Vektorinę sandaugą naudokite statmeniems vektoriams, plotams ir momentams: atidžiai užrašykite tris komponentes, išlaikydami tvarką a × b.
Sijų atramų reakcijos
Pusiausvyra
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Tolygi apkrova
atstojamoji w·L apkrovos viduryje
Momentas
M = F·d
Metodas
Nubraižykite laisvojo kūno diagramą ir kiekvieną atramą pakeiskite jos reakcijomis.
Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite viena jėga, veikiančia jos svorio centre.
Momentų lygtį užrašykite vienos atramos atžvilgiu ir raskite kitos atramos reakciją.
Likusiai reakcijai rasti naudokite ΣFy = 0 ir patikrinkite antrąja momentų lygtimi.
Santvara: mazgų metodas
Mazgų metodas
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Pjūvių metodas
ΣM = 0 about a cut point
Strypo jėga
teigiama = tempimas, neigiama = gniuždymas
Metodas
Raskite visos santvaros atramų reakcijas.
Mazgų metodas: pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos, ir naudokite ΣFx = 0 ir ΣFy = 0.
Pjūvių metodas: perpjaukite per reikiamą strypą ir užrašykite momentų lygtį taško, kuriame susikerta kiti nežinomi strypai, atžvilgiu.
Tarkite, kad strypas tempiamas; neigiamas atsakymas reiškia gniuždymą.
Rėmai ir mechanizmai
Kiekvieno strypo pusiausvyra
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Dviejų jėgų strypas
jėga veikia tiese, einančia per jo du šarnyrus
Šarnyro jėga
vienodo didumo ir priešingos jėgos dviem sujungiamiems strypams
Šarnyro jėgos modulis
F = √(Fx² + Fy²)
Svertas, replės, kampinis svertas
Fin·a = Fout·b
Alkūninis mechanizmas
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Tolygi apkrova
atstojamoji w·L apkrovos viduryje
Metodas
Nubraižykite visą konstrukciją ir raskite atramų reakcijas, jei nežinomųjų ne daugiau kaip trys.
Raskite dviejų jėgų strypus: apkrauti tik dviejuose šarnyruose, jų jėga veikia tiese tarp tų šarnyrų.
Išardykite rėmą ir nubraižykite kiekvieną strypą atskirai; kur strypai susijungia, šarnyrų jėgos vienodo didumo ir priešingos krypties.
Kiekvienam strypui imkite momentus šarnyro, kuriame veikia nežinomos jėgos, atžvilgiu, tada naudokite ΣFx = 0 ir ΣFy = 0; komponentes į modulį sujunkite pačioje pabaigoje.
Skersinė jėga ir lenkimo momentas
Skersinė jėga ir momentas
V = ΣF vienoje pusėje, M = ΣF·d vienoje pusėje
Lenkimo įtempis
σ = M·y/I
Stačiakampis
I = bh³/12
Atsparumo momentas
W = I/ymax
Laisvai atremta, tolygi apkrova
Mmax = wL²/8
Metodas
Atramų reakcijas raskite iš visos sijos pusiausvyros.
Perpjaukite siją reikiamame pjūvyje ir palikite vieną pusę.
Skersinė jėga: tos pusės vertikaliųjų jėgų suma. Lenkimo momentas: jų momentų pjūvio atžvilgiu suma.
Didžiausiam momentui rasti nustatykite, kur skersinė jėga lygi nuliui.
Svorio centras ir inercijos momentas
Svorio centras
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Stačiakampis
I = bh³/12
Šteinerio teorema
I = Ic + A·d²
Sudėtinis skerspjūvis
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Uždaviniai
1.Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandaugaVidutinis
Pastovi jėga F = (−5, 0, 25) N veikia kūną, kuris tiesiai juda iš taško A(0, 2, 1) į tašką B(−3, −5, −5). Koordinatės pateiktos metrais. Raskite jėgos atliktą darbą W.
