Vektorinę sandaugą naudokite statmeniems vektoriams, plotams ir momentams: atidžiai užrašykite tris komponentes, išlaikydami tvarką a × b.
Sijų atramų reakcijos
Pusiausvyra
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Tolygi apkrova
atstojamoji w·L apkrovos viduryje
Momentas
M = F·d
Metodas
Nubraižykite laisvojo kūno diagramą ir kiekvieną atramą pakeiskite jos reakcijomis.
Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite viena jėga, veikiančia jos svorio centre.
Momentų lygtį užrašykite vienos atramos atžvilgiu ir raskite kitos atramos reakciją.
Likusiai reakcijai rasti naudokite ΣFy = 0 ir patikrinkite antrąja momentų lygtimi.
Santvara: mazgų metodas
Mazgų metodas
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Pjūvių metodas
ΣM = 0 about a cut point
Strypo jėga
teigiama = tempimas, neigiama = gniuždymas
Metodas
Raskite visos santvaros atramų reakcijas.
Mazgų metodas: pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos, ir naudokite ΣFx = 0 ir ΣFy = 0.
Pjūvių metodas: perpjaukite per reikiamą strypą ir užrašykite momentų lygtį taško, kuriame susikerta kiti nežinomi strypai, atžvilgiu.
Tarkite, kad strypas tempiamas; neigiamas atsakymas reiškia gniuždymą.
Rėmai ir mechanizmai
Kiekvieno strypo pusiausvyra
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Dviejų jėgų strypas
jėga veikia tiese, einančia per jo du šarnyrus
Šarnyro jėga
vienodo didumo ir priešingos jėgos dviem sujungiamiems strypams
Šarnyro jėgos modulis
F = √(Fx² + Fy²)
Svertas, replės, kampinis svertas
Fin·a = Fout·b
Alkūninis mechanizmas
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Tolygi apkrova
atstojamoji w·L apkrovos viduryje
Metodas
Nubraižykite visą konstrukciją ir raskite atramų reakcijas, jei nežinomųjų ne daugiau kaip trys.
Raskite dviejų jėgų strypus: apkrauti tik dviejuose šarnyruose, jų jėga veikia tiese tarp tų šarnyrų.
Išardykite rėmą ir nubraižykite kiekvieną strypą atskirai; kur strypai susijungia, šarnyrų jėgos vienodo didumo ir priešingos krypties.
Kiekvienam strypui imkite momentus šarnyro, kuriame veikia nežinomos jėgos, atžvilgiu, tada naudokite ΣFx = 0 ir ΣFy = 0; komponentes į modulį sujunkite pačioje pabaigoje.
Skersinė jėga ir lenkimo momentas
Skersinė jėga ir momentas
V = ΣF vienoje pusėje, M = ΣF·d vienoje pusėje
Lenkimo įtempis
σ = M·y/I
Stačiakampis
I = bh³/12
Atsparumo momentas
W = I/ymax
Laisvai atremta, tolygi apkrova
Mmax = wL²/8
Metodas
Atramų reakcijas raskite iš visos sijos pusiausvyros.
Perpjaukite siją reikiamame pjūvyje ir palikite vieną pusę.
Skersinė jėga: tos pusės vertikaliųjų jėgų suma. Lenkimo momentas: jų momentų pjūvio atžvilgiu suma.
Didžiausiam momentui rasti nustatykite, kur skersinė jėga lygi nuliui.
Svorio centras ir inercijos momentas
Svorio centras
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Stačiakampis
I = bh³/12
Šteinerio teorema
I = Ic + A·d²
Sudėtinis skerspjūvis
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Uždaviniai
1.Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandaugaVidutinis
Raskite vektorių a = (−5, 3, −5) ir b = (0, 1, 5) skaliarinę sandaugą a·b.
a = (−5, 3, −5)b = (0, 1, 5)
a·b =
2.Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandaugaSunkus
Kai a = (0, 6, 6) ir b = (−1, −1, 5), raskite vektorinės sandaugos a × b z komponentę (a × b)z.
a = (0, 6, 6)b = (−1, −1, 5)
(a × b)z =
3.Sijų atramų reakcijosVidutinis
Laisvai atremta sija turi šarnyrinę atramą A ir ritininę atramą B. Ją veikia sutelktoji jėga P, esanti 1,5 m atstumu nuo A, ir jėgų pora M (pagal laikrodžio rodyklę), esanti 1 m atstumu nuo A. Raskite vertikaliąją reakciją RB, teigiama kryptimi laikydami kryptį aukštyn.
L = 4 mP = 50 kN ties 1,5 mM = 50 kN·m (pagal laikrodžio rodyklę) ties 1 m
RB = kN
4.Sijų atramų reakcijosSunkus
Laisvai atremta sija turi šarnyrinę atramą A ir ritininę atramą B. 3 m atstumu nuo A veikia apkrova P, pasvirusi 45° kampu į horizontalę, o 1 m atstumu nuo A – vertikalioji apkrova Q. Raskite suminės reakcijos jėgos šarnyre A didumą RA.
L = 4 mP = 70 kN ties 3 m, θ = 45°Q = 15 kN ties 1 m
RA = kN
5.Santvara: mazgų metodasVidutinis
Mazgų metodu raskite jėgą FAB strype AB. Tempimą nurodykite teigiamu, gniuždymą – neigiamu.
tarpatramis = 6 maukštis = 3 mB yra 5 m nuo Avertikalioji apkrova = 20 kN
tarpatramis = 6 maukštis = 4 mB yra 1 m nuo Avertikalioji apkrova = 30 kNhorizontalioji apkrova = 15 kN →
FAC = kN
7.Rėmai ir mechanizmaiVidutinis
Parodytas kampinis svertas sukasi apie šarnyrą O. Vertikali 50 N jėga taške A (300 mm nuo O) subalansuota horizontalia jėga taške B (75 mm virš O). Raskite šarnyro reakcijos didumą FO.
F = 50 NOA = 300 mmOB = 75 mm
FO = N
8.Rėmai ir mechanizmaiSunkus
Parodyto sieninio kronšteino sija AB šarnyru pritvirtinta taške A ir paremta atspara CD (C yra 0,6 m žemiau A). Sija per visą ilgį apkrauta tolygiąja 3 kN/m apkrova, o laisvajame gale B – 5 kN taškine apkrova. Raskite jėgą FCD atsparoje.
w = 3 kN/mP = 5 kNAD = 0,75 mAB = 2 mAC = 0,6 m
FCD = kN
9.Skersinė jėga ir lenkimo momentasVidutinis
Laisvai atremta sija apkrauta dviem sutelktosiomis jėgomis. Raskite didžiausią sijos lenkimo momentą Mmax.
L = 8 mP1 = 25 kN ties 1 mP2 = 30 kN ties 3 m
Mmax = kN·m
10.Skersinė jėga ir lenkimo momentasSunkus
Žymės nuo A iki G padalija siją į šešias lygias dalis. Ties kuria žyme lenkimo momentas yra didžiausias dydžiu, įlenkiantis ar išlenkiantis? Spustelėkite ją diagramoje.
35 kN @ 12 m50 kN @ 6 m4 kN/m, 0–10 m
1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)
11.Svorio centras ir inercijos momentasVidutinis
100 mm × 200 mm plokštė turi apvalią 60 mm skersmens skylę vertikalioje simetrijos ašyje, kurios centras yra 130 mm virš apačios. Raskite ploto inercijos momentą Ix horizontaliosios ašies, einančios per svorio centrą, atžvilgiu.
b = 100 mmh = 200 mmd = 60 mmskylės centras: y = 130 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Svorio centras ir inercijos momentasSunkus
150 mm × 300 mm plokštė turi stačiakampį iškirpimą, 40 mm pločio ir 20 mm aukščio, vertikalioje simetrijos ašyje, kurio centras yra 105 mm virš apačios. Raskite ploto inercijos momentą Ix horizontaliosios ašies, einančios per svorio centrą, atžvilgiu.
b = 150 mmh = 300 mmiškirpimas: 40 × 20 mmskylės centras: y = 105 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
3Tirpalai
1.Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandauga
Atsakymas: a·b = −22
Skaliarinė sandauga:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, skaliaras. Ji duoda kampą tarp dviejų vektorių, cos θ = a·b/(|a|·|b|), ir lygi nuliui, kai vektoriai statmeni. Skaliarinė a projekcija į b yra a·b/|b|, o pastovi jėga F, poslinkiu d atliekanti darbą, atlieka darbą W = F·d.
Sudauginkite atitinkamas komponentes ir sudėkite
a·b = (−5)·0 + 3·1 + (−5)·5 = 0 + 3 + (−25) = −22
Atsakymas
a·b = −22
Neigiama: kampas tarp vektorių didesnis nei 90°.
2.Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandauga
Atsakymas: (a × b)z = 6
Vektorinė sandauga:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) yra statmena abiem vektoriams, o |a × b| = |a|·|b|·sin θ yra jų sudaryto lygiagretainio plotas (trikampio plotas yra pusė jo). Eilės tvarka svarbi: b × a = −(a × b). Jėgos F, veikiančios taške A, momentas taško O atžvilgiu yra MO = r × F, kur r = A − O.
Vektorinė sandauga komponentėmis
(a × b)x = aybz − azby = 6·5 − 6·(−1) = 36
(a × b)y = azbx − axbz = 6·(−1) − 0·5 = −6
(a × b)z = axby − aybx = 0·(−1) − 6·(−1) = 6
Prašoma komponentė
(a × b)z = 6
Atsakymas
(a × b)z = 6
Patikra: a × b yra statmena abiem vektoriams, todėl jos skaliarinė sandauga su a ir su b lygi nuliui.
3.Sijų atramų reakcijos
Atsakymas: RB = 31,25 kN
Statinė pusiausvyra: rimties būsenos kūnui ΣFx = 0, ΣFy = 0 ir ΣM = 0 bet kurio taško atžvilgiu. Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite jos atstojamąja (diagramos plotu), veikiančia apkrovos diagramos svorio centre, ir imkite momentus atramos atžvilgiu, kad tos atramos reakcija dingtų iš lygties.
Momentai A atžvilgiu
Prieš laikrodžio rodyklę – teigiama.
ΣMA = 0: RB·4 − 50·1,5 − 50 = 0
RB = 125/4 = 31,25 kN
Vertikalioji pusiausvyra
RA = 50 − 31,25 = 18,75 kN
Atsakymas
RB = 31,25 kN
Neigiama reakcija nukreipta žemyn.
4.Sijų atramų reakcijos
Atsakymas: RA = 54,85 kN
Statinė pusiausvyra: rimties būsenos kūnui ΣFx = 0, ΣFy = 0 ir ΣM = 0 bet kurio taško atžvilgiu. Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite jos atstojamąja (diagramos plotu), veikiančia apkrovos diagramos svorio centre, ir imkite momentus atramos atžvilgiu, kad tos atramos reakcija dingtų iš lygties.
P dedamosios
Pv = 70·sin 45° = 49,5 kN
Ph = 70·cos 45° = 49,5 kN
Reakcijos
ΣMA = 0: RB·4 = 49,5·3 + 15·1 → RB = 40,87 kN
Ay = 49,5 + 15 − 40,87 = 23,62 kN
Ax = Ph = 49,5 kN
Atstojamoji ties A
RA = √(49,5² + 23,62²) = 54,85 kN
Atsakymas
RA = 54,85 kN
5.Santvara: mazgų metodas
Atsakymas: FAB = −6,479 kN
Mazgų metodas: kiekvienas santvaros mazgas yra pusiausvyroje, todėl kiekviename mazge ΣFx = 0 ir ΣFy = 0. Pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos. Neigiamas rezultatas reiškia, kad strypas gniuždomas.
Atramų reakcijos
Visos santvaros pusiausvyra. Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę.
ΣMA = 0: Cy·6 = 20·5 → Cy = 16,67 kN
ΣFy = 0: Ay = 20 − 16,67 = 3,333 kN
Mazgas A
Tarkite, kad kiekvienas strypas tempiamas (traukia nuo mazgo). Tik AB turi vertikaliąją dedamąją mazge A.
sin α = 3/5,831 = 0,5145
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −3,333/0,5145 = −6,479 kN
Atsakymas
FAB = −6,479 kN (gniuždymas)
6.Santvara: mazgų metodas
Atsakymas: FAC = 18,75 kN
Mazgų metodas: kiekvienas santvaros mazgas yra pusiausvyroje, todėl kiekviename mazge ΣFx = 0 ir ΣFy = 0. Pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos. Neigiamas rezultatas reiškia, kad strypas gniuždomas.
Atramų reakcijos
Visos santvaros pusiausvyra. Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę.
ΣMA = 0: Cy·6 = 30·1 + 15·4 → Cy = 15 kN
ΣFy = 0: Ay = 30 − 15 = 15 kN
ΣFx = 0: Ax = −15 kN
Mazgas C
Ritininė atrama duoda tik vertikaliąją reakciją, todėl mazge C yra tik dvi nežinomos strypų jėgos. Tarkite, kad abu tempiami.
sin γ = 4/6,403 = 0,6247, cos γ = 5/6,403 = 0,7809
Mechanizmai: replės, svertai, jungčių sistemos ir spaustuvai įėjimo jėgą paverčia didesne ar kitos krypties išėjimo jėga. Vieną dalį nubraižykite kaip laisvąjį kūną ir imkite momentus jos sukimosi ašies atžvilgiu: šarnyro jėga iškrenta, o Fin·a = Fout·b duoda mechaninį išlošį a/b. Šarnyro jėgą tada gaunate iš ΣF = 0 tai pačiai daliai. Alkūniniame mechanizme dvi jungtys susitinka mažu kampu θ; kiekviena jungtis yra dviejų jėgų strypas, todėl maža jėga F sandūroje sukuria dideles jungčių jėgas F/(2 sin θ) ir spaudimo jėgą F/(2 tan θ).
Jėga taške B
Q = 50·300/75 = 200 N
Šarnyro reakcija
Ox = 200 N, Oy = 50 N
FO = √(200² + 50²) = 206,2 N
Atsakymas
FO = 206,2 N
8.Rėmai ir mechanizmai
Atsakymas: FCD = 34,15 kN
Rėmai ir mechanizmai: skirtingai nei santvara, rėmas turi bent vieną strypą, kuris apkrautas daugiau nei dviejuose taškuose arba turi apkrovą tarp šarnyrų. Pirmiausia ieškokite dviejų jėgų strypų: strypo, apkrauto tik dviejuose šarnyruose, jėga veikia tiese per juos, todėl jis prideda vieną nežinomąjį, o ne du. Tada atramų reakcijoms naudokite visą konstrukciją, jei nežinomųjų ne daugiau kaip trys. Galiausiai išardykite rėmą: kiekvieną strypą nubraižykite atskirai, su vienodo didumo ir priešingomis šarnyrų jėgomis dviem juos jungiantiems strypams, ir užrašykite jam ΣFx = 0, ΣFy = 0 ir ΣM = 0. Imant momentus šarnyro atžvilgiu, abi to šarnyro jėgos komponentės iš lygties iškrenta.
Tolygiosios apkrovos atstojamoji
w·L = 3·2 = 6 kN ties 1 m
Sijos momentai taško A atžvilgiu
FCD·0,6247·0,75 = 6·1 + 5·2 = 16 kN·m
FCD = 34,15 kN
Atsakymas
FCD = 34,15 kN
9.Skersinė jėga ir lenkimo momentas
Atsakymas: Mmax = 71,88 kN·m
Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu. Didžiausias momentas: kadangi dM/dx = V, lenkimo momentas didžiausias ten, kur skersinė jėga eina per nulį – sutelktosios jėgos vietoje arba išskirstytosios apkrovos ruože.
Atramų reakcijos
Visos sijos pusiausvyra.
ΣMA = 0: RB·8 = 25·1 + 30·3
RB = 115/8 = 14,38 kN
ΣFy = 0: RA = 55 − 14,38 = 40,63 kN
Momentas po kiekviena apkrova
Palikite dalį kairiau kiekvienos apkrovos.
po P1: M = RA·1 = 40,63·1 = 40,63 kN·m
po P2: M = RB·5 = 14,38·5 = 71,88 kN·m
Didžiausia reikšmė
Mmax = 71,88 kN·m (po P2)
Atsakymas
Mmax = 71,88 kN·m
10.Skersinė jėga ir lenkimo momentas
Atsakymas: D (x = 6 m)
Didžiausias lenkimo momentas: M nuolydis keičiasi ten, kur keičiasi skersinė jėga, todėl jo viršūnės yra ten, kur skersinė jėga kerta nulį: po koncentruota apkrova, paskirstytos apkrovos viduje arba virš gembės atramos. Įtvirtintoje gembės atramoje momentas didžiausias prie sienos. Palyginkite M dydį tose vietose, įlenkiantį ar išlenkiantį.
Atramų reakcijos
Paimkite momentus apie vieną atramą, tada naudokite vertikalių jėgų balansą.
R1 = 33 kN, R2 = 92 kN
Lenkimo momentas ties kiekviena žyme
Susumuokite visų vienoje pjūvio pusėje esančių jėgų momentus. Įlenkiantis teigiamas, išlenkiantis neigiamas.
MA = 0, MB = 58, MC = 100, MD = 126 kN·m, ME = 36, MF = −70, MG = 0
Atsakymas
Žymė D: MD = 126 kN·m
11.Svorio centras ir inercijos momentas
Atsakymas: Ix = 63,07 × 10⁶ mm⁴
Pjūviai su skylėmis: skylę traktuokite kaip neigiamą plotą. Svorio centras yra ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), kai A₁, y₁ – pilnos plokštės, o A₂, y₂ – skylės. Ploto inercijos momentui centrinės ašies atžvilgiu kiekvienai daliai taikykite lygiagrečiųjų ašių (Šteinerio) teoremą ir skylę atimkite: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), kur d yra atstumas nuo kiekvienos dalies savojo svorio centro iki ašies, einančios per ȳ. Stačiakampio Ic = bh³/12, o skritulio Ic = πd⁴/64.
Svorio centras
ȳ = (20000·100 − 2827·130)/(20000 − 2827) = 95,06 mm
Pilna plokštė ȳ atžvilgiu
100·200³/12 + 20000·4,939² = 67,15 × 10⁶ mm⁴
Skylė ȳ atžvilgiu
π·60⁴/64 + 2827·34,94² = 4,088 × 10⁶ mm⁴
Atimkite
Ix = 63,07 × 10⁶ mm⁴
Atsakymas
Ix = 63,07 × 10⁶ mm⁴
12.Svorio centras ir inercijos momentas
Atsakymas: Ix = 335,8 × 10⁶ mm⁴
Pjūviai su skylėmis: skylę traktuokite kaip neigiamą plotą. Svorio centras yra ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), kai A₁, y₁ – pilnos plokštės, o A₂, y₂ – skylės. Ploto inercijos momentui centrinės ašies atžvilgiu kiekvienai daliai taikykite lygiagrečiųjų ašių (Šteinerio) teoremą ir skylę atimkite: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), kur d yra atstumas nuo kiekvienos dalies savojo svorio centro iki ašies, einančios per ȳ. Stačiakampio Ic = bh³/12, o skritulio Ic = πd⁴/64.
Svorio centras
ȳ = (45000·150 − 800·105)/(45000 − 800) = 150,8 mm