Statika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandauga

Modulis: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Vienetinis vektorius: û = a/|a|
Komponentės pagal kampą: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Skaliarinė sandauga: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a skaliarinė projekcija į b: a·b/|b|
Darbas: W = F·d
Vektorinė sandauga: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Plotai: lygiagretainis |a × b|, trikampis ½|a × b|
Momentas taško O atžvilgiu: M_O = r × F, r = A − O
Gretasienio tūris: V = |a·(b × c)|

Metodas

Kiekvieną vektorių užrašykite komponentėmis; jėgai, pateiktai moduliu ir kampu, naudokite F·cos θ ir F·sin θ.
Ilgiams ir kryptims naudokite modulį √(x² + y² + z²) ir vienetinį vektorių a/|a|.
Skaliarinę sandaugą naudokite kampams, projekcijoms, statmenumui ir darbui: a·b = |a||b|cos θ.
Vektorinę sandaugą naudokite statmeniems vektoriams, plotams ir momentams: atidžiai užrašykite tris komponentes, išlaikydami tvarką a × b.

Sijų atramų reakcijos

Pusiausvyra: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Tolygi apkrova: atstojamoji w·L apkrovos viduryje
Momentas: M = F·d

Metodas

Nubraižykite laisvojo kūno diagramą ir kiekvieną atramą pakeiskite jos reakcijomis.
Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite viena jėga, veikiančia jos svorio centre.
Momentų lygtį užrašykite vienos atramos atžvilgiu ir raskite kitos atramos reakciją.
Likusiai reakcijai rasti naudokite ΣF_y = 0 ir patikrinkite antrąja momentų lygtimi.

Santvara: mazgų metodas

Mazgų metodas: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Pjūvių metodas: ΣM = 0 about a cut point
Strypo jėga: teigiama = tempimas, neigiama = gniuždymas

Metodas

Raskite visos santvaros atramų reakcijas.
Mazgų metodas: pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos, ir naudokite ΣF_x = 0 ir ΣF_y = 0.
Pjūvių metodas: perpjaukite per reikiamą strypą ir užrašykite momentų lygtį taško, kuriame susikerta kiti nežinomi strypai, atžvilgiu.
Tarkite, kad strypas tempiamas; neigiamas atsakymas reiškia gniuždymą.

Rėmai ir mechanizmai

Kiekvieno strypo pusiausvyra: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Dviejų jėgų strypas: jėga veikia tiese, einančia per jo du šarnyrus
Šarnyro jėga: vienodo didumo ir priešingos jėgos dviem sujungiamiems strypams
Šarnyro jėgos modulis: F = √(F_x² + F_y²)
Svertas, replės, kampinis svertas: F_in·a = F_out·b
Alkūninis mechanizmas: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Tolygi apkrova: atstojamoji w·L apkrovos viduryje

Metodas

Nubraižykite visą konstrukciją ir raskite atramų reakcijas, jei nežinomųjų ne daugiau kaip trys.
Raskite dviejų jėgų strypus: apkrauti tik dviejuose šarnyruose, jų jėga veikia tiese tarp tų šarnyrų.
Išardykite rėmą ir nubraižykite kiekvieną strypą atskirai; kur strypai susijungia, šarnyrų jėgos vienodo didumo ir priešingos krypties.
Kiekvienam strypui imkite momentus šarnyro, kuriame veikia nežinomos jėgos, atžvilgiu, tada naudokite ΣF_x = 0 ir ΣF_y = 0; komponentes į modulį sujunkite pačioje pabaigoje.

Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Skersinė jėga ir momentas: V = ΣF vienoje pusėje, M = ΣF·d vienoje pusėje
Lenkimo įtempis: σ = M·y/I
Stačiakampis: I = bh³/12
Atsparumo momentas: W = I/y_max
Laisvai atremta, tolygi apkrova: M_max = wL²/8

Metodas

Atramų reakcijas raskite iš visos sijos pusiausvyros.
Perpjaukite siją reikiamame pjūvyje ir palikite vieną pusę.
Skersinė jėga: tos pusės vertikaliųjų jėgų suma. Lenkimo momentas: jų momentų pjūvio atžvilgiu suma.
Didžiausiam momentui rasti nustatykite, kur skersinė jėga lygi nuliui.

