Vektorinę sandaugą naudokite statmeniems vektoriams, plotams ir momentams: atidžiai užrašykite tris komponentes, išlaikydami tvarką a × b.
Sijų atramų reakcijos
Pusiausvyra
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Tolygi apkrova
atstojamoji w·L apkrovos viduryje
Momentas
M = F·d
Metodas
Nubraižykite laisvojo kūno diagramą ir kiekvieną atramą pakeiskite jos reakcijomis.
Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite viena jėga, veikiančia jos svorio centre.
Momentų lygtį užrašykite vienos atramos atžvilgiu ir raskite kitos atramos reakciją.
Likusiai reakcijai rasti naudokite ΣFy = 0 ir patikrinkite antrąja momentų lygtimi.
Santvara: mazgų metodas
Mazgų metodas
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Pjūvių metodas
ΣM = 0 about a cut point
Strypo jėga
teigiama = tempimas, neigiama = gniuždymas
Metodas
Raskite visos santvaros atramų reakcijas.
Mazgų metodas: pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos, ir naudokite ΣFx = 0 ir ΣFy = 0.
Pjūvių metodas: perpjaukite per reikiamą strypą ir užrašykite momentų lygtį taško, kuriame susikerta kiti nežinomi strypai, atžvilgiu.
Tarkite, kad strypas tempiamas; neigiamas atsakymas reiškia gniuždymą.
Rėmai ir mechanizmai
Kiekvieno strypo pusiausvyra
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Dviejų jėgų strypas
jėga veikia tiese, einančia per jo du šarnyrus
Šarnyro jėga
vienodo didumo ir priešingos jėgos dviem sujungiamiems strypams
Šarnyro jėgos modulis
F = √(Fx² + Fy²)
Svertas, replės, kampinis svertas
Fin·a = Fout·b
Alkūninis mechanizmas
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Tolygi apkrova
atstojamoji w·L apkrovos viduryje
Metodas
Nubraižykite visą konstrukciją ir raskite atramų reakcijas, jei nežinomųjų ne daugiau kaip trys.
Raskite dviejų jėgų strypus: apkrauti tik dviejuose šarnyruose, jų jėga veikia tiese tarp tų šarnyrų.
Išardykite rėmą ir nubraižykite kiekvieną strypą atskirai; kur strypai susijungia, šarnyrų jėgos vienodo didumo ir priešingos krypties.
Kiekvienam strypui imkite momentus šarnyro, kuriame veikia nežinomos jėgos, atžvilgiu, tada naudokite ΣFx = 0 ir ΣFy = 0; komponentes į modulį sujunkite pačioje pabaigoje.
Skersinė jėga ir lenkimo momentas
Skersinė jėga ir momentas
V = ΣF vienoje pusėje, M = ΣF·d vienoje pusėje
Lenkimo įtempis
σ = M·y/I
Stačiakampis
I = bh³/12
Atsparumo momentas
W = I/ymax
Laisvai atremta, tolygi apkrova
Mmax = wL²/8
Metodas
Atramų reakcijas raskite iš visos sijos pusiausvyros.
Perpjaukite siją reikiamame pjūvyje ir palikite vieną pusę.
Skersinė jėga: tos pusės vertikaliųjų jėgų suma. Lenkimo momentas: jų momentų pjūvio atžvilgiu suma.
Didžiausiam momentui rasti nustatykite, kur skersinė jėga lygi nuliui.
Svorio centras ir inercijos momentas
Svorio centras
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Stačiakampis
I = bh³/12
Šteinerio teorema
I = Ic + A·d²
Sudėtinis skerspjūvis
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Uždaviniai
1.Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandaugaVidutinis
Pastovi jėga F = (−5, 30, 25) N veikia kūną, kuris tiesiai juda iš taško A(5, 3, −5) į tašką B(−3, −5, −1). Koordinatės pateiktos metrais. Raskite jėgos atliktą darbą W.
