Vektorinę sandaugą naudokite statmeniems vektoriams, plotams ir momentams: atidžiai užrašykite tris komponentes, išlaikydami tvarką a × b.
Sijų atramų reakcijos
Pusiausvyra
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Tolygi apkrova
atstojamoji w·L apkrovos viduryje
Momentas
M = F·d
Metodas
Nubraižykite laisvojo kūno diagramą ir kiekvieną atramą pakeiskite jos reakcijomis.
Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite viena jėga, veikiančia jos svorio centre.
Momentų lygtį užrašykite vienos atramos atžvilgiu ir raskite kitos atramos reakciją.
Likusiai reakcijai rasti naudokite ΣFy = 0 ir patikrinkite antrąja momentų lygtimi.
Santvara: mazgų metodas
Mazgų metodas
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Pjūvių metodas
ΣM = 0 about a cut point
Strypo jėga
teigiama = tempimas, neigiama = gniuždymas
Metodas
Raskite visos santvaros atramų reakcijas.
Mazgų metodas: pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos, ir naudokite ΣFx = 0 ir ΣFy = 0.
Pjūvių metodas: perpjaukite per reikiamą strypą ir užrašykite momentų lygtį taško, kuriame susikerta kiti nežinomi strypai, atžvilgiu.
Tarkite, kad strypas tempiamas; neigiamas atsakymas reiškia gniuždymą.
Rėmai ir mechanizmai
Kiekvieno strypo pusiausvyra
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Dviejų jėgų strypas
jėga veikia tiese, einančia per jo du šarnyrus
Šarnyro jėga
vienodo didumo ir priešingos jėgos dviem sujungiamiems strypams
Šarnyro jėgos modulis
F = √(Fx² + Fy²)
Svertas, replės, kampinis svertas
Fin·a = Fout·b
Alkūninis mechanizmas
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Tolygi apkrova
atstojamoji w·L apkrovos viduryje
Metodas
Nubraižykite visą konstrukciją ir raskite atramų reakcijas, jei nežinomųjų ne daugiau kaip trys.
Raskite dviejų jėgų strypus: apkrauti tik dviejuose šarnyruose, jų jėga veikia tiese tarp tų šarnyrų.
Išardykite rėmą ir nubraižykite kiekvieną strypą atskirai; kur strypai susijungia, šarnyrų jėgos vienodo didumo ir priešingos krypties.
Kiekvienam strypui imkite momentus šarnyro, kuriame veikia nežinomos jėgos, atžvilgiu, tada naudokite ΣFx = 0 ir ΣFy = 0; komponentes į modulį sujunkite pačioje pabaigoje.
Skersinė jėga ir lenkimo momentas
Skersinė jėga ir momentas
V = ΣF vienoje pusėje, M = ΣF·d vienoje pusėje
Lenkimo įtempis
σ = M·y/I
Stačiakampis
I = bh³/12
Atsparumo momentas
W = I/ymax
Laisvai atremta, tolygi apkrova
Mmax = wL²/8
Metodas
Atramų reakcijas raskite iš visos sijos pusiausvyros.
Perpjaukite siją reikiamame pjūvyje ir palikite vieną pusę.
Skersinė jėga: tos pusės vertikaliųjų jėgų suma. Lenkimo momentas: jų momentų pjūvio atžvilgiu suma.
Didžiausiam momentui rasti nustatykite, kur skersinė jėga lygi nuliui.
Svorio centras ir inercijos momentas
Svorio centras
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Stačiakampis
I = bh³/12
Šteinerio teorema
I = Ic + A·d²
Sudėtinis skerspjūvis
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Uždaviniai
1.Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandaugaVidutinis
Raskite kampą θ tarp vektorių a = (−3, −5, −4) ir b = (−2, 5, −2) laipsniais.
a = (−3, −5, −4)b = (−2, 5, −2)
θ = °
2.Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandaugaSunkus
Jėga F = (60, 50, −20) N veikia taške A(0, 4, −3). Koordinatės pateiktos metrais. Raskite jėgos momento taško taškas O(2, −3, 3) atžvilgiu z komponentę Mz.