F = (−5, 0, 25) NA(0, 2, 1) mB(−3, −5, −5) m
W = J
2.Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandaugaSunkus
Jėga F = (−10, −10, 50) N veikia taške A(0, −3, 1). Koordinatės pateiktos metrais. Raskite jėgos momento taško taškas O(−3, 0, −2) atžvilgiu x komponentę Mx.
F = (−10, −10, 50) NA(0, −3, 1) mO(−3, 0, −2) m
Mx = N·m
3.Sijų atramų reakcijosVidutinis
Laisvai atremtą siją (šarnyrinė atrama A, ritininė atrama B) veikia tiesiškai kintanti apkrova, mažėjanti nuo 20 kN/m ties A iki nulio ties B. 7 m atstumu nuo A dar veikia sutelktoji jėga P. Raskite vertikaliąją atramos reakciją RA.
L = 8 mw0 = 20 kN/mP = 25 kN ties 7 m
RA = kN
4.Sijų atramų reakcijosSunkus
Laisvai atremta sija turi šarnyrinę atramą A ir ritininę atramą B. 8 m atstumu nuo A veikia apkrova P, pasvirusi 60° kampu į horizontalę, o 2 m atstumu nuo A – vertikalioji apkrova Q. Raskite suminės reakcijos jėgos šarnyre A didumą RA.
L = 10 mP = 15 kN ties 8 m, θ = 60°Q = 75 kN ties 2 m
RA = kN
5.Santvara: mazgų metodasVidutinis
Mazgų metodu raskite jėgą FAB strype AB. Tempimą nurodykite teigiamu, gniuždymą – neigiamu.
tarpatramis = 5 maukštis = 3 mB yra 3 m nuo Avertikalioji apkrova = 25 kN
FAB = kN
6.Santvara: mazgų metodasSunkus
Mazgų metodu raskite jėgą FAB strype AB. Tempimą nurodykite teigiamu, gniuždymą – neigiamu.
tarpatramis = 8 maukštis = 3 mB yra 7 m nuo Avertikalioji apkrova = 35 kNhorizontalioji apkrova = 20 kN ←
FAB = kN
7.Rėmai ir mechanizmaiVidutinis
Parodytame alkūniniame spaustuve dvi vienodos jungtys AB ir BC sujungtos šarnyru B, ir kiekviena su tiese AC sudaro 8° kampą. Taške B veikia žemyn nukreipta 200 N jėga. Slankiklis C spaudžia ruošinį. Nepaisydami trinties ir svorių, raskite horizontaliąją spaudimo jėgą Q.
F = 200 Nθ = 8°
Q = N
8.Rėmai ir mechanizmaiSunkus
Tolygi horizontali strėlė AB, sverianti 1,5 kN, šarnyru pritvirtinta prie sienos taške A ir laikoma lyno nuo B iki sienos taško C, 4 m virš A. Taške B kabo 2 kN apkrova. Raskite šarnyro reakcijos didumą A.
W = 2 kNWb = 1,5 kNAB = 2,5 mAC = 4 m
A = kN
9.Skersinė jėga ir lenkimo momentasVidutinis
Žymės nuo A iki G padalija siją į šešias lygias dalis. Ties kuria žyme lenkimo momentas yra didžiausias dydžiu, įlenkiantis ar išlenkiantis? Spustelėkite ją diagramoje.
40 kN @ 6 m10 kN/m, 4–8 m
1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)
10.Skersinė jėga ir lenkimo momentasSunkus
Žymės nuo A iki G padalija siją į šešias lygias dalis. Ties kuria žyme lenkimo momentas yra didžiausias dydžiu, įlenkiantis ar išlenkiantis? Spustelėkite ją diagramoje.
60 kN @ 12 m35 kN @ 6 m6 kN/m, 0–8 m
1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)
11.Svorio centras ir inercijos momentasVidutinis
150 mm × 200 mm plokštė turi apvalią 60 mm skersmens skylę vertikalioje simetrijos ašyje, kurios centras yra 140 mm virš apačios. Raskite ploto inercijos momentą Ix horizontaliosios ašies, einančios per svorio centrą, atžvilgiu.
b = 150 mmh = 200 mmd = 60 mmskylės centras: y = 140 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Svorio centras ir inercijos momentasSunkus
200 mm × 200 mm plokštė turi stačiakampį iškirpimą, 80 mm pločio ir 40 mm aukščio, vertikalioje simetrijos ašyje, kurio centras yra 80 mm virš apačios. Raskite ploto inercijos momentą Ix horizontaliosios ašies, einančios per svorio centrą, atžvilgiu.
b = 200 mmh = 200 mmiškirpimas: 80 × 40 mmskylės centras: y = 80 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
3Tirpalai
1.Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandauga
Atsakymas: W = −135 J
Skaliarinė sandauga:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, skaliaras. Ji duoda kampą tarp dviejų vektorių, cos θ = a·b/(|a|·|b|), ir lygi nuliui, kai vektoriai statmeni. Skaliarinė a projekcija į b yra a·b/|b|, o pastovi jėga F, poslinkiu d atliekanti darbą, atlieka darbą W = F·d.
Poslinkis
d = B − A = (−3, −5, −5) − (0, 2, 1) = (−3, −7, −6) m
Darbas
W = F·d = (−5)·(−3) + 0·(−7) + 25·(−6) = −135 J
Atsakymas
W = −135 J
Neigiamas darbas: jėga daugiausia veikia prieš judėjimą.
2.Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandauga
Atsakymas: Mx = −120 N·m
Vektorinė sandauga:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) yra statmena abiem vektoriams, o |a × b| = |a|·|b|·sin θ yra jų sudaryto lygiagretainio plotas (trikampio plotas yra pusė jo). Eilės tvarka svarbi: b × a = −(a × b). Jėgos F, veikiančios taške A, momentas taško O atžvilgiu yra MO = r × F, kur r = A − O.
Padėties vektorius iš O į A
r = A − O = (0, −3, 1) − (−3, 0, −2) = (3, −3, 3) m
Statinė pusiausvyra: rimties būsenos kūnui ΣFx = 0, ΣFy = 0 ir ΣM = 0 bet kurio taško atžvilgiu. Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite jos atstojamąja (diagramos plotu), veikiančia apkrovos diagramos svorio centre, ir imkite momentus atramos atžvilgiu, kad tos atramos reakcija dingtų iš lygties.
Trikampės apkrovos atstojamoji
W = ½·20·8 = 80 kN
x̄ = L/3 = 2,667 m
Pusiausvyra
Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę. Tada vertikaliųjų jėgų pusiausvyra.
ΣMA = 0: RB·8 = 80·2,667 + 25·7
RB = 48,54 kN
RA = 105 − 48,54 = 56,46 kN
Atsakymas
RA = 56,46 kN
4.Sijų atramų reakcijos
Atsakymas: RA = 63,05 kN
Statinė pusiausvyra: rimties būsenos kūnui ΣFx = 0, ΣFy = 0 ir ΣM = 0 bet kurio taško atžvilgiu. Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite jos atstojamąja (diagramos plotu), veikiančia apkrovos diagramos svorio centre, ir imkite momentus atramos atžvilgiu, kad tos atramos reakcija dingtų iš lygties.
P dedamosios
Pv = 15·sin 60° = 12,99 kN
Ph = 15·cos 60° = 7,5 kN
Reakcijos
ΣMA = 0: RB·10 = 12,99·8 + 75·2 → RB = 25,39 kN
Ay = 12,99 + 75 − 25,39 = 62,6 kN
Ax = Ph = 7,5 kN
Atstojamoji ties A
RA = √(7,5² + 62,6²) = 63,05 kN
Atsakymas
RA = 63,05 kN
5.Santvara: mazgų metodas
Atsakymas: FAB = −14,14 kN
Mazgų metodas: kiekvienas santvaros mazgas yra pusiausvyroje, todėl kiekviename mazge ΣFx = 0 ir ΣFy = 0. Pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos. Neigiamas rezultatas reiškia, kad strypas gniuždomas.
Atramų reakcijos
Visos santvaros pusiausvyra. Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę.
ΣMA = 0: Cy·5 = 25·3 → Cy = 15 kN
ΣFy = 0: Ay = 25 − 15 = 10 kN
Mazgas A
Tarkite, kad kiekvienas strypas tempiamas (traukia nuo mazgo). Tik AB turi vertikaliąją dedamąją mazge A.
sin α = 3/4,243 = 0,7071
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −10/0,7071 = −14,14 kN
Atsakymas
FAB = −14,14 kN (gniuždymas)
6.Santvara: mazgų metodas
Atsakymas: FAB = −30,15 kN
Mazgų metodas: kiekvienas santvaros mazgas yra pusiausvyroje, todėl kiekviename mazge ΣFx = 0 ir ΣFy = 0. Pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos. Neigiamas rezultatas reiškia, kad strypas gniuždomas.
Atramų reakcijos
Visos santvaros pusiausvyra. Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę.
ΣMA = 0: Cy·8 = 35·7 − 20·3 → Cy = 23,13 kN
ΣFy = 0: Ay = 35 − 23,13 = 11,88 kN
ΣFx = 0: Ax = 20 kN
Mazgas A
Tarkite, kad kiekvienas strypas tempiamas (traukia nuo mazgo). Tik AB turi vertikaliąją dedamąją mazge A.
sin α = 3/7,616 = 0,3939
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −11,88/0,3939 = −30,15 kN
Atsakymas
FAB = −30,15 kN (gniuždymas)
7.Rėmai ir mechanizmai
Atsakymas: Q = 711,5 N
Mechanizmai: replės, svertai, jungčių sistemos ir spaustuvai įėjimo jėgą paverčia didesne ar kitos krypties išėjimo jėga. Vieną dalį nubraižykite kaip laisvąjį kūną ir imkite momentus jos sukimosi ašies atžvilgiu: šarnyro jėga iškrenta, o Fin·a = Fout·b duoda mechaninį išlošį a/b. Šarnyro jėgą tada gaunate iš ΣF = 0 tai pačiai daliai. Alkūniniame mechanizme dvi jungtys susitinka mažu kampu θ; kiekviena jungtis yra dviejų jėgų strypas, todėl maža jėga F sandūroje sukuria dideles jungčių jėgas F/(2 sin θ) ir spaudimo jėgą F/(2 tan θ).
Šarnyro B pusiausvyra
2·Flink·sin 8° = 200
Flink = 718,5 N
Spaudimo jėga
Q = Flink·cos 8° = 200/(2·tan 8°) = 711,5 N
Atsakymas
Q = 711,5 N
Jėgų santykis Q/F = 3,558 auga neribotai, jungtims tiesėjant.
8.Rėmai ir mechanizmai
Atsakymas: A = 1,875 kN
Rėmai ir mechanizmai: skirtingai nei santvara, rėmas turi bent vieną strypą, kuris apkrautas daugiau nei dviejuose taškuose arba turi apkrovą tarp šarnyrų. Pirmiausia ieškokite dviejų jėgų strypų: strypo, apkrauto tik dviejuose šarnyruose, jėga veikia tiese per juos, todėl jis prideda vieną nežinomąjį, o ne du. Tada atramų reakcijoms naudokite visą konstrukciją, jei nežinomųjų ne daugiau kaip trys. Galiausiai išardykite rėmą: kiekvieną strypą nubraižykite atskirai, su vienodo didumo ir priešingomis šarnyrų jėgomis dviem juos jungiantiems strypams, ir užrašykite jam ΣFx = 0, ΣFy = 0 ir ΣM = 0. Imant momentus šarnyro atžvilgiu, abi to šarnyro jėgos komponentės iš lygties iškrenta.
Lyno įtempimas
T = (2 + 1,5/2)/0,848 = 3,243 kN
Komponentės taške A
Ax = T·cos β = 1,719 kN
Ay = 2 + 1,5 − T·sin β = 0,75 kN
Modulis
A = √(1,719² + 0,75²) = 1,875 kN
Atsakymas
A = 1,875 kN
9.Skersinė jėga ir lenkimo momentas
Atsakymas: D (x = 6 m)
Didžiausias lenkimo momentas: M nuolydis keičiasi ten, kur keičiasi skersinė jėga, todėl jo viršūnės yra ten, kur skersinė jėga kerta nulį: po koncentruota apkrova, paskirstytos apkrovos viduje arba virš gembės atramos. Įtvirtintoje gembės atramoje momentas didžiausias prie sienos. Palyginkite M dydį tose vietose, įlenkiantį ar išlenkiantį.
Atramų reakcijos
Paimkite momentus apie vieną atramą, tada naudokite vertikalių jėgų balansą.
R1 = 40 kN, R2 = 40 kN
Lenkimo momentas ties kiekviena žyme
Susumuokite visų vienoje pjūvio pusėje esančių jėgų momentus. Įlenkiantis teigiamas, išlenkiantis neigiamas.
MA = 0, MB = 80, MC = 160, MD = 220 kN·m, ME = 160, MF = 80, MG = 0
Atsakymas
Žymė D: MD = 220 kN·m
10.Skersinė jėga ir lenkimo momentas
Atsakymas: E (x = 8 m)
Didžiausias lenkimo momentas: M nuolydis keičiasi ten, kur keičiasi skersinė jėga, todėl jo viršūnės yra ten, kur skersinė jėga kerta nulį: po koncentruota apkrova, paskirstytos apkrovos viduje arba virš gembės atramos. Įtvirtintoje gembės atramoje momentas didžiausias prie sienos. Palyginkite M dydį tose vietose, įlenkiantį ar išlenkiantį.
Atramų reakcijos
Paimkite momentus apie vieną atramą, tada naudokite vertikalių jėgų balansą.
R1 = 2,75 kN, R2 = 140,3 kN
Lenkimo momentas ties kiekviena žyme
Susumuokite visų vienoje pjūvio pusėje esančių jėgų momentus. Įlenkiantis teigiamas, išlenkiantis neigiamas.
MA = 0, MB = −6,5, MC = −37, MD = −91,5, ME = −240 kN·m, MF = −120, MG = 0
Atsakymas
Žymė E: ME = −240 kN·m
11.Svorio centras ir inercijos momentas
Atsakymas: Ix = 94,37 × 10⁶ mm⁴
Pjūviai su skylėmis: skylę traktuokite kaip neigiamą plotą. Svorio centras yra ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), kai A₁, y₁ – pilnos plokštės, o A₂, y₂ – skylės. Ploto inercijos momentui centrinės ašies atžvilgiu kiekvienai daliai taikykite lygiagrečiųjų ašių (Šteinerio) teoremą ir skylę atimkite: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), kur d yra atstumas nuo kiekvienos dalies savojo svorio centro iki ašies, einančios per ȳ. Stačiakampio Ic = bh³/12, o skritulio Ic = πd⁴/64.
Svorio centras
ȳ = (30000·100 − 2827·140)/(30000 − 2827) = 95,84 mm
Pilna plokštė ȳ atžvilgiu
150·200³/12 + 30000·4,162² = 100,5 × 10⁶ mm⁴
Skylė ȳ atžvilgiu
π·60⁴/64 + 2827·44,16² = 6,151 × 10⁶ mm⁴
Atimkite
Ix = 94,37 × 10⁶ mm⁴
Atsakymas
Ix = 94,37 × 10⁶ mm⁴
12.Svorio centras ir inercijos momentas
Atsakymas: Ix = 131,5 × 10⁶ mm⁴
Pjūviai su skylėmis: skylę traktuokite kaip neigiamą plotą. Svorio centras yra ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), kai A₁, y₁ – pilnos plokštės, o A₂, y₂ – skylės. Ploto inercijos momentui centrinės ašies atžvilgiu kiekvienai daliai taikykite lygiagrečiųjų ašių (Šteinerio) teoremą ir skylę atimkite: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), kur d yra atstumas nuo kiekvienos dalies savojo svorio centro iki ašies, einančios per ȳ. Stačiakampio Ic = bh³/12, o skritulio Ic = πd⁴/64.
Svorio centras
ȳ = (40000·100 − 3200·80)/(40000 − 3200) = 101,7 mm