F = (−5, 30, 25) NA(5, 3, −5) mB(−3, −5, −1) m
W = J
2.Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandaugaSunkus
Raskite gretasienio, kurio briaunos iš vienos viršūnės yra a = (1, −1, 4), b = (−4, 1, −2) ir c = (3, −3, −3), tūrį V.
a = (1, −1, 4)b = (−4, 1, −2)c = (3, −3, −3)
V =
3.Sijų atramų reakcijosVidutinis
Laisvai atremta sija turi šarnyrinę atramą A ir ritininę atramą B. Ją veikia sutelktoji jėga P, esanti 1 m atstumu nuo A, ir jėgų pora M (prieš laikrodžio rodyklę), esanti 3 m atstumu nuo A. Raskite vertikaliąją reakciją RB, teigiama kryptimi laikydami kryptį aukštyn.
L = 8 mP = 15 kN ties 1 mM = 60 kN·m (prieš laikrodžio rodyklę) ties 3 m
RB = kN
4.Sijų atramų reakcijosSunkus
Sudėtinė sija taške A įtvirtinta sienoje, turi vidinį šarnyrą C (3 m nuo A) ir remiasi į ritininę atramą D (10 m nuo A). Ją veikia sutelktoji jėga P, esanti 8 m atstumu nuo A, tolygiai išskirstyta apkrova w visoje dalyje CD ir sutelktoji jėga Q, esanti 1 m atstumu nuo A. Raskite ritininės atramos reakciją RD.
AC = 3 mAD = 10 mP = 55 kN ties 8 mw = 12 kN/m nuo 3 iki 10 mQ = 45 kN ties 1 m
RD = kN
5.Santvara: mazgų metodasVidutinis
Tiksliai vienas šios santvaros elementas neneša jėgos esant šioms apkrovoms. Kuris yra nulinės jėgos elementas? Spustelėkite jį diagramoje.
C: 35 kN ↓D: 25 kN ↓G: 30 kN ↓
1elementas AB
2elementas BC
3elementas CD
4elementas DE
5elementas FG
6elementas GH
7elementas AF
8elementas HE
9elementas BF
10elementas CG
11elementas DH
12elementas FC
13elementas HC
6.Santvara: mazgų metodasSunkus
Tiksliai vienas šios santvaros elementas neneša jėgos esant šioms apkrovoms. Kuris yra nulinės jėgos elementas? Spustelėkite jį diagramoje.
B: 25 kN ↓D: 15 kN ↓H: 25 kN ↓H: 40 kN ←
1elementas AB
2elementas BC
3elementas CD
4elementas DE
5elementas FG
6elementas GH
7elementas AF
8elementas HE
9elementas BF
10elementas CG
11elementas DH
12elementas FC
13elementas HC
7.Rėmai ir mechanizmaiVidutinis
Parodytas rėmas turi šarnyrus A, B ir C; A ir C pritvirtinti prie žemės 8 m atstumu, o B yra 2,5 m virš žemės ir 3,6 m į dešinę nuo A. Vertikali 20 kN apkrova veikia strypą AB taške K, 2,7 m (horizontaliai) nuo A. Raskite jėgą FBC strype BC.
P = 20 kNL = 8 mH = 2,5 mhorizontalus atstumas nuo A iki B = 3,6 mhorizontalus atstumas nuo A iki K = 2,7 m
FBC = kN
8.Rėmai ir mechanizmaiSunkus
Parodytas A formos rėmas stovi ant šarnyrinės atramos A ir ritininės atramos B, nutolusių 4,8 m. Kojos susitinka šarnyre C, 3 m aukštyje, ir sujungtos horizontaliu strypu DE 1,5 m aukštyje. Taške C į dešinę veikia horizontali 6 kN jėga. Raskite ryšio tempimo jėgą T.
P = 6 kNAB = 4,8 mC aukštis = 3 mDE aukštis = 1,5 m
T = kN
9.Skersinė jėga ir lenkimo momentasVidutinis
Laisvai atremta sija apkrauta dviem sutelktosiomis jėgomis. Raskite didžiausią sijos lenkimo momentą Mmax.
L = 4 mP1 = 10 kN ties 1,5 mP2 = 15 kN ties 2 m
Mmax = kN·m
10.Skersinė jėga ir lenkimo momentasSunkus
Raskite lenkimo momentą Mx pjūvyje x = 3,5 m nuo atramos A. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.
L = 6 mP = 15 kN ties 5 mw = 4 kN/m nuo 0 iki 6 mx = 3,5 m
Mx = kN·m
11.Svorio centras ir inercijos momentasVidutinis
150 mm × 200 mm plokštė turi apvalią 30 mm skersmens skylę vertikalioje simetrijos ašyje, kurios centras yra 70 mm virš apačios. Raskite ploto inercijos momentą Ix horizontaliosios ašies, einančios per svorio centrą, atžvilgiu.
b = 150 mmh = 200 mmd = 30 mmskylės centras: y = 70 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Svorio centras ir inercijos momentasSunkus
Tėjinis skerspjūvis naudojamas kaip sija su lentyna viršuje ir veikiamas teigiamo lenkimo momento 40 kN·m. Raskite lenkimo įtempio σviršus dydį viršutiniame krašte.
Skaliarinė sandauga:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, skaliaras. Ji duoda kampą tarp dviejų vektorių, cos θ = a·b/(|a|·|b|), ir lygi nuliui, kai vektoriai statmeni. Skaliarinė a projekcija į b yra a·b/|b|, o pastovi jėga F, poslinkiu d atliekanti darbą, atlieka darbą W = F·d.
Poslinkis
d = B − A = (−3, −5, −1) − (5, 3, −5) = (−8, −8, 4) m
Darbas
W = F·d = (−5)·(−8) + 30·(−8) + 25·4 = −100 J
Atsakymas
W = −100 J
Neigiamas darbas: jėga daugiausia veikia prieš judėjimą.
2.Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandauga
Atsakymas: V = 45
Vektorinė sandauga:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) yra statmena abiem vektoriams, o |a × b| = |a|·|b|·sin θ yra jų sudaryto lygiagretainio plotas (trikampio plotas yra pusė jo). Eilės tvarka svarbi: b × a = −(a × b). Jėgos F, veikiančios taške A, momentas taško O atžvilgiu yra MO = r × F, kur r = A − O.
Vektorinė sandauga b × c
(b × c)x = bycz − bzcy = 1·(−3) − (−2)·(−3) = −9
(b × c)y = bzcx − bxcz = (−2)·3 − (−4)·(−3) = −18
(b × c)z = bxcy − bycx = (−4)·(−3) − 1·3 = 9
Skaliarinė sandauga su a
a·(b × c) = 1·(−9) + (−1)·(−18) + 4·9 = 45
V = |45| = 45
Atsakymas
V = 45
3.Sijų atramų reakcijos
Atsakymas: RB = −5,625 kN
Statinė pusiausvyra: rimties būsenos kūnui ΣFx = 0, ΣFy = 0 ir ΣM = 0 bet kurio taško atžvilgiu. Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite jos atstojamąja (diagramos plotu), veikiančia apkrovos diagramos svorio centre, ir imkite momentus atramos atžvilgiu, kad tos atramos reakcija dingtų iš lygties.
Momentai A atžvilgiu
Prieš laikrodžio rodyklę – teigiama.
ΣMA = 0: RB·8 − 15·1 + 60 = 0
RB = −45/8 = −5,625 kN
Vertikalioji pusiausvyra
RA = 15 − (−5,625) = 20,63 kN
Atsakymas
RB = −5,625 kN
Neigiama reakcija nukreipta žemyn.
4.Sijų atramų reakcijos
Atsakymas: RD = 81,29 kN
Statinė pusiausvyra: rimties būsenos kūnui ΣFx = 0, ΣFy = 0 ir ΣM = 0 bet kurio taško atžvilgiu. Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite jos atstojamąja (diagramos plotu), veikiančia apkrovos diagramos svorio centre, ir imkite momentus atramos atžvilgiu, kad tos atramos reakcija dingtų iš lygties. Vidinis šarnyras negali perduoti lenkimo momento, todėl gaunama viena papildoma lygtis: bet kurios pusės jėgų momentas šarnyro atžvilgiu lygus nuliui.
Dalis CD
Šarnyre momento nėra, todėl vien dalies CD momentai taško C atžvilgiu turi būti pusiausviri.