Svorio centras ir inercijos momentas

Svorio centras: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Stačiakampis: I = bh³/12
Šteinerio teorema: I = I_c + A·d²
Sudėtinis skerspjūvis: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Uždaviniai

1.Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandaugaVidutinis

Raskite vektoriaus a = (1, 1, 2) skaliarinę projekciją comp_b a į b = (−3, −3, −5), t. y. a komponentę b kryptimi.

a = (1, 1, 2)b = (−3, −3, −5)

comp_b a =

2.Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandaugaSunkus

Raskite trikampio, kurio viršūnės A(0, 3, 3), B(2, −4, 0) ir C(0, 0, 0), plotą A. Koordinatės pateiktos metrais.

A(0, 3, 3)B(2, −4, 0)C(0, 0, 0)

A = m²

3.Sijų atramų reakcijosVidutinis

Laisvai atremta sija turi šarnyrinę atramą A ir ritininę atramą B. Raskite vertikaliąją atramos reakciją R_B.

L = 4 mP₁ = 55 kN ties 2 mP₂ = 40 kN ties 3 m

R_B = kN

4.Sijų atramų reakcijosSunkus

Sija turi šarnyrinę atramą A ir ritininę atramą B, esančią 4,5 m atstumu nuo A, o už B tęsiasi konsolė iki laisvojo galo C. Ją veikia sutelktoji jėga P, esanti 0,5 m atstumu nuo A, ir tolygiai išskirstyta apkrova w nuo 4 m iki laisvojo galo ties 6 m. Raskite vertikaliąją reakciją R_B, teigiama kryptimi laikydami kryptį aukštyn.

AB = 4,5 mAC = 6 mP = 40 kN ties 0,5 mw = 4 kN/m nuo 4 iki 6 m

R_B = kN

5.Santvara: mazgų metodasVidutinis

Tiksliai vienas šios santvaros elementas neneša jėgos esant šioms apkrovoms. Kuris yra nulinės jėgos elementas? Spustelėkite jį diagramoje.

D: 10 kN ↓G: 10 kN ↓

1elementas AB
2elementas BC
3elementas CD
4elementas DE
5elementas FG
6elementas GH
7elementas AF
8elementas HE
9elementas BF
10elementas CG
11elementas DH
12elementas BG
13elementas DG

6.Santvara: mazgų metodasSunkus

Tiksliai vienas šios santvaros elementas neneša jėgos esant šioms apkrovoms. Kuris yra nulinės jėgos elementas? Spustelėkite jį diagramoje.

B: 40 kN ↓C: 25 kN ↓D: 25 kN ↓F: 35 kN ↓F: 40 kN →

1elementas AB
2elementas BC
3elementas CD
4elementas DE
5elementas FG
6elementas GH
7elementas AF
8elementas HE
9elementas BF
10elementas CG
11elementas DH
12elementas FC
13elementas HC

7.Rėmai ir mechanizmaiVidutinis

Parodytame alkūniniame spaustuve dvi vienodos jungtys AB ir BC sujungtos šarnyru B, ir kiekviena su tiese AC sudaro 20° kampą. Taške B veikia žemyn nukreipta 250 N jėga. Slankiklis C spaudžia ruošinį. Nepaisydami trinties ir svorių, raskite horizontaliąją spaudimo jėgą Q.

F = 250 Nθ = 20°

Q = N

8.Rėmai ir mechanizmaiSunkus

Alkūninio preso dvi vienodos jungtys AB ir BC yra po 80 mm ilgio tarp šarnyrų. Šarnyras B yra 8 mm virš tiesės AC. Kokia žemyn nukreipta jėga F taške B sukuria 2500 N horizontalią spaudimo jėgą ties slankikliu C? Nepaisykite trinties ir svorių.

Q = 2500 NAB = BC = 80 mmh = 8 mm

F = N

9.Skersinė jėga ir lenkimo momentasVidutinis

Raskite lenkimo momentą M_x pjūvyje x = 3 m nuo atramos A. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.

L = 5 mw = 6 kN/m nuo 0 iki 5 mx = 3 m

M_x = kN·m

10.Skersinė jėga ir lenkimo momentasSunkus

Raskite lenkimo momentą M_x pjūvyje x = 6 m nuo atramos A. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.

L = 8 mP = 50 kN ties 6 mw = 10 kN/m nuo 0 iki 8 mx = 6 m

M_x = kN·m

11.Svorio centras ir inercijos momentasVidutinis

Lovinis skerspjūvis atvira puse į viršų: 280 mm pločio pagrindo plokštė su dviem vertikaliomis lentynomis, bendrasis aukštis 150 mm. Pagrindo ir lentynų storis vienodas – 8 mm. Raskite svorio centro aukštį ȳ virš apatinės kraštinės.

b = 280 mmh = 150 mmt = 8 mm

ȳ = mm

12.Svorio centras ir inercijos momentasSunkus

Tėjinis skerspjūvis naudojamas kaip sija su lentyna viršuje ir veikiamas teigiamo lenkimo momento 25 kN·m. Raskite lenkimo įtempį σ_apačia apatiniame krašte.

b_f = 200 mmt_f = 10 mmt_w = 20 mmh_w = 140 mmM = 25 kN·m

σ_apačia = MPa

3Tirpalai

1.Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandauga

Atsakymas: comp_b a = −2,44

Skaliarinė sandauga: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, skaliaras. Ji duoda kampą tarp dviejų vektorių, cos θ = a·b/(|a|·|b|), ir lygi nuliui, kai vektoriai statmeni. Skaliarinė a projekcija į b yra a·b/|b|, o pastovi jėga F, poslinkiu d atliekanti darbą, atlieka darbą W = F·d.

Skaliarinė sandauga

a·b = 1·(−3) + 1·(−3) + 2·(−5) = −16

b ilgis

|b| = √((−3)² + (−3)² + (−5)²) = 6,557

Skaliarinė projekcija

comp_b a = a·b/|b| = −16/6,557 = −2,44

Atsakymas

comp_b a = −2,44

Neigiama: a turi komponentę, nukreiptą prieš b.

2.Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandauga

Atsakymas: A = 7,348 m²

Vektorinė sandauga: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) yra statmena abiem vektoriams, o |a × b| = |a|·|b|·sin θ yra jų sudaryto lygiagretainio plotas (trikampio plotas yra pusė jo). Eilės tvarka svarbi: b × a = −(a × b). Jėgos F, veikiančios taške A, momentas taško O atžvilgiu yra M_O = r × F, kur r = A − O.

Kraštinių vektoriai

AB = B − A = (2, −7, −3)

AC = C − A = (0, −3, −3)

Vektorinė sandauga

(AB × AC)_x = AB_yAC_z − AB_zAC_y = (−7)·(−3) − (−3)·(−3) = 12

(AB × AC)_y = AB_zAC_x − AB_xAC_z = (−3)·0 − 2·(−3) = 6

(AB × AC)_z = AB_xAC_y − AB_yAC_x = 2·(−3) − (−7)·0 = −6

|AB × AC| = √(12² + 6² + (−6)²) = 14,7

Trikampio plotas

A = ½·14,7 = 7,348 m²

Atsakymas

A = 7,348 m²

3.Sijų atramų reakcijos

Atsakymas: R_B = 57,5 kN

Statinė pusiausvyra: rimties būsenos kūnui ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 ir ΣM = 0 bet kurio taško atžvilgiu. Imant momentus vienos atramos atžvilgiu, tos atramos reakcija dingsta iš lygties.

Laisvojo kūno diagrama

Atramas pakeiskite reakcijos jėgomis. Ritininė atrama duoda vieną vertikaliąją reakciją; kai apkrovos tik vertikalios, šarnyrinė atrama taip pat duoda vieną vertikaliąją reakciją.

Pusiausvyra

Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę. Tada vertikaliųjų jėgų pusiausvyra.

ΣM_A = 0: R_B·4 = 55·2 + 40·3

R_B = 230/4 = 57,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 95 − 57,5 = 37,5 kN

Atsakymas

R_B = 57,5 kN

4.Sijų atramų reakcijos

Atsakymas: R_B = 13,33 kN

Statinė pusiausvyra: rimties būsenos kūnui ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 ir ΣM = 0 bet kurio taško atžvilgiu. Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite jos atstojamąja (diagramos plotu), veikiančia apkrovos diagramos svorio centre, ir imkite momentus atramos atžvilgiu, kad tos atramos reakcija dingtų iš lygties.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji

W = 4·2 = 8 kN, x̄ = (4 + 6)/2 = 5 m

Pusiausvyra

Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę. Tada vertikaliųjų jėgų pusiausvyra.

ΣM_A = 0: R_B·4,5 = 40·0,5 + 8·5

R_B = 60/4,5 = 13,33 kN

R_A = 48 − 13,33 = 34,67 kN

Atsakymas

R_B = 13,33 kN

5.Santvara: mazgų metodas

Atsakymas: elementas CG

Nulinės jėgos elementai: mazge jėgos turi atsvirti visomis kryptimis. Jei mazgas neturi apkrovos ir atramos, o du iš trijų jo elementų yra vienoje linijoje, tai pusiausvyra skersai tos linijos apima tik trečiąjį elementą, todėl jo jėga lygi nuliui. Jei neapkrautame mazge susitinka tik du elementai ir jie nėra vienoje linijoje, abu yra nulis.

Mazgas C

BC ir CD yra vienoje tiesėje, o mazgas neapkrautas. Subalansavus jėgas skersai tos linijos lieka tik CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Patikrinkite mazgų metodu

Išsprendus visus mazgus gaunamos šios elementų jėgos (T = tempimas, C = gniuždymas).

AB: 10 kN (T), BC: 20 kN (T), CD: 20 kN (T), DE: 16,67 kN (T), FG: 10 kN (C), GH: 16,67 kN (C), AF: 12,5 kN (C), HE: 20,83 kN (C), BF: 7,5 kN (T), CG: 0, DH: 12,5 kN (T), BG: 12,5 kN (C), DG: 4,167 kN (C)

Atsakymas

Nulinės jėgos elementas: CG

6.Santvara: mazgų metodas

Atsakymas: elementas CG

Mazgas G

FG ir GH yra vienoje tiesėje, o mazgas neapkrautas. Subalansavus jėgas skersai tos linijos lieka tik CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Patikrinkite mazgų metodu

Išsprendus visus mazgus gaunamos šios elementų jėgos (T = tempimas, C = gniuždymas).

AB: 105 kN (T), BC: 105 kN (T), CD: 60 kN (T), DE: 60 kN (T), FG: 95 kN (C), GH: 95 kN (C), AF: 91,92 kN (C), HE: 84,85 kN (C), BF: 40 kN (T), CG: 0, DH: 25 kN (T), FC: 14,14 kN (C), HC: 49,5 kN (T)

Atsakymas

Nulinės jėgos elementas: CG

7.Rėmai ir mechanizmai

Atsakymas: Q = 343,4 N

Mechanizmai: replės, svertai, jungčių sistemos ir spaustuvai įėjimo jėgą paverčia didesne ar kitos krypties išėjimo jėga. Vieną dalį nubraižykite kaip laisvąjį kūną ir imkite momentus jos sukimosi ašies atžvilgiu: šarnyro jėga iškrenta, o F_in·a = F_out·b duoda mechaninį išlošį a/b. Šarnyro jėgą tada gaunate iš ΣF = 0 tai pačiai daliai. Alkūniniame mechanizme dvi jungtys susitinka mažu kampu θ; kiekviena jungtis yra dviejų jėgų strypas, todėl maža jėga F sandūroje sukuria dideles jungčių jėgas F/(2 sin θ) ir spaudimo jėgą F/(2 tan θ).

Šarnyro B pusiausvyra

2·F_link·sin 20° = 250

F_link = 365,5 N

Spaudimo jėga

Q = F_link·cos 20° = 250/(2·tan 20°) = 343,4 N

Atsakymas

Q = 343,4 N

Jėgų santykis Q/F = 1,374 auga neribotai, jungtims tiesėjant.

8.Rėmai ir mechanizmai

Atsakymas: F = 502,5 N

Jungties kampas

sin θ = 8/80 = 0,1, θ = 5,739°

Jungties jėga

F_link = Q/cos θ = 2513 N

Jėga taške B

F = 2·F_link·sin θ = 2·2500·tan θ = 502,5 N

Atsakymas

F = 502,5 N

9.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: M_x = 18 kN·m

Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu.

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 6·5 = 30 kN, veikianti taške x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 6·5·2,5

R_B = 75/5 = 15 kN

ΣF_y = 0: R_A = 30 − 15 = 15 kN

Perpjaukite ties x = 3 m ir palikite kairiąją dalį

Įskaitomos tik jėgos kairiau pjūvio. Išskirstytosios apkrovos dalis veikia kaip viena jėga tos dalies viduryje.

M = R_A·x − (kiekviena apkrova kairiau pjūvio × jos atstumas iki pjūvio)

M_x = 15·3 − 6·3·1,5 = 18 kN·m

Atsakymas

M_x = 18 kN·m

10.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: M_x = 135 kN·m

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 10·8 = 80 kN, veikianti taške x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 50·6 + 10·8·4

R_B = 620/8 = 77,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 130 − 77,5 = 52,5 kN

Perpjaukite ties x = 6 m ir palikite kairiąją dalį

Įskaitomos tik jėgos kairiau pjūvio. Išskirstytosios apkrovos dalis veikia kaip viena jėga tos dalies viduryje.

M = R_A·x − (kiekviena apkrova kairiau pjūvio × jos atstumas iki pjūvio)

M_x = 52,5·6 − 10·6·3 = 135 kN·m

Atsakymas

M_x = 135 kN·m

11.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: ȳ = 41,77 mm

Sudėtiniai skerspjūviai: padalykite skerspjūvį į stačiakampius. Svorio centras yra plotais svertinis vidurkis ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Inercijos momentas centrinės ašies atžvilgiu sumuoja kiekvienos dalies nuosavą bh³/12 ir Šteinerio narį A·d², kur d – atstumas nuo dalies svorio centro iki bendro svorio centro. Lenkimo įtempis σ = M·y/I.

Padalykite į stačiakampius

Pagrindą imkite viso pločio, o dvi lentynas virš jo (aukštis h − t), kad niekas nebūtų įskaičiuota du kartus.

bazė: A₁ = 280·8 = 2240 mm², y₁ = 4 mm

dvi lentynos: A₂ = 2·8·142 = 2272 mm², y₂ = 8 + 142/2 = 79 mm

Svorio centras

ȳ = (2240·4 + 2272·79)/4512 = 41,77 mm

Atsakymas

ȳ = 41,77 mm

12.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: σ_apačia = 227 MPa

Padalykite į du stačiakampius

Kiekvieną y matuokite nuo apatinio krašto.

lentyna: A_f = 200·10 = 2000 mm², y_f = 140 + 10/2 = 145 mm

sienelė: A_w = 20·140 = 2800 mm², y_w = 140/2 = 70 mm

Svorio centras

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2000·145 + 2800·70)/4800 = 101,3 mm

Šteinerio teorema

lentyna: 200·10³/12 + 2000·(145 − 101,3)² = 3,845 × 10⁶ mm⁴

sienelė: 20·140³/12 + 2800·(70 − 101,3)² = 7,308 × 10⁶ mm⁴

I_x = 3,845 × 10⁶ + 7,308 × 10⁶ = 1,115 × 10⁷ mm⁴

Lenkimo įtempis

Apatinis kraštas yra ȳ atstumu nuo ašies.

y = 101,3 mm

σ = M·y/I = 2,5 × 10⁷·101,3/1,115 × 10⁷ = 227 MPa

Atsakymas

σ_apačia = 227 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics