Vektorinę sandaugą naudokite statmeniems vektoriams, plotams ir momentams: atidžiai užrašykite tris komponentes, išlaikydami tvarką a × b.
Sijų atramų reakcijos
Pusiausvyra
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Tolygi apkrova
atstojamoji w·L apkrovos viduryje
Momentas
M = F·d
Metodas
Nubraižykite laisvojo kūno diagramą ir kiekvieną atramą pakeiskite jos reakcijomis.
Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite viena jėga, veikiančia jos svorio centre.
Momentų lygtį užrašykite vienos atramos atžvilgiu ir raskite kitos atramos reakciją.
Likusiai reakcijai rasti naudokite ΣFy = 0 ir patikrinkite antrąja momentų lygtimi.
Santvara: mazgų metodas
Mazgų metodas
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Pjūvių metodas
ΣM = 0 about a cut point
Strypo jėga
teigiama = tempimas, neigiama = gniuždymas
Metodas
Raskite visos santvaros atramų reakcijas.
Mazgų metodas: pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos, ir naudokite ΣFx = 0 ir ΣFy = 0.
Pjūvių metodas: perpjaukite per reikiamą strypą ir užrašykite momentų lygtį taško, kuriame susikerta kiti nežinomi strypai, atžvilgiu.
Tarkite, kad strypas tempiamas; neigiamas atsakymas reiškia gniuždymą.
Rėmai ir mechanizmai
Kiekvieno strypo pusiausvyra
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Dviejų jėgų strypas
jėga veikia tiese, einančia per jo du šarnyrus
Šarnyro jėga
vienodo didumo ir priešingos jėgos dviem sujungiamiems strypams
Šarnyro jėgos modulis
F = √(Fx² + Fy²)
Svertas, replės, kampinis svertas
Fin·a = Fout·b
Alkūninis mechanizmas
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Tolygi apkrova
atstojamoji w·L apkrovos viduryje
Metodas
Nubraižykite visą konstrukciją ir raskite atramų reakcijas, jei nežinomųjų ne daugiau kaip trys.
Raskite dviejų jėgų strypus: apkrauti tik dviejuose šarnyruose, jų jėga veikia tiese tarp tų šarnyrų.
Išardykite rėmą ir nubraižykite kiekvieną strypą atskirai; kur strypai susijungia, šarnyrų jėgos vienodo didumo ir priešingos krypties.
Kiekvienam strypui imkite momentus šarnyro, kuriame veikia nežinomos jėgos, atžvilgiu, tada naudokite ΣFx = 0 ir ΣFy = 0; komponentes į modulį sujunkite pačioje pabaigoje.
Skersinė jėga ir lenkimo momentas
Skersinė jėga ir momentas
V = ΣF vienoje pusėje, M = ΣF·d vienoje pusėje
Lenkimo įtempis
σ = M·y/I
Stačiakampis
I = bh³/12
Atsparumo momentas
W = I/ymax
Laisvai atremta, tolygi apkrova
Mmax = wL²/8
Metodas
Atramų reakcijas raskite iš visos sijos pusiausvyros.
Perpjaukite siją reikiamame pjūvyje ir palikite vieną pusę.
Skersinė jėga: tos pusės vertikaliųjų jėgų suma. Lenkimo momentas: jų momentų pjūvio atžvilgiu suma.
Didžiausiam momentui rasti nustatykite, kur skersinė jėga lygi nuliui.
Svorio centras ir inercijos momentas
Svorio centras
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Stačiakampis
I = bh³/12
Šteinerio teorema
I = Ic + A·d²
Sudėtinis skerspjūvis
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Uždaviniai
1.Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandaugaVidutinis
Raskite kampą θ tarp vektorių a = (−4, −3, 1) ir b = (3, −1, −5) laipsniais.
a = (−4, −3, 1)b = (3, −1, −5)
θ = °
2.Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandaugaSunkus
Vienetinis vektorius n̂ statmenas abiem vektoriams a = (−4, −2, 4) ir b = (1, −3, 4) ir turi teigiamą z komponentę. Raskite jo y komponentę n̂y.
a = (−4, −2, 4)b = (1, −3, 4)n̂z > 0
n̂y =
3.Sijų atramų reakcijosVidutinis
Laisvai atremta sija turi šarnyrinę atramą A ir ritininę atramą B. Raskite vertikaliąją atramos reakciją RA.
L = 5 mP1 = 10 kN ties 3 mP2 = 45 kN ties 3,5 m
RA = kN
4.Sijų atramų reakcijosSunkus
Laisvai atremta sija turi šarnyrinę atramą A ir ritininę atramą B. Raskite vertikaliąją atramos reakciją RA.
L = 10 mP = 35 kN ties 2 mw = 8 kN/m nuo 5 iki 7 m
tarpatramis = 6 maukštis = 4 mB yra 1 m nuo Avertikalioji apkrova = 15 kN
FBC = kN
6.Santvara: mazgų metodasSunkus
Mazgų metodu raskite jėgą FAB strype AB. Tempimą nurodykite teigiamu, gniuždymą – neigiamu.
tarpatramis = 6 maukštis = 4 mB yra 5 m nuo Avertikalioji apkrova = 60 kNhorizontalioji apkrova = 25 kN →
FAB = kN
7.Rėmai ir mechanizmaiVidutinis
Horizontali sija AB šarnyru pritvirtinta prie sienos taške A ir paremta atspara CD, šarnyru pritvirtinta prie sienos taške C, 1,5 m žemiau A. Taške B kabo 10 kN apkrova. Svorių nepaisykite. Raskite šarnyro jėgos, veikiančios siją taške A, didumą A.
P = 10 kNAD = 2 mAB = 2,4 mAC = 1,5 m
A = kN
8.Rėmai ir mechanizmaiSunkus
Tolygi horizontali strėlė AB, sverianti 3 kN, šarnyru pritvirtinta prie sienos taške A ir laikoma lyno nuo galo B iki sienos taško C, 4 m virš A. Taške B kabo 15 kN apkrova. Raskite lyno įtempimą T.
W = 15 kNWb = 3 kNAB = 3 mAC = 4 m
T = kN
9.Skersinė jėga ir lenkimo momentasVidutinis
Raskite lenkimo momentą Mx pjūvyje x = 1 m nuo atramos A. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.
L = 6 mw = 6 kN/m nuo 0 iki 6 mx = 1 m
Mx = kN·m
10.Skersinė jėga ir lenkimo momentasSunkus
Žymės nuo A iki G padalija siją į šešias lygias dalis. Ties kuria žyme lenkimo momentas yra didžiausias dydžiu, įlenkiantis ar išlenkiantis? Spustelėkite ją diagramoje.
45 kN @ 6 m60 kN @ 2 m
1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)
11.Svorio centras ir inercijos momentasVidutinis
Raskite tėjinio skerspjūvio inercijos momentą Ix horizontaliosios ašies x, einančios per svorio centrą, atžvilgiu.
bf = 140 mmtf = 30 mmtw = 18 mmhw = 280 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Svorio centras ir inercijos momentasSunkus
200 mm × 240 mm plokštė turi stačiakampį iškirpimą, 50 mm pločio ir 20 mm aukščio, vertikalioje simetrijos ašyje, kurio centras yra 96 mm virš apačios. Raskite ploto inercijos momentą Ix horizontaliosios ašies, einančios per svorio centrą, atžvilgiu.
b = 200 mmh = 240 mmiškirpimas: 50 × 20 mmskylės centras: y = 96 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
3Tirpalai
1.Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandauga
Atsakymas: θ = 117,7 °
Skaliarinė sandauga:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, skaliaras. Ji duoda kampą tarp dviejų vektorių, cos θ = a·b/(|a|·|b|), ir lygi nuliui, kai vektoriai statmeni. Skaliarinė a projekcija į b yra a·b/|b|, o pastovi jėga F, poslinkiu d atliekanti darbą, atlieka darbą W = F·d.
Skaliarinė sandauga
a·b = (−4)·3 + (−3)·(−1) + 1·(−5) = −14
Moduliai
|a| = √((−4)² + (−3)² + 1²) = 5,099
|b| = √(3² + (−1)² + (−5)²) = 5,916
Kampas
cos θ = −14/(5,099·5,916) = −0,4641
θ = arccos(−0,4641) = 117,7°
Atsakymas
θ = 117,7°
2.Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandauga
Atsakymas: n̂y = 0,8085
Vektorinė sandauga:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) yra statmena abiem vektoriams, o |a × b| = |a|·|b|·sin θ yra jų sudaryto lygiagretainio plotas (trikampio plotas yra pusė jo). Eilės tvarka svarbi: b × a = −(a × b). Jėgos F, veikiančios taške A, momentas taško O atžvilgiu yra MO = r × F, kur r = A − O.
Vektorinė sandauga
(a × b)x = aybz − azby = (−2)·4 − 4·(−3) = 4
(a × b)y = azbx − axbz = 4·1 − (−4)·4 = 20
(a × b)z = axby − aybx = (−4)·(−3) − (−2)·1 = 14
Normalizuokite
a × b z komponentė jau teigiama.
|a × b| = √(4² + 20² + 14²) = 24,74
n̂ = (4, 20, 14)/24,74 = (0,1617, 0,8085, 0,5659)
n̂y = 0,8085
Atsakymas
n̂y = 0,8085
3.Sijų atramų reakcijos
Atsakymas: RA = 17,5 kN
Statinė pusiausvyra: rimties būsenos kūnui ΣFx = 0, ΣFy = 0 ir ΣM = 0 bet kurio taško atžvilgiu. Imant momentus vienos atramos atžvilgiu, tos atramos reakcija dingsta iš lygties.