W = 12·7 = 84 kN ties 3,5 m nuo C
ΣMC = 0: RD·7 = 55·5 + 84·3,5
RD = 81,29 kN
VC = 139 − 81,29 = 57,71 kN
Atsakymas
RD = 81,29 kN
5.Santvara: mazgų metodas
Atsakymas: elementas BF
Nulinės jėgos elementai: mazge jėgos turi atsvirti visomis kryptimis. Jei mazgas neturi apkrovos ir atramos, o du iš trijų jo elementų yra vienoje linijoje, tai pusiausvyra skersai tos linijos apima tik trečiąjį elementą, todėl jo jėga lygi nuliui. Jei neapkrautame mazge susitinka tik du elementai ir jie nėra vienoje linijoje, abu yra nulis.
Mazgas B
AB ir BC yra vienoje tiesėje, o mazgas neapkrautas. Subalansavus jėgas skersai tos linijos lieka tik BF.
ΣF⊥ = 0 → FBF = 0
Patikrinkite mazgų metodu
Išsprendus visus mazgus gaunamos šios elementų jėgos (T = tempimas, C = gniuždymas).
Nulinės jėgos elementai: mazge jėgos turi atsvirti visomis kryptimis. Jei mazgas neturi apkrovos ir atramos, o du iš trijų jo elementų yra vienoje linijoje, tai pusiausvyra skersai tos linijos apima tik trečiąjį elementą, todėl jo jėga lygi nuliui. Jei neapkrautame mazge susitinka tik du elementai ir jie nėra vienoje linijoje, abu yra nulis.
Mazgas G
FG ir GH yra vienoje tiesėje, o mazgas neapkrautas. Subalansavus jėgas skersai tos linijos lieka tik CG.
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
Patikrinkite mazgų metodu
Išsprendus visus mazgus gaunamos šios elementų jėgos (T = tempimas, C = gniuždymas).
Rėmai ir mechanizmai: skirtingai nei santvara, rėmas turi bent vieną strypą, kuris apkrautas daugiau nei dviejuose taškuose arba turi apkrovą tarp šarnyrų. Pirmiausia ieškokite dviejų jėgų strypų: strypo, apkrauto tik dviejuose šarnyruose, jėga veikia tiese per juos, todėl jis prideda vieną nežinomąjį, o ne du. Tada atramų reakcijoms naudokite visą konstrukciją, jei nežinomųjų ne daugiau kaip trys. Galiausiai išardykite rėmą: kiekvieną strypą nubraižykite atskirai, su vienodo didumo ir priešingomis šarnyrų jėgomis dviem juos jungiantiems strypams, ir užrašykite jam ΣFx = 0, ΣFy = 0 ir ΣM = 0. Imant momentus šarnyro atžvilgiu, abi to šarnyro jėgos komponentės iš lygties iškrenta.
Dviejų jėgų strypas BC
BC = √(4,4² + 2,5²) = 5,061 m
Visas rėmas: momentai taško A atžvilgiu
Žemė stumia BC taške C išilgai CB; jos horizontalioji komponentė eina per A, momentą turi tik vertikalioji.
FBC·(2,5/5,061)·8 = 20·2,7
FBC = 13,66 kN (gniuždymas)
Atsakymas
FBC = 13,66 kN
8.Rėmai ir mechanizmai
Atsakymas: T = 6 kN
Rėmai ir mechanizmai: skirtingai nei santvara, rėmas turi bent vieną strypą, kuris apkrautas daugiau nei dviejuose taškuose arba turi apkrovą tarp šarnyrų. Pirmiausia ieškokite dviejų jėgų strypų: strypo, apkrauto tik dviejuose šarnyruose, jėga veikia tiese per juos, todėl jis prideda vieną nežinomąjį, o ne du. Tada atramų reakcijoms naudokite visą konstrukciją, jei nežinomųjų ne daugiau kaip trys. Galiausiai išardykite rėmą: kiekvieną strypą nubraižykite atskirai, su vienodo didumo ir priešingomis šarnyrų jėgomis dviem juos jungiantiems strypams, ir užrašykite jam ΣFx = 0, ΣFy = 0 ir ΣM = 0. Imant momentus šarnyro atžvilgiu, abi to šarnyro jėgos komponentės iš lygties iškrenta.
Visas rėmas: momentai taško A atžvilgiu
By·4,8 = 6·3
By = 3,75 kN
Koja BC: momentai taško C atžvilgiu
3,75·2,4 = T·1,5
T = 6 kN
Atsakymas
T = 6 kN
Teigiamas T reiškia, kad ryšys tempiamas, kaip ir buvo daroma prielaida.
9.Skersinė jėga ir lenkimo momentas
Atsakymas: Mmax = 22,5 kN·m
Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu. Didžiausias momentas: kadangi dM/dx = V, lenkimo momentas didžiausias ten, kur skersinė jėga eina per nulį – sutelktosios jėgos vietoje arba išskirstytosios apkrovos ruože.
Atramų reakcijos
Visos sijos pusiausvyra.
ΣMA = 0: RB·4 = 10·1,5 + 15·2
RB = 45/4 = 11,25 kN
ΣFy = 0: RA = 25 − 11,25 = 13,75 kN
Momentas po kiekviena apkrova
Palikite dalį kairiau kiekvienos apkrovos.
po P1: M = RA·1,5 = 13,75·1,5 = 20,63 kN·m
po P2: M = RB·2 = 11,25·2 = 22,5 kN·m
Didžiausia reikšmė
Mmax = 22,5 kN·m (po P2)
Atsakymas
Mmax = 22,5 kN·m
10.Skersinė jėga ir lenkimo momentas
Atsakymas: Mx = 26,25 kN·m
Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu.
Atramų reakcijos
Visos sijos pusiausvyra.
Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 4·6 = 24 kN, veikianti taške x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 15·5 + 4·6·3
RB = 147/6 = 24,5 kN
ΣFy = 0: RA = 39 − 24,5 = 14,5 kN
Perpjaukite ties x = 3,5 m ir palikite kairiąją dalį
Įskaitomos tik jėgos kairiau pjūvio. Išskirstytosios apkrovos dalis veikia kaip viena jėga tos dalies viduryje.
M = RA·x − (kiekviena apkrova kairiau pjūvio × jos atstumas iki pjūvio)
Mx = 14,5·3,5 − 4·3,5·1,75 = 26,25 kN·m
Atsakymas
Mx = 26,25 kN·m
11.Svorio centras ir inercijos momentas
Atsakymas: Ix = 99,31 × 10⁶ mm⁴
Pjūviai su skylėmis: skylę traktuokite kaip neigiamą plotą. Svorio centras yra ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), kai A₁, y₁ – pilnos plokštės, o A₂, y₂ – skylės. Ploto inercijos momentui centrinės ašies atžvilgiu kiekvienai daliai taikykite lygiagrečiųjų ašių (Šteinerio) teoremą ir skylę atimkite: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), kur d yra atstumas nuo kiekvienos dalies savojo svorio centro iki ašies, einančios per ȳ. Stačiakampio Ic = bh³/12, o skritulio Ic = πd⁴/64.
Svorio centras
ȳ = (30000·100 − 706,9·70)/(30000 − 706,9) = 100,7 mm
Pilna plokštė ȳ atžvilgiu
150·200³/12 + 30000·−0,7239² = 100 × 10⁶ mm⁴
Skylė ȳ atžvilgiu
π·30⁴/64 + 706,9·−30,72² = 0,707 × 10⁶ mm⁴
Atimkite
Ix = 99,31 × 10⁶ mm⁴
Atsakymas
Ix = 99,31 × 10⁶ mm⁴
12.Svorio centras ir inercijos momentas
Atsakymas: σviršus = 102,4 MPa
Sudėtiniai skerspjūviai: padalykite skerspjūvį į stačiakampius. Svorio centras yra plotais svertinis vidurkis ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Inercijos momentas centrinės ašies atžvilgiu sumuoja kiekvienos dalies nuosavą bh³/12 ir Šteinerio narį A·d², kur d – atstumas nuo dalies svorio centro iki bendro svorio centro. Lenkimo įtempis σ = M·y/I.
Padalykite į du stačiakampius
Kiekvieną y matuokite nuo apatinio krašto.
lentyna: Af = 280·15 = 4200 mm², yf = 160 + 15/2 = 167,5 mm
sienelė: Aw = 10·160 = 1600 mm², yw = 160/2 = 80 mm