F = (60, 50, −20) NA(0, 4, −3) mO(2, −3, 3) m
Mz = N·m
3.Sijų atramų reakcijosVidutinis
Sija turi šarnyrinę atramą A ir ritininę atramą B, esančią 8 m atstumu nuo A, o už B tęsiasi konsolė iki laisvojo galo C. Raskite vertikaliąją reakciją RA, teigiama kryptimi laikydami kryptį aukštyn.
AB = 8 mAC = 10 mP1 = 10 kN ties 4 mP2 = 75 kN ties 10 m
RA = kN
4.Sijų atramų reakcijosSunkus
Sudėtinė sija taške A įtvirtinta sienoje, turi vidinį šarnyrą C (5 m nuo A) ir remiasi į ritininę atramą D (10 m nuo A). Ją veikia sutelktoji jėga P, esanti 9 m atstumu nuo A, tolygiai išskirstyta apkrova w visoje dalyje CD. Raskite reakcijos momento sienoje didumą MA.
AC = 5 mAD = 10 mP = 20 kN ties 9 mw = 5 kN/m nuo 5 iki 10 m
MA = kN·m
5.Santvara: mazgų metodasVidutinis
Mazgų metodu raskite jėgą FAB strype AB. Tempimą nurodykite teigiamu, gniuždymą – neigiamu.
tarpatramis = 6 maukštis = 3 mB yra 1 m nuo Avertikalioji apkrova = 60 kN
FAB = kN
6.Santvara: mazgų metodasSunkus
Tiksliai vienas šios santvaros elementas neneša jėgos esant šioms apkrovoms. Kuris yra nulinės jėgos elementas? Spustelėkite jį diagramoje.
B: 15 kN ↓D: 15 kN ↓H: 30 kN ↓H: 40 kN ←
1elementas AB
2elementas BC
3elementas CD
4elementas DE
5elementas FG
6elementas GH
7elementas AF
8elementas HE
9elementas BF
10elementas CG
11elementas DH
12elementas BG
13elementas DG
7.Rėmai ir mechanizmaiVidutinis
Parodytas kampinis svertas sukasi apie šarnyrą O. Vertikali 100 N jėga taške A (240 mm nuo O) subalansuota horizontalia jėga taške B (150 mm virš O). Raskite šarnyro reakcijos didumą FO.
F = 100 NOA = 240 mmOB = 150 mm
FO = N
8.Rėmai ir mechanizmaiSunkus
Parodytas rėmas turi šarnyrus A, B ir C; A ir C pritvirtinti prie žemės 4 m atstumu, o B yra 2,5 m aukštyje ir 2,4 m į dešinę nuo A. Strypas AB neša vertikalią 10 kN apkrovą taške K, 0,6 m (horizontaliai) nuo A, o taške B strypą AB veikia horizontali 8 kN apkrova į dešinę. Raskite horizontaliosios reakcijos Ax taške A didumą.
P = 10 kNQ = 8 kNL = 4 mH = 2,5 mhorizontalus atstumas nuo A iki B = 2,4 mhorizontalus atstumas nuo A iki K = 0,6 m
Ax = kN
9.Skersinė jėga ir lenkimo momentasVidutinis
Žymės nuo A iki G padalija siją į šešias lygias dalis. Ties kuria žyme lenkimo momentas yra didžiausias dydžiu, įlenkiantis ar išlenkiantis? Spustelėkite ją diagramoje.
15 kN @ 10 m35 kN @ 6 m
1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)
10.Skersinė jėga ir lenkimo momentasSunkus
Žymės nuo A iki G padalija siją į šešias lygias dalis. Ties kuria žyme lenkimo momentas yra didžiausias dydžiu, įlenkiantis ar išlenkiantis? Spustelėkite ją diagramoje.
45 kN @ 0 m50 kN @ 6 m5 kN/m, 1–4 m
1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)
11.Svorio centras ir inercijos momentasVidutinis
Raskite tėjinio skerspjūvio inercijos momentą Ix horizontaliosios ašies x, einančios per svorio centrą, atžvilgiu.
bf = 300 mmtf = 10 mmtw = 10 mmhw = 200 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Svorio centras ir inercijos momentasSunkus
Tėjinis skerspjūvis naudojamas kaip sija su lentyna viršuje ir veikiamas teigiamo lenkimo momento 40 kN·m. Raskite lenkimo įtempio σviršus dydį viršutiniame krašte.
Skaliarinė sandauga:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, skaliaras. Ji duoda kampą tarp dviejų vektorių, cos θ = a·b/(|a|·|b|), ir lygi nuliui, kai vektoriai statmeni. Skaliarinė a projekcija į b yra a·b/|b|, o pastovi jėga F, poslinkiu d atliekanti darbą, atlieka darbą W = F·d.
Skaliarinė sandauga
a·b = (−3)·(−2) + (−5)·5 + (−4)·(−2) = −11
Moduliai
|a| = √((−3)² + (−5)² + (−4)²) = 7,071
|b| = √((−2)² + 5² + (−2)²) = 5,745
Kampas
cos θ = −11/(7,071·5,745) = −0,2708
θ = arccos(−0,2708) = 105,7°
Atsakymas
θ = 105,7°
2.Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandauga
Atsakymas: Mz = −520 N·m
Vektorinė sandauga:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) yra statmena abiem vektoriams, o |a × b| = |a|·|b|·sin θ yra jų sudaryto lygiagretainio plotas (trikampio plotas yra pusė jo). Eilės tvarka svarbi: b × a = −(a × b). Jėgos F, veikiančios taške A, momentas taško O atžvilgiu yra MO = r × F, kur r = A − O.
Padėties vektorius iš O į A
r = A − O = (0, 4, −3) − (2, −3, 3) = (−2, 7, −6) m
Statinė pusiausvyra: rimties būsenos kūnui ΣFx = 0, ΣFy = 0 ir ΣM = 0 bet kurio taško atžvilgiu. Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite jos atstojamąja (diagramos plotu), veikiančia apkrovos diagramos svorio centre, ir imkite momentus atramos atžvilgiu, kad tos atramos reakcija dingtų iš lygties.
Momentai A atžvilgiu
Prieš laikrodžio rodyklę – teigiama.
ΣMA = 0: RB·8 = 10·4 + 75·10
RB = 790/8 = 98,75 kN
Vertikalioji pusiausvyra
RA = 10 + 75 − 98,75 = −13,75 kN
Atsakymas
RA = −13,75 kN
RA neigiama: šarnyras A turi prilaikyti siją, kad ši nepakiltų.
4.Sijų atramų reakcijos
Atsakymas: MA = 82,5 kN·m
Statinė pusiausvyra: rimties būsenos kūnui ΣFx = 0, ΣFy = 0 ir ΣM = 0 bet kurio taško atžvilgiu. Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite jos atstojamąja (diagramos plotu), veikiančia apkrovos diagramos svorio centre, ir imkite momentus atramos atžvilgiu, kad tos atramos reakcija dingtų iš lygties. Vidinis šarnyras negali perduoti lenkimo momento, todėl gaunama viena papildoma lygtis: bet kurios pusės jėgų momentas šarnyro atžvilgiu lygus nuliui.
Dalis CD
Šarnyre momento nėra, todėl vien dalies CD momentai taško C atžvilgiu turi būti pusiausviri.
W = 5·5 = 25 kN ties 2,5 m nuo C
ΣMC = 0: RD·5 = 20·4 + 25·2,5
RD = 28,5 kN
VC = 45 − 28,5 = 16,5 kN
Dalis AC
Šarnyro jėga VC dalį AC veikia žemyn (lygi ir priešinga jos poveikiui daliai CD).
RA = 16,5 = 16,5 kN
MA = 16,5·5 = 82,5 kN·m
Atsakymas
MA = 82,5 kN·m
5.Santvara: mazgų metodas
Atsakymas: FAB = −52,7 kN
Mazgų metodas: kiekvienas santvaros mazgas yra pusiausvyroje, todėl kiekviename mazge ΣFx = 0 ir ΣFy = 0. Pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos. Neigiamas rezultatas reiškia, kad strypas gniuždomas.
Atramų reakcijos
Visos santvaros pusiausvyra. Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę.
ΣMA = 0: Cy·6 = 60·1 → Cy = 10 kN
ΣFy = 0: Ay = 60 − 10 = 50 kN
Mazgas A
Tarkite, kad kiekvienas strypas tempiamas (traukia nuo mazgo). Tik AB turi vertikaliąją dedamąją mazge A.
sin α = 3/3,162 = 0,9487
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −50/0,9487 = −52,7 kN
Atsakymas
FAB = −52,7 kN (gniuždymas)
6.Santvara: mazgų metodas
Atsakymas: elementas CG
Nulinės jėgos elementai: mazge jėgos turi atsvirti visomis kryptimis. Jei mazgas neturi apkrovos ir atramos, o du iš trijų jo elementų yra vienoje linijoje, tai pusiausvyra skersai tos linijos apima tik trečiąjį elementą, todėl jo jėga lygi nuliui. Jei neapkrautame mazge susitinka tik du elementai ir jie nėra vienoje linijoje, abu yra nulis.
Mazgas C
BC ir CD yra vienoje tiesėje, o mazgas neapkrautas. Subalansavus jėgas skersai tos linijos lieka tik CG.
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
Patikrinkite mazgų metodu
Išsprendus visus mazgus gaunamos šios elementų jėgos (T = tempimas, C = gniuždymas).
Mechanizmai: replės, svertai, jungčių sistemos ir spaustuvai įėjimo jėgą paverčia didesne ar kitos krypties išėjimo jėga. Vieną dalį nubraižykite kaip laisvąjį kūną ir imkite momentus jos sukimosi ašies atžvilgiu: šarnyro jėga iškrenta, o Fin·a = Fout·b duoda mechaninį išlošį a/b. Šarnyro jėgą tada gaunate iš ΣF = 0 tai pačiai daliai. Alkūniniame mechanizme dvi jungtys susitinka mažu kampu θ; kiekviena jungtis yra dviejų jėgų strypas, todėl maža jėga F sandūroje sukuria dideles jungčių jėgas F/(2 sin θ) ir spaudimo jėgą F/(2 tan θ).
Jėga taške B
Q = 100·240/150 = 160 N
Šarnyro reakcija
Ox = 160 N, Oy = 100 N
FO = √(160² + 100²) = 188,7 N
Atsakymas
FO = 188,7 N
8.Rėmai ir mechanizmai
Atsakymas: Ax = 3,84 kN
Rėmai ir mechanizmai: skirtingai nei santvara, rėmas turi bent vieną strypą, kuris apkrautas daugiau nei dviejuose taškuose arba turi apkrovą tarp šarnyrų. Pirmiausia ieškokite dviejų jėgų strypų: strypo, apkrauto tik dviejuose šarnyruose, jėga veikia tiese per juos, todėl jis prideda vieną nežinomąjį, o ne du. Tada atramų reakcijoms naudokite visą konstrukciją, jei nežinomųjų ne daugiau kaip trys. Galiausiai išardykite rėmą: kiekvieną strypą nubraižykite atskirai, su vienodo didumo ir priešingomis šarnyrų jėgomis dviem juos jungiantiems strypams, ir užrašykite jam ΣFx = 0, ΣFy = 0 ir ΣM = 0. Imant momentus šarnyro atžvilgiu, abi to šarnyro jėgos komponentės iš lygties iškrenta.
BC kryptis
BC = 2,968 m, cos = 0,5391, sin = 0,8423
Visas rėmas: momentai taško A atžvilgiu
FBC·0,8423·4 = 10·0,6 + 8·2,5
FBC = 7,717 kN
Horizontalioji pusiausvyra
Ax + 8 − 7,717·0,5391 = 0
Ax = −3,84 kN → |Ax| = 3,84 kN
Atsakymas
Ax = 3,84 kN
Minuso ženklas reiškia, kad Ax nukreiptas į kairę.
9.Skersinė jėga ir lenkimo momentas
Atsakymas: D (x = 6 m)
Didžiausias lenkimo momentas: M nuolydis keičiasi ten, kur keičiasi skersinė jėga, todėl jo viršūnės yra ten, kur skersinė jėga kerta nulį: po koncentruota apkrova, paskirstytos apkrovos viduje arba virš gembės atramos. Įtvirtintoje gembės atramoje momentas didžiausias prie sienos. Palyginkite M dydį tose vietose, įlenkiantį ar išlenkiantį.
Atramų reakcijos
Paimkite momentus apie vieną atramą, tada naudokite vertikalių jėgų balansą.
R1 = 20 kN, R2 = 30 kN
Lenkimo momentas ties kiekviena žyme
Susumuokite visų vienoje pjūvio pusėje esančių jėgų momentus. Įlenkiantis teigiamas, išlenkiantis neigiamas.
MA = 0, MB = 40, MC = 80, MD = 120 kN·m, ME = 90, MF = 60, MG = 0
Atsakymas
Žymė D: MD = 120 kN·m
10.Skersinė jėga ir lenkimo momentas
Atsakymas: E (x = 4 m)
Didžiausias lenkimo momentas: M nuolydis keičiasi ten, kur keičiasi skersinė jėga, todėl jo viršūnės yra ten, kur skersinė jėga kerta nulį: po koncentruota apkrova, paskirstytos apkrovos viduje arba virš gembės atramos. Įtvirtintoje gembės atramoje momentas didžiausias prie sienos. Palyginkite M dydį tose vietose, įlenkiantį ar išlenkiantį.
Atramų reakcijos
Paimkite momentus apie vieną atramą, tada naudokite vertikalių jėgų balansą.
R1 = 34,17 kN, R2 = 75,83 kN
Lenkimo momentas ties kiekviena žyme
Susumuokite visų vienoje pjūvio pusėje esančių jėgų momentus. Įlenkiantis teigiamas, išlenkiantis neigiamas.
MA = 0, MB = −45, MC = −58,33, MD = −76,67, ME = −100 kN·m, MF = −50, MG = 0
Atsakymas
Žymė E: ME = −100 kN·m
11.Svorio centras ir inercijos momentas
Atsakymas: Ix = 19,92 × 10⁶ mm⁴
Sudėtiniai skerspjūviai: padalykite skerspjūvį į stačiakampius. Svorio centras yra plotais svertinis vidurkis ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Inercijos momentas centrinės ašies atžvilgiu sumuoja kiekvienos dalies nuosavą bh³/12 ir Šteinerio narį A·d², kur d – atstumas nuo dalies svorio centro iki bendro svorio centro. Lenkimo įtempis σ = M·y/I.
Padalykite į du stačiakampius
Kiekvieną y matuokite nuo apatinio krašto.
lentyna: Af = 300·10 = 3000 mm², yf = 200 + 10/2 = 205 mm
sienelė: Aw = 10·200 = 2000 mm², yw = 200/2 = 100 mm
Sudėtiniai skerspjūviai: padalykite skerspjūvį į stačiakampius. Svorio centras yra plotais svertinis vidurkis ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Inercijos momentas centrinės ašies atžvilgiu sumuoja kiekvienos dalies nuosavą bh³/12 ir Šteinerio narį A·d², kur d – atstumas nuo dalies svorio centro iki bendro svorio centro. Lenkimo įtempis σ = M·y/I.
Padalykite į du stačiakampius
Kiekvieną y matuokite nuo apatinio krašto.
lentyna: Af = 120·15 = 1800 mm², yf = 160 + 15/2 = 167,5 mm
sienelė: Aw = 20·160 = 3200 mm², yw = 160/2 = 80 mm