Laisvojo kūno diagrama
Atramas pakeiskite reakcijos jėgomis. Ritininė atrama duoda vieną vertikaliąją reakciją; kai apkrovos tik vertikalios, šarnyrinė atrama taip pat duoda vieną vertikaliąją reakciją.
Pusiausvyra
Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę. Tada vertikaliųjų jėgų pusiausvyra.
ΣMA = 0: RB·5 = 10·3 + 45·3,5
RB = 187,5/5 = 37,5 kN
ΣFy = 0: RA = 55 − 37,5 = 17,5 kN
Atsakymas
RA = 17,5 kN
4.Sijų atramų reakcijos
Atsakymas: RA = 34,4 kN
Statinė pusiausvyra: rimties būsenos kūnui ΣFx = 0, ΣFy = 0 ir ΣM = 0 bet kurio taško atžvilgiu. Imant momentus vienos atramos atžvilgiu, tos atramos reakcija dingsta iš lygties.
Laisvojo kūno diagrama
Atramas pakeiskite reakcijos jėgomis. Ritininė atrama duoda vieną vertikaliąją reakciją; kai apkrovos tik vertikalios, šarnyrinė atrama taip pat duoda vieną vertikaliąją reakciją.
Pusiausvyra
Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę. Tada vertikaliųjų jėgų pusiausvyra.
Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 8·2 = 16 kN, veikianti taške x̄ = 6 m
ΣMA = 0: RB·10 = 35·2 + 8·2·6
RB = 166/10 = 16,6 kN
ΣFy = 0: RA = 51 − 16,6 = 34,4 kN
Atsakymas
RA = 34,4 kN
5.Santvara: mazgų metodas
Atsakymas: FBC = −4,002 kN
Mazgų metodas: kiekvienas santvaros mazgas yra pusiausvyroje, todėl kiekviename mazge ΣFx = 0 ir ΣFy = 0. Pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos. Neigiamas rezultatas reiškia, kad strypas gniuždomas.
Atramų reakcijos
Visos santvaros pusiausvyra. Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę.
ΣMA = 0: Cy·6 = 15·1 → Cy = 2,5 kN
ΣFy = 0: Ay = 15 − 2,5 = 12,5 kN
Mazgas C
Ritininė atrama duoda tik vertikaliąją reakciją, todėl mazge C yra tik dvi nežinomos strypų jėgos. Tarkite, kad abu tempiami.
sin γ = 4/6,403 = 0,6247, cos γ = 5/6,403 = 0,7809
Mazgų metodas: kiekvienas santvaros mazgas yra pusiausvyroje, todėl kiekviename mazge ΣFx = 0 ir ΣFy = 0. Pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos. Neigiamas rezultatas reiškia, kad strypas gniuždomas.
Atramų reakcijos
Visos santvaros pusiausvyra. Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę.
ΣMA = 0: Cy·6 = 60·5 + 25·4 → Cy = 66,67 kN
ΣFy = 0: Ay = 60 − 66,67 = −6,667 kN
ΣFx = 0: Ax = −25 kN
Mazgas A
Tarkite, kad kiekvienas strypas tempiamas (traukia nuo mazgo). Tik AB turi vertikaliąją dedamąją mazge A.
sin α = 4/6,403 = 0,6247
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −−6,667/0,6247 = 10,67 kN
Atsakymas
FAB = 10,67 kN (tempimas)
7.Rėmai ir mechanizmai
Atsakymas: A = 16,12 kN
Rėmai ir mechanizmai: skirtingai nei santvara, rėmas turi bent vieną strypą, kuris apkrautas daugiau nei dviejuose taškuose arba turi apkrovą tarp šarnyrų. Pirmiausia ieškokite dviejų jėgų strypų: strypo, apkrauto tik dviejuose šarnyruose, jėga veikia tiese per juos, todėl jis prideda vieną nežinomąjį, o ne du. Tada atramų reakcijoms naudokite visą konstrukciją, jei nežinomųjų ne daugiau kaip trys. Galiausiai išardykite rėmą: kiekvieną strypą nubraižykite atskirai, su vienodo didumo ir priešingomis šarnyrų jėgomis dviem juos jungiantiems strypams, ir užrašykite jam ΣFx = 0, ΣFy = 0 ir ΣM = 0. Imant momentus šarnyro atžvilgiu, abi to šarnyro jėgos komponentės iš lygties iškrenta.
Atsparos jėga
FCD = 10·2,4/(0,6·2) = 20 kN
Komponentės taške A
Ax = FCD·cos α = 16 kN (link sienos)
Ay = 10 − FCD·sin α = −2 kN
Modulis
A = √(16² + −2²) = 16,12 kN
Atsakymas
A = 16,12 kN
Neigiamas Ay reiškia, kad siena traukia siją žemyn taške A.
8.Rėmai ir mechanizmai
Atsakymas: T = 20,63 kN
Rėmai ir mechanizmai: skirtingai nei santvara, rėmas turi bent vieną strypą, kuris apkrautas daugiau nei dviejuose taškuose arba turi apkrovą tarp šarnyrų. Pirmiausia ieškokite dviejų jėgų strypų: strypo, apkrauto tik dviejuose šarnyruose, jėga veikia tiese per juos, todėl jis prideda vieną nežinomąjį, o ne du. Tada atramų reakcijoms naudokite visą konstrukciją, jei nežinomųjų ne daugiau kaip trys. Galiausiai išardykite rėmą: kiekvieną strypą nubraižykite atskirai, su vienodo didumo ir priešingomis šarnyrų jėgomis dviem juos jungiantiems strypams, ir užrašykite jam ΣFx = 0, ΣFy = 0 ir ΣM = 0. Imant momentus šarnyro atžvilgiu, abi to šarnyro jėgos komponentės iš lygties iškrenta.
Lyno kampas
BC = √(3² + 4²) = 5 m, sin β = 0,8
Momentai A atžvilgiu
T·0,8·3 = 15·3 + 3·1,5
T = 20,63 kN
Atsakymas
T = 20,63 kN
9.Skersinė jėga ir lenkimo momentas
Atsakymas: Mx = 15 kN·m
Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu.
Atramų reakcijos
Visos sijos pusiausvyra.
Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 6·6 = 36 kN, veikianti taške x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 6·6·3
RB = 108/6 = 18 kN
ΣFy = 0: RA = 36 − 18 = 18 kN
Perpjaukite ties x = 1 m ir palikite kairiąją dalį
Įskaitomos tik jėgos kairiau pjūvio. Išskirstytosios apkrovos dalis veikia kaip viena jėga tos dalies viduryje.
M = RA·x − (kiekviena apkrova kairiau pjūvio × jos atstumas iki pjūvio)
Mx = 18·1 − 6·1·0,5 = 15 kN·m
Atsakymas
Mx = 15 kN·m
10.Skersinė jėga ir lenkimo momentas
Atsakymas: E (x = 4 m)
Didžiausias lenkimo momentas: M nuolydis keičiasi ten, kur keičiasi skersinė jėga, todėl jo viršūnės yra ten, kur skersinė jėga kerta nulį: po koncentruota apkrova, paskirstytos apkrovos viduje arba virš gembės atramos. Įtvirtintoje gembės atramoje momentas didžiausias prie sienos. Palyginkite M dydį tose vietose, įlenkiantį ar išlenkiantį.
Atramų reakcijos
Paimkite momentus apie vieną atramą, tada naudokite vertikalių jėgų balansą.
R1 = 7,5 kN, R2 = 97,5 kN
Lenkimo momentas ties kiekviena žyme
Susumuokite visų vienoje pjūvio pusėje esančių jėgų momentus. Įlenkiantis teigiamas, išlenkiantis neigiamas.
MA = 0, MB = 7,5, MC = 15, MD = −37,5, ME = −90 kN·m, MF = −45, MG = 0
Atsakymas
Žymė E: ME = −90 kN·m
11.Svorio centras ir inercijos momentas
Atsakymas: Ix = 88,28 × 10⁶ mm⁴
Sudėtiniai skerspjūviai: padalykite skerspjūvį į stačiakampius. Svorio centras yra plotais svertinis vidurkis ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Inercijos momentas centrinės ašies atžvilgiu sumuoja kiekvienos dalies nuosavą bh³/12 ir Šteinerio narį A·d², kur d – atstumas nuo dalies svorio centro iki bendro svorio centro. Lenkimo įtempis σ = M·y/I.
Padalykite į du stačiakampius
Kiekvieną y matuokite nuo apatinio krašto.
lentyna: Af = 140·30 = 4200 mm², yf = 280 + 30/2 = 295 mm
sienelė: Aw = 18·280 = 5040 mm², yw = 280/2 = 140 mm
Pjūviai su skylėmis: skylę traktuokite kaip neigiamą plotą. Svorio centras yra ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), kai A₁, y₁ – pilnos plokštės, o A₂, y₂ – skylės. Ploto inercijos momentui centrinės ašies atžvilgiu kiekvienai daliai taikykite lygiagrečiųjų ašių (Šteinerio) teoremą ir skylę atimkite: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), kur d yra atstumas nuo kiekvienos dalies savojo svorio centro iki ašies, einančios per ȳ. Stačiakampio Ic = bh³/12, o skritulio Ic = πd⁴/64.
Svorio centras
ȳ = (48000·120 − 1000·96)/(48000 − 1000) = 120,5 mm