Statika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandauga

Modulis: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Vienetinis vektorius: û = a/|a|
Komponentės pagal kampą: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Skaliarinė sandauga: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a skaliarinė projekcija į b: a·b/|b|
Darbas: W = F·d
Vektorinė sandauga: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Plotai: lygiagretainis |a × b|, trikampis ½|a × b|
Momentas taško O atžvilgiu: M_O = r × F, r = A − O
Gretasienio tūris: V = |a·(b × c)|

Metodas

Kiekvieną vektorių užrašykite komponentėmis; jėgai, pateiktai moduliu ir kampu, naudokite F·cos θ ir F·sin θ.
Ilgiams ir kryptims naudokite modulį √(x² + y² + z²) ir vienetinį vektorių a/|a|.
Skaliarinę sandaugą naudokite kampams, projekcijoms, statmenumui ir darbui: a·b = |a||b|cos θ.
Vektorinę sandaugą naudokite statmeniems vektoriams, plotams ir momentams: atidžiai užrašykite tris komponentes, išlaikydami tvarką a × b.

Sijų atramų reakcijos

Pusiausvyra: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Tolygi apkrova: atstojamoji w·L apkrovos viduryje
Momentas: M = F·d

Metodas

Nubraižykite laisvojo kūno diagramą ir kiekvieną atramą pakeiskite jos reakcijomis.
Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite viena jėga, veikiančia jos svorio centre.
Momentų lygtį užrašykite vienos atramos atžvilgiu ir raskite kitos atramos reakciją.
Likusiai reakcijai rasti naudokite ΣF_y = 0 ir patikrinkite antrąja momentų lygtimi.

Santvara: mazgų metodas

Mazgų metodas: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Pjūvių metodas: ΣM = 0 about a cut point
Strypo jėga: teigiama = tempimas, neigiama = gniuždymas

Metodas

Raskite visos santvaros atramų reakcijas.
Mazgų metodas: pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos, ir naudokite ΣF_x = 0 ir ΣF_y = 0.
Pjūvių metodas: perpjaukite per reikiamą strypą ir užrašykite momentų lygtį taško, kuriame susikerta kiti nežinomi strypai, atžvilgiu.
Tarkite, kad strypas tempiamas; neigiamas atsakymas reiškia gniuždymą.

Rėmai ir mechanizmai

Kiekvieno strypo pusiausvyra: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Dviejų jėgų strypas: jėga veikia tiese, einančia per jo du šarnyrus
Šarnyro jėga: vienodo didumo ir priešingos jėgos dviem sujungiamiems strypams
Šarnyro jėgos modulis: F = √(F_x² + F_y²)
Svertas, replės, kampinis svertas: F_in·a = F_out·b
Alkūninis mechanizmas: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Tolygi apkrova: atstojamoji w·L apkrovos viduryje

Metodas

Nubraižykite visą konstrukciją ir raskite atramų reakcijas, jei nežinomųjų ne daugiau kaip trys.
Raskite dviejų jėgų strypus: apkrauti tik dviejuose šarnyruose, jų jėga veikia tiese tarp tų šarnyrų.
Išardykite rėmą ir nubraižykite kiekvieną strypą atskirai; kur strypai susijungia, šarnyrų jėgos vienodo didumo ir priešingos krypties.
Kiekvienam strypui imkite momentus šarnyro, kuriame veikia nežinomos jėgos, atžvilgiu, tada naudokite ΣF_x = 0 ir ΣF_y = 0; komponentes į modulį sujunkite pačioje pabaigoje.

Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Skersinė jėga ir momentas: V = ΣF vienoje pusėje, M = ΣF·d vienoje pusėje
Lenkimo įtempis: σ = M·y/I
Stačiakampis: I = bh³/12
Atsparumo momentas: W = I/y_max
Laisvai atremta, tolygi apkrova: M_max = wL²/8

Metodas

Atramų reakcijas raskite iš visos sijos pusiausvyros.
Perpjaukite siją reikiamame pjūvyje ir palikite vieną pusę.
Skersinė jėga: tos pusės vertikaliųjų jėgų suma. Lenkimo momentas: jų momentų pjūvio atžvilgiu suma.
Didžiausiam momentui rasti nustatykite, kur skersinė jėga lygi nuliui.

Svorio centras ir inercijos momentas

Svorio centras: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Stačiakampis: I = bh³/12
Šteinerio teorema: I = I_c + A·d²
Sudėtinis skerspjūvis: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Uždaviniai

1.Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandaugaVidutinis

Pastovi jėga F = (15, 10, 15) N veikia kūną, kuris tiesiai juda iš taško A(0, 3, 1) į tašką B(−2, 0, 1). Koordinatės pateiktos metrais. Raskite jėgos atliktą darbą W.

F = (15, 10, 15) NA(0, 3, 1) mB(−2, 0, 1) m

W = J

2.Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandaugaSunkus

Raskite gretasienio, kurio briaunos iš vienos viršūnės yra a = (−2, 0, 3), b = (−4, 4, 0) ir c = (4, 3, −1), tūrį V.

a = (−2, 0, 3)b = (−4, 4, 0)c = (4, 3, −1)

V =

3.Sijų atramų reakcijosVidutinis

Laisvai atremta sija turi šarnyrinę atramą A ir ritininę atramą B. Ją veikia sutelktoji jėga P, esanti 4,5 m atstumu nuo A, ir jėgų pora M (prieš laikrodžio rodyklę), esanti 4 m atstumu nuo A. Raskite vertikaliąją reakciją R_B, teigiama kryptimi laikydami kryptį aukštyn.

L = 6 mP = 10 kN ties 4,5 mM = 30 kN·m (prieš laikrodžio rodyklę) ties 4 m

R_B = kN

4.Sijų atramų reakcijosSunkus

Sudėtinė sija taške A įtvirtinta sienoje, turi vidinį šarnyrą C (3 m nuo A) ir remiasi į ritininę atramą D (10 m nuo A). Ją veikia sutelktoji jėga P, esanti 8 m atstumu nuo A, tolygiai išskirstyta apkrova w visoje dalyje CD ir sutelktoji jėga Q, esanti 1 m atstumu nuo A. Raskite ritininės atramos reakciją R_D.

AC = 3 mAD = 10 mP = 20 kN ties 8 mw = 5 kN/m nuo 3 iki 10 mQ = 30 kN ties 1 m

R_D = kN

5.Santvara: mazgų metodasVidutinis

Mazgų metodu raskite jėgą F_AB strype AB. Tempimą nurodykite teigiamu, gniuždymą – neigiamu.

tarpatramis = 8 maukštis = 4 mB yra 7 m nuo Avertikalioji apkrova = 20 kN

F_AB = kN

6.Santvara: mazgų metodasSunkus

Mazgų metodu raskite jėgą F_AB strype AB. Tempimą nurodykite teigiamu, gniuždymą – neigiamu.

tarpatramis = 6 maukštis = 2 mB yra 5 m nuo Avertikalioji apkrova = 30 kNhorizontalioji apkrova = 25 kN ←

F_AB = kN

7.Rėmai ir mechanizmaiVidutinis

Parodytas A formos rėmas stovi ant šarnyrinės atramos A ir ritininės atramos B, nutolusių 4,8 m, jo viršūnės šarnyras C yra 4 m aukštyje, o horizontalus ryšys DE – 1,2 m virš žemės. Vertikali 15 kN apkrova veikia koją AC taške K, 1,8 m (horizontaliai) nuo A. Raskite ryšio tempimo jėgą T.

P = 15 kNAB = 4,8 mC aukštis = 4 mDE aukštis = 1,2 mhorizontalus atstumas nuo A iki K = 1,8 m

T = kN

8.Rėmai ir mechanizmaiSunkus

Parodytas A formos rėmas stovi ant šarnyrinės atramos A ir ritininės atramos B, nutolusių 4,8 m, jo viršūnės šarnyras C yra 3,6 m aukštyje, o horizontalus ryšys DE – 1,5 m virš žemės. Vertikali 5 kN apkrova veikia koją AC taške K, 0,6 m (horizontaliai) nuo A. Raskite jėgos C, kuria šarnyras C veikia koją BC, didumą.

P = 5 kNAB = 4,8 mC aukštis = 3,6 mDE aukštis = 1,5 mhorizontalus atstumas nuo A iki K = 0,6 m

C = kN

9.Skersinė jėga ir lenkimo momentasVidutinis

Žymės nuo A iki G padalija siją į šešias lygias dalis. Ties kuria žyme lenkimo momentas yra didžiausias dydžiu, įlenkiantis ar išlenkiantis? Spustelėkite ją diagramoje.

45 kN @ 6 m20 kN @ 10 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

10.Skersinė jėga ir lenkimo momentasSunkus

Sija remiasi į šarnyrinę atramą A ir ritininę atramą B, o už B tęsiasi 1 m ilgio konsolė iki laisvojo galo C. Visą ilgį A–C veikia tolygiai išskirstyta apkrova w. Raskite atstumą x_c nuo A iki persilenkimo taško tarp atramų (kur lenkimo momentas keičia ženklą).

L = 9 mw = 4 kN/m nuo 0 iki 9 matramos ties x = 0 ir x = 8 m

x_c = m

11.Svorio centras ir inercijos momentasVidutinis

200 mm × 300 mm plokštė turi apvalią 40 mm skersmens skylę vertikalioje simetrijos ašyje, kurios centras yra 120 mm virš apačios. Raskite ploto inercijos momentą I_x horizontaliosios ašies, einančios per svorio centrą, atžvilgiu.

b = 200 mmh = 300 mmd = 40 mmskylės centras: y = 120 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Svorio centras ir inercijos momentasSunkus

150 mm × 200 mm plokštė turi stačiakampį iškirpimą, 50 mm pločio ir 50 mm aukščio, vertikalioje simetrijos ašyje, kurio centras yra 80 mm virš apačios. Raskite ploto inercijos momentą I_x horizontaliosios ašies, einančios per svorio centrą, atžvilgiu.

b = 150 mmh = 200 mmiškirpimas: 50 × 50 mmskylės centras: y = 80 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3Tirpalai

1.Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandauga

Atsakymas: W = −60 J

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Poslinkis

d = B − A = (−2, 0, 1) − (0, 3, 1) = (−2, −3, 0) m

Darbas

W = F·d = 15·(−2) + 10·(−3) + 15·0 = −60 J

Atsakymas

W = −60 J

Neigiamas darbas: jėga daugiausia veikia prieš judėjimą.

2.Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandauga

Atsakymas: V = 76

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Vektorinė sandauga b × c

(b × c)_x = b_yc_z − b_zc_y = 4·(−1) − 0·3 = −4

(b × c)_y = b_zc_x − b_xc_z = 0·4 − (−4)·(−1) = −4

(b × c)_z = b_xc_y − b_yc_x = (−4)·3 − 4·4 = −28

Skaliarinė sandauga su a

a·(b × c) = (−2)·(−4) + 0·(−4) + 3·(−28) = −76

V = |−76| = 76

Atsakymas

V = 76

3.Sijų atramų reakcijos

Atsakymas: R_B = 2,5 kN

Momentai A atžvilgiu

Prieš laikrodžio rodyklę – teigiama.

ΣM_A = 0: R_B·6 − 10·4,5 + 30 = 0

R_B = 15/6 = 2,5 kN

Vertikalioji pusiausvyra

R_A = 10 − 2,5 = 7,5 kN

Atsakymas

R_B = 2,5 kN

Neigiama reakcija nukreipta žemyn.

4.Sijų atramų reakcijos

Atsakymas: R_D = 31,79 kN

Statinė pusiausvyra: rimties būsenos kūnui ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 ir ΣM = 0 bet kurio taško atžvilgiu. Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite jos atstojamąja (diagramos plotu), veikiančia apkrovos diagramos svorio centre, ir imkite momentus atramos atžvilgiu, kad tos atramos reakcija dingtų iš lygties. Vidinis šarnyras negali perduoti lenkimo momento, todėl gaunama viena papildoma lygtis: bet kurios pusės jėgų momentas šarnyro atžvilgiu lygus nuliui.

Dalis CD

Šarnyre momento nėra, todėl vien dalies CD momentai taško C atžvilgiu turi būti pusiausviri.

W = 5·7 = 35 kN ties 3,5 m nuo C

ΣM_C = 0: R_D·7 = 20·5 + 35·3,5

R_D = 31,79 kN

V_C = 55 − 31,79 = 23,21 kN

Atsakymas

R_D = 31,79 kN

5.Santvara: mazgų metodas

Atsakymas: F_AB = −5,039 kN

Mazgų metodas: kiekvienas santvaros mazgas yra pusiausvyroje, todėl kiekviename mazge ΣF_x = 0 ir ΣF_y = 0. Pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos. Neigiamas rezultatas reiškia, kad strypas gniuždomas.

Atramų reakcijos

Visos santvaros pusiausvyra. Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 20·7 → C_y = 17,5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 20 − 17,5 = 2,5 kN

Mazgas A

Tarkite, kad kiekvienas strypas tempiamas (traukia nuo mazgo). Tik AB turi vertikaliąją dedamąją mazge A.

sin α = 4/8,062 = 0,4961

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −2,5/0,4961 = −5,039 kN

Atsakymas

F_AB = −5,039 kN (gniuždymas)

6.Santvara: mazgų metodas

Atsakymas: F_AB = −35,9 kN

Atramų reakcijos

Visos santvaros pusiausvyra. Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 30·5 − 25·2 → C_y = 16,67 kN

ΣF_y = 0: A_y = 30 − 16,67 = 13,33 kN

ΣF_x = 0: A_x = 25 kN

Mazgas A

Tarkite, kad kiekvienas strypas tempiamas (traukia nuo mazgo). Tik AB turi vertikaliąją dedamąją mazge A.

sin α = 2/5,385 = 0,3714

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −13,33/0,3714 = −35,9 kN

Atsakymas

F_AB = −35,9 kN (gniuždymas)

7.Rėmai ir mechanizmai

Atsakymas: T = 4,821 kN

Rėmai ir mechanizmai: skirtingai nei santvara, rėmas turi bent vieną strypą, kuris apkrautas daugiau nei dviejuose taškuose arba turi apkrovą tarp šarnyrų. Pirmiausia ieškokite dviejų jėgų strypų: strypo, apkrauto tik dviejuose šarnyruose, jėga veikia tiese per juos, todėl jis prideda vieną nežinomąjį, o ne du. Tada atramų reakcijoms naudokite visą konstrukciją, jei nežinomųjų ne daugiau kaip trys. Galiausiai išardykite rėmą: kiekvieną strypą nubraižykite atskirai, su vienodo didumo ir priešingomis šarnyrų jėgomis dviem juos jungiantiems strypams, ir užrašykite jam ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 ir ΣM = 0. Imant momentus šarnyro atžvilgiu, abi to šarnyro jėgos komponentės iš lygties iškrenta.

Visas rėmas: momentai taško A atžvilgiu

B_y = 15·1,8/4,8 = 5,625 kN

Koja BC: momentai taško C atžvilgiu

5,625·2,4 = T·2,8

T = 4,821 kN

Atsakymas

T = 4,821 kN

8.Rėmai ir mechanizmai

Atsakymas: C = 0,9491 kN

Atramos B reakcija

B_y = 5·0,6/4,8 = 0,625 kN

Ryšio jėga

T = 0,625·2,4/2,1 = 0,7143 kN

Šarnyro jėga, veikianti BC

C_x = 0,7143 kN, C_y = −0,625 kN

C = √(0,7143² + 0,625²) = 0,9491 kN

Atsakymas

C = 0,9491 kN

9.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: D (x = 6 m)

Didžiausias lenkimo momentas: M nuolydis keičiasi ten, kur keičiasi skersinė jėga, todėl jo viršūnės yra ten, kur skersinė jėga kerta nulį: po koncentruota apkrova, paskirstytos apkrovos viduje arba virš gembės atramos. Įtvirtintoje gembės atramoje momentas didžiausias prie sienos. Palyginkite M dydį tose vietose, įlenkiantį ar išlenkiantį.

Atramų reakcijos

Paimkite momentus apie vieną atramą, tada naudokite vertikalių jėgų balansą.

R₁ = 25,83 kN, R₂ = 39,17 kN

Lenkimo momentas ties kiekviena žyme

Susumuokite visų vienoje pjūvio pusėje esančių jėgų momentus. Įlenkiantis teigiamas, išlenkiantis neigiamas.

M_A = 0, M_B = 51,67, M_C = 103,3, M_D = 155 kN·m, M_E = 116,7, M_F = 78,33, M_G = 0

Atsakymas

Žymė D: M_D = 155 kN·m

10.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: x_c = 7,875 m

Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu. Didžiausias momentas: kadangi dM/dx = V, lenkimo momentas didžiausias ten, kur skersinė jėga eina per nulį – sutelktosios jėgos vietoje arba išskirstytosios apkrovos ruože.

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra, įskaitant konsolės apkrovą.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 4·9 = 36 kN, veikianti taške x̄ = 4,5 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 4·9·4,5

R_B = 162/8 = 20,25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 36 − 20,25 = 15,75 kN

Nulinis momentas

Tarp atramų M(x) = R_A·x − w·x²/2. Be x = 0, jis lygus nuliui ties x = 2R_A/w.

R_A·x_c − w·x_c²/2 = 0

x_c = 2·15,75/4 = 7,875 m

Atsakymas

x_c = 7,875 m

11.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: I_x = 448,7 × 10⁶ mm⁴

Pjūviai su skylėmis: skylę traktuokite kaip neigiamą plotą. Svorio centras yra ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), kai A₁, y₁ – pilnos plokštės, o A₂, y₂ – skylės. Ploto inercijos momentui centrinės ašies atžvilgiu kiekvienai daliai taikykite lygiagrečiųjų ašių (Šteinerio) teoremą ir skylę atimkite: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), kur d yra atstumas nuo kiekvienos dalies savojo svorio centro iki ašies, einančios per ȳ. Stačiakampio I_c = bh³/12, o skritulio I_c = πd⁴/64.

Svorio centras

ȳ = (60000·150 − 1257·120)/(60000 − 1257) = 150,6 mm

Pilna plokštė ȳ atžvilgiu

200·300³/12 + 60000·−0,6418² = 450 × 10⁶ mm⁴

Skylė ȳ atžvilgiu

π·40⁴/64 + 1257·−30,64² = 1,306 × 10⁶ mm⁴

Atimkite

I_x = 448,7 × 10⁶ mm⁴

Atsakymas

I_x = 448,7 × 10⁶ mm⁴

12.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: I_x = 98,39 × 10⁶ mm⁴

Svorio centras

ȳ = (30000·100 − 2500·80)/(30000 − 2500) = 101,8 mm

Pilna plokštė ȳ atžvilgiu

150·200³/12 + 30000·−1,818² = 100,1 × 10⁶ mm⁴

Skylė ȳ atžvilgiu

50·50³/12 + 2500·−21,82² = 1,711 × 10⁶ mm⁴

Atimkite

I_x = 98,39 × 10⁶ mm⁴

Atsakymas

I_x = 98,39 × 10⁶ mm⁴

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics