108,3, M_G = 0

Atsakymas

Žymė E: M_E = 126,7 kN·m

10.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: x_c = 7,5 m

Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu. Didžiausias momentas: kadangi dM/dx = V, lenkimo momentas didžiausias ten, kur skersinė jėga eina per nulį – sutelktosios jėgos vietoje arba išskirstytosios apkrovos ruože.

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra, įskaitant konsolės apkrovą.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 2·10 = 20 kN, veikianti taške x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 2·10·5

R_B = 100/8 = 12,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 20 − 12,5 = 7,5 kN

Nulinis momentas

Tarp atramų M(x) = R_A·x − w·x²/2. Be x = 0, jis lygus nuliui ties x = 2R_A/w.

R_A·x_c − w·x_c²/2 = 0

x_c = 2·7,5/2 = 7,5 m

Atsakymas

x_c = 7,5 m

11.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: I_x = 54,94 × 10⁶ mm⁴

Pjūviai su skylėmis: skylę traktuokite kaip neigiamą plotą. Svorio centras yra ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), kai A₁, y₁ – pilnos plokštės, o A₂, y₂ – skylės. Ploto inercijos momentui centrinės ašies atžvilgiu kiekvienai daliai taikykite lygiagrečiųjų ašių (Šteinerio) teoremą ir skylę atimkite: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), kur d yra atstumas nuo kiekvienos dalies savojo svorio centro iki ašies, einančios per ȳ. Stačiakampio I_c = bh³/12, o skritulio I_c = πd⁴/64.

Svorio centras

ȳ = (30000·75 − 1257·105)/(30000 − 1257) = 73,69 mm

Pilna plokštė ȳ atžvilgiu

200·150³/12 + 30000·1,312² = 56,3 × 10⁶ mm⁴

Skylė ȳ atžvilgiu

π·40⁴/64 + 1257·31,31² = 1,358 × 10⁶ mm⁴

Atimkite

I_x = 54,94 × 10⁶ mm⁴

Atsakymas

I_x = 54,94 × 10⁶ mm⁴

12.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: σ_apačia = 85,43 MPa

Sudėtiniai skerspjūviai: padalykite skerspjūvį į stačiakampius. Svorio centras yra plotais svertinis vidurkis ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Inercijos momentas centrinės ašies atžvilgiu sumuoja kiekvienos dalies nuosavą bh³/12 ir Šteinerio narį A·d², kur d – atstumas nuo dalies svorio centro iki bendro svorio centro. Lenkimo įtempis σ = M·y/I.

Padalykite į du stačiakampius

Kiekvieną y matuokite nuo apatinio krašto.

lentyna: A_f = 140·15 = 2100 mm², y_f = 220 + 15/2 = 227,5 mm

sienelė: A_w = 8·220 = 1760 mm², y_w = 220/2 = 110 mm

Svorio centras

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2100·227,5 + 1760·110)/3860 = 173,9 mm

Šteinerio teorema

lentyna: 140·15³/12 + 2100·(227,5 − 173,9)² = 6,067 × 10⁶ mm⁴

sienelė: 8·220³/12 + 1760·(110 − 173,9)² = 1,429 × 10⁷ mm⁴

I_x = 6,067 × 10⁶ + 1,429 × 10⁷ = 2,036 × 10⁷ mm⁴

Lenkimo įtempis

Apatinis kraštas yra ȳ atstumu nuo ašies.

y = 173,9 mm

σ = M·y/I = 1 × 10⁷·173,9/2,036 × 10⁷ = 85,43 MPa

Atsakymas

σ_apačia = 85,43 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics