Statika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandauga

Modulis: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Vienetinis vektorius: û = a/|a|
Komponentės pagal kampą: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Skaliarinė sandauga: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a skaliarinė projekcija į b: a·b/|b|
Darbas: W = F·d
Vektorinė sandauga: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Plotai: lygiagretainis |a × b|, trikampis ½|a × b|
Momentas taško O atžvilgiu: M_O = r × F, r = A − O
Gretasienio tūris: V = |a·(b × c)|

Metodas

Kiekvieną vektorių užrašykite komponentėmis; jėgai, pateiktai moduliu ir kampu, naudokite F·cos θ ir F·sin θ.
Ilgiams ir kryptims naudokite modulį √(x² + y² + z²) ir vienetinį vektorių a/|a|.
Skaliarinę sandaugą naudokite kampams, projekcijoms, statmenumui ir darbui: a·b = |a||b|cos θ.
Vektorinę sandaugą naudokite statmeniems vektoriams, plotams ir momentams: atidžiai užrašykite tris komponentes, išlaikydami tvarką a × b.

Sijų atramų reakcijos

Pusiausvyra: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Tolygi apkrova: atstojamoji w·L apkrovos viduryje
Momentas: M = F·d

Metodas

Nubraižykite laisvojo kūno diagramą ir kiekvieną atramą pakeiskite jos reakcijomis.
Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite viena jėga, veikiančia jos svorio centre.
Momentų lygtį užrašykite vienos atramos atžvilgiu ir raskite kitos atramos reakciją.
Likusiai reakcijai rasti naudokite ΣF_y = 0 ir patikrinkite antrąja momentų lygtimi.

Santvara: mazgų metodas

Mazgų metodas: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Pjūvių metodas: ΣM = 0 about a cut point
Strypo jėga: teigiama = tempimas, neigiama = gniuždymas

Metodas

Raskite visos santvaros atramų reakcijas.
Mazgų metodas: pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos, ir naudokite ΣF_x = 0 ir ΣF_y = 0.
Pjūvių metodas: perpjaukite per reikiamą strypą ir užrašykite momentų lygtį taško, kuriame susikerta kiti nežinomi strypai, atžvilgiu.
Tarkite, kad strypas tempiamas; neigiamas atsakymas reiškia gniuždymą.

Rėmai ir mechanizmai

Kiekvieno strypo pusiausvyra: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Dviejų jėgų strypas: jėga veikia tiese, einančia per jo du šarnyrus
Šarnyro jėga: vienodo didumo ir priešingos jėgos dviem sujungiamiems strypams
Šarnyro jėgos modulis: F = √(F_x² + F_y²)
Svertas, replės, kampinis svertas: F_in·a = F_out·b
Alkūninis mechanizmas: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Tolygi apkrova: atstojamoji w·L apkrovos viduryje

Metodas

Nubraižykite visą konstrukciją ir raskite atramų reakcijas, jei nežinomųjų ne daugiau kaip trys.
Raskite dviejų jėgų strypus: apkrauti tik dviejuose šarnyruose, jų jėga veikia tiese tarp tų šarnyrų.
Išardykite rėmą ir nubraižykite kiekvieną strypą atskirai; kur strypai susijungia, šarnyrų jėgos vienodo didumo ir priešingos krypties.
Kiekvienam strypui imkite momentus šarnyro, kuriame veikia nežinomos jėgos, atžvilgiu, tada naudokite ΣF_x = 0 ir ΣF_y = 0; komponentes į modulį sujunkite pačioje pabaigoje.

Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Skersinė jėga ir momentas: V = ΣF vienoje pusėje, M = ΣF·d vienoje pusėje
Lenkimo įtempis: σ = M·y/I
Stačiakampis: I = bh³/12
Atsparumo momentas: W = I/y_max
Laisvai atremta, tolygi apkrova: M_max = wL²/8

Metodas

Atramų reakcijas raskite iš visos sijos pusiausvyros.
Perpjaukite siją reikiamame pjūvyje ir palikite vieną pusę.
Skersinė jėga: tos pusės vertikaliųjų jėgų suma. Lenkimo momentas: jų momentų pjūvio atžvilgiu suma.
Didžiausiam momentui rasti nustatykite, kur skersinė jėga lygi nuliui.

Svorio centras ir inercijos momentas

Svorio centras: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Stačiakampis: I = bh³/12
Šteinerio teorema: I = I_c + A·d²
Sudėtinis skerspjūvis: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Uždaviniai

1.Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandaugaVidutinis

Raskite kampą θ tarp vektorių a = (−6, 0, 3) ir b = (4, 5, −3) laipsniais.

a = (−6, 0, 3)b = (4, 5, −3)

θ = °

2.Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandaugaSunkus

Vienetinis vektorius n̂ statmenas abiem vektoriams a = (4, 1, 5) ir b = (4, 2, 3) ir turi teigiamą z komponentę. Raskite jo y komponentę n̂_y.

a = (4, 1, 5)b = (4, 2, 3)n̂_z > 0

n̂_y =

3.Sijų atramų reakcijosVidutinis

Laisvai atremtą siją (šarnyrinė atrama A, ritininė atrama B) veikia tiesiškai kintanti apkrova, didėjanti nuo nulio ties A iki 10 kN/m ties B. 1 m atstumu nuo A dar veikia sutelktoji jėga P. Raskite vertikaliąją atramos reakciją R_B.

L = 5 mw₀ = 10 kN/mP = 35 kN ties 1 m

R_B = kN

4.Sijų atramų reakcijosSunkus

Laisvai atremta sija turi šarnyrinę atramą A ir ritininę atramą B. Raskite vertikaliąją atramos reakciją R_B.

L = 6 mP = 10 kN ties 3,5 mw = 6 kN/m nuo 0 iki 2 m

R_B = kN

5.Santvara: mazgų metodasVidutinis

Mazgų metodu raskite jėgą F_AC strype AC. Tempimą nurodykite teigiamu, gniuždymą – neigiamu.

tarpatramis = 6 maukštis = 2 mB yra 2 m nuo Avertikalioji apkrova = 30 kN

F_AC = kN

6.Santvara: mazgų metodasSunkus

Tiksliai vienas šios santvaros elementas neneša jėgos esant šioms apkrovoms. Kuris yra nulinės jėgos elementas? Spustelėkite jį diagramoje.

B: 40 kN ↓C: 10 kN ↓D: 15 kN ↓F: 40 kN →

1elementas AB
2elementas BC
3elementas CD
4elementas DE
5elementas FG
6elementas GH
7elementas AF
8elementas HE
9elementas BF
10elementas CG
11elementas DH
12elementas FC
13elementas HC

7.Rėmai ir mechanizmaiVidutinis

Parodytas rėmas turi šarnyrus A, B ir C; A ir C pritvirtinti prie žemės 4 m atstumu, o B yra 4 m virš žemės ir 1,8 m į dešinę nuo A. Vertikali 15 kN apkrova veikia strypą AB taške K, 1,35 m (horizontaliai) nuo A. Raskite jėgą F_BC strype BC.

P = 15 kNL = 4 mH = 4 mhorizontalus atstumas nuo A iki B = 1,8 mhorizontalus atstumas nuo A iki K = 1,35 m

F_BC = kN

8.Rėmai ir mechanizmaiSunkus

Parodytas A formos rėmas stovi ant šarnyrinės atramos A ir ritininės atramos B, nutolusių 3 m. Kojos susitinka šarnyre C, 3 m aukštyje, ir sujungtos horizontaliu strypu DE 1,5 m aukštyje. Taške C į dešinę veikia horizontali 5 kN jėga. Raskite ryšio tempimo jėgą T.

P = 5 kNAB = 3 mC aukštis = 3 mDE aukštis = 1,5 m

T = kN

9.Skersinė jėga ir lenkimo momentasVidutinis

Raskite lenkimo momentą M_x pjūvyje x = 3,5 m nuo atramos A. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.

L = 5 mw = 3 kN/m nuo 0 iki 5 mx = 3,5 m

M_x = kN·m

10.Skersinė jėga ir lenkimo momentasSunkus

Raskite lenkimo momentą M_x pjūvyje x = 2 m nuo atramos A. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.

L = 4 mP = 45 kN ties 2 mw = 12 kN/m nuo 0 iki 4 mx = 2 m

M_x = kN·m

11.Svorio centras ir inercijos momentasVidutinis

Raskite tėjinio skerspjūvio inercijos momentą I_x horizontaliosios ašies x, einančios per svorio centrą, atžvilgiu.

b_f = 140 mmt_f = 15 mmt_w = 14 mmh_w = 280 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Svorio centras ir inercijos momentasSunkus

Suvirinto dvitėjo skerspjūvio viršutinė lentyna yra 160 × 24 mm, sienelė 210 mm aukščio ir 10 mm storio, o apatinė lentyna 210 × 20 mm (plotis × storis). Raskite jo inercijos momentą I_x horizontaliosios ašies x, einančios per svorio centrą, atžvilgiu.

viršutinė lentyna: 160 × 24 mmsienelė: 10 × 210 mmapatinė lentyna: 210 × 20 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3Tirpalai

1.Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandauga

Atsakymas: θ = 134,1 °

Skaliarinė sandauga: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, skaliaras. Ji duoda kampą tarp dviejų vektorių, cos θ = a·b/(|a|·|b|), ir lygi nuliui, kai vektoriai statmeni. Skaliarinė a projekcija į b yra a·b/|b|, o pastovi jėga F, poslinkiu d atliekanti darbą, atlieka darbą W = F·d.

Skaliarinė sandauga

a·b = (−6)·4 + 0·5 + 3·(−3) = −33

Moduliai

|a| = √((−6)² + 0² + 3²) = 6,708

|b| = √(4² + 5² + (−3)²) = 7,071

Kampas

cos θ = −33/(6,708·7,071) = −0,6957

θ = arccos(−0,6957) = 134,1°

Atsakymas

θ = 134,1°

2.Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandauga

Atsakymas: n̂_y = 0,7044

Vektorinė sandauga: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) yra statmena abiem vektoriams, o |a × b| = |a|·|b|·sin θ yra jų sudaryto lygiagretainio plotas (trikampio plotas yra pusė jo). Eilės tvarka svarbi: b × a = −(a × b). Jėgos F, veikiančios taške A, momentas taško O atžvilgiu yra M_O = r × F, kur r = A − O.

Vektorinė sandauga

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = 1·3 − 5·2 = −7

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = 5·4 − 4·3 = 8

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = 4·2 − 1·4 = 4

Normalizuokite

a × b z komponentė jau teigiama.

|a × b| = √((−7)² + 8² + 4²) = 11,36

n̂ = (−7, 8, 4)/11,36 = (−0,6163, 0,7044, 0,3522)

n̂_y = 0,7044

Atsakymas

n̂_y = 0,7044

3.Sijų atramų reakcijos

Atsakymas: R_B = 23,67 kN

Statinė pusiausvyra: rimties būsenos kūnui ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 ir ΣM = 0 bet kurio taško atžvilgiu. Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite jos atstojamąja (diagramos plotu), veikiančia apkrovos diagramos svorio centre, ir imkite momentus atramos atžvilgiu, kad tos atramos reakcija dingtų iš lygties.

Trikampės apkrovos atstojamoji

W = ½·10·5 = 25 kN

x̄ = 2L/3 = 3,333 m

Pusiausvyra

Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę. Tada vertikaliųjų jėgų pusiausvyra.

ΣM_A = 0: R_B·5 = 25·3,333 + 35·1

R_B = 23,67 kN

R_A = 60 − 23,67 = 36,33 kN

Atsakymas

R_B = 23,67 kN

4.Sijų atramų reakcijos

Atsakymas: R_B = 7,833 kN

Statinė pusiausvyra: rimties būsenos kūnui ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 ir ΣM = 0 bet kurio taško atžvilgiu. Imant momentus vienos atramos atžvilgiu, tos atramos reakcija dingsta iš lygties.

Laisvojo kūno diagrama

Atramas pakeiskite reakcijos jėgomis. Ritininė atrama duoda vieną vertikaliąją reakciją; kai apkrovos tik vertikalios, šarnyrinė atrama taip pat duoda vieną vertikaliąją reakciją.

Pusiausvyra

Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę. Tada vertikaliųjų jėgų pusiausvyra.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 6·2 = 12 kN, veikianti taške x̄ = 1 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 10·3,5 + 6·2·1

R_B = 47/6 = 7,833 kN

ΣF_y = 0: R_A = 22 − 7,833 = 14,17 kN

Atsakymas

R_B = 7,833 kN

5.Santvara: mazgų metodas

Atsakymas: F_AC = 20 kN

Mazgų metodas: kiekvienas santvaros mazgas yra pusiausvyroje, todėl kiekviename mazge ΣF_x = 0 ir ΣF_y = 0. Pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos. Neigiamas rezultatas reiškia, kad strypas gniuždomas.

Atramų reakcijos

Visos santvaros pusiausvyra. Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 30·2 → C_y = 10 kN

ΣF_y = 0: A_y = 30 − 10 = 20 kN

Mazgas C

Ritininė atrama duoda tik vertikaliąją reakciją, todėl mazge C yra tik dvi nežinomos strypų jėgos. Tarkite, kad abu tempiami.

sin γ = 2/4,472 = 0,4472, cos γ = 4/4,472 = 0,8944

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −10/0,4472 = −22,36 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−22,36)·0,8944 = 20 kN

Atsakymas

F_AC = 20 kN (tempimas)

6.Santvara: mazgų metodas

Atsakymas: elementas CG

Nulinės jėgos elementai: mazge jėgos turi atsvirti visomis kryptimis. Jei mazgas neturi apkrovos ir atramos, o du iš trijų jo elementų yra vienoje linijoje, tai pusiausvyra skersai tos linijos apima tik trečiąjį elementą, todėl jo jėga lygi nuliui. Jei neapkrautame mazge susitinka tik du elementai ir jie nėra vienoje linijoje, abu yra nulis.

Mazgas G

FG ir GH yra vienoje tiesėje, o mazgas neapkrautas. Subalansavus jėgas skersai tos linijos lieka tik CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Patikrinkite mazgų metodu

Išsprendus visus mazgus gaunamos šios elementų jėgos (T = tempimas, C = gniuždymas).

AB: 81,67 kN (T), BC: 81,67 kN (T), CD: 45 kN (T), DE: 45 kN (T), FG: 70 kN (C), GH: 70 kN (C), AF: 52,08 kN (C), HE: 56,25 kN (C), BF: 40 kN (T), CG: 0, DH: 15 kN (T), FC: 14,58 kN (C), HC: 31,25 kN (T)

Atsakymas

Nulinės jėgos elementas: CG

7.Rėmai ir mechanizmai

Atsakymas: F_BC = 5,778 kN

Rėmai ir mechanizmai: skirtingai nei santvara, rėmas turi bent vieną strypą, kuris apkrautas daugiau nei dviejuose taškuose arba turi apkrovą tarp šarnyrų. Pirmiausia ieškokite dviejų jėgų strypų: strypo, apkrauto tik dviejuose šarnyruose, jėga veikia tiese per juos, todėl jis prideda vieną nežinomąjį, o ne du. Tada atramų reakcijoms naudokite visą konstrukciją, jei nežinomųjų ne daugiau kaip trys. Galiausiai išardykite rėmą: kiekvieną strypą nubraižykite atskirai, su vienodo didumo ir priešingomis šarnyrų jėgomis dviem juos jungiantiems strypams, ir užrašykite jam ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 ir ΣM = 0. Imant momentus šarnyro atžvilgiu, abi to šarnyro jėgos komponentės iš lygties iškrenta.

Dviejų jėgų strypas BC

BC = √(2,2² + 4²) = 4,565 m

Visas rėmas: momentai taško A atžvilgiu

Žemė stumia BC taške C išilgai CB; jos horizontalioji komponentė eina per A, momentą turi tik vertikalioji.

F_BC·(4/4,565)·4 = 15·1,35

F_BC = 5,778 kN (gniuždymas)

Atsakymas

F_BC = 5,778 kN

8.Rėmai ir mechanizmai

Atsakymas: T = 5 kN

Visas rėmas: momentai taško A atžvilgiu

B_y·3 = 5·3

B_y = 5 kN

Koja BC: momentai taško C atžvilgiu

5·1,5 = T·1,5

T = 5 kN

Atsakymas

T = 5 kN

Teigiamas T reiškia, kad ryšys tempiamas, kaip ir buvo daroma prielaida.

9.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: M_x = 7,875 kN·m

Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu.

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 3·5 = 15 kN, veikianti taške x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 3·5·2,5

R_B = 37,5/5 = 7,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 15 − 7,5 = 7,5 kN

Perpjaukite ties x = 3,5 m ir palikite kairiąją dalį

Įskaitomos tik jėgos kairiau pjūvio. Išskirstytosios apkrovos dalis veikia kaip viena jėga tos dalies viduryje.

M = R_A·x − (kiekviena apkrova kairiau pjūvio × jos atstumas iki pjūvio)

M_x = 7,5·3,5 − 3·3,5·1,75 = 7,875 kN·m

Atsakymas

M_x = 7,875 kN·m

10.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: M_x = 69 kN·m

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 12·4 = 48 kN, veikianti taške x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 45·2 + 12·4·2

R_B = 186/4 = 46,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 93 − 46,5 = 46,5 kN

Perpjaukite ties x = 2 m ir palikite kairiąją dalį

Įskaitomos tik jėgos kairiau pjūvio. Išskirstytosios apkrovos dalis veikia kaip viena jėga tos dalies viduryje.

M = R_A·x − (kiekviena apkrova kairiau pjūvio × jos atstumas iki pjūvio)

M_x = 46,5·2 − 12·2·1 = 69 kN·m

Atsakymas

M_x = 69 kN·m

11.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: I_x = 55,4 × 10⁶ mm⁴

Sudėtiniai skerspjūviai: padalykite skerspjūvį į stačiakampius. Svorio centras yra plotais svertinis vidurkis ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Inercijos momentas centrinės ašies atžvilgiu sumuoja kiekvienos dalies nuosavą bh³/12 ir Šteinerio narį A·d², kur d – atstumas nuo dalies svorio centro iki bendro svorio centro. Lenkimo įtempis σ = M·y/I.

Padalykite į du stačiakampius

Kiekvieną y matuokite nuo apatinio krašto.

lentyna: A_f = 140·15 = 2100 mm², y_f = 280 + 15/2 = 287,5 mm

sienelė: A_w = 14·280 = 3920 mm², y_w = 280/2 = 140 mm

Svorio centras

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2100·287,5 + 3920·140)/6020 = 191,5 mm

Šteinerio teorema

lentyna: 140·15³/12 + 2100·(287,5 − 191,5)² = 1,941 × 10⁷ mm⁴

sienelė: 14·280³/12 + 3920·(140 − 191,5)² = 3,599 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,941 × 10⁷ + 3,599 × 10⁷ = 5,54 × 10⁷ mm⁴ = 55,4 × 10⁶ mm⁴

Atsakymas

I_x = 55,4 × 10⁶ mm⁴

12.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: I_x = 116 × 10⁶ mm⁴

Padalykite į tris stačiakampius

Kiekvieną y matuokite nuo apatinio krašto.

viršutinė lentyna: A = 3840 mm², y = 242 mm

sienelė: A = 2100 mm², y = 125 mm

apatinė lentyna: A = 4200 mm², y = 10 mm

Svorio centras

ȳ = (3840·242 + 2100·125 + 4200·10)/10140 = 121,7 mm

Šteinerio teorema

viršutinė lentyna: 160·24³/12 + 3840·120,3² = 5,578 × 10⁷ mm⁴

sienelė: 10·210³/12 + 2100·3,325² = 7,741 × 10⁶ mm⁴

apatinė lentyna: 210·20³/12 + 4200·111,7² = 5,252 × 10⁷ mm⁴

I_x = 5,578 × 10⁷ + 7,741 × 10⁶ + 5,252 × 10⁷

I_x = 1,16 × 10⁸ mm⁴ = 116 × 10⁶ mm⁴

Atsakymas

I_x = 116 × 10⁶ mm⁴

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics