Statika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandauga

Modulis: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Vienetinis vektorius: û = a/|a|
Komponentės pagal kampą: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Skaliarinė sandauga: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a skaliarinė projekcija į b: a·b/|b|
Darbas: W = F·d
Vektorinė sandauga: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Plotai: lygiagretainis |a × b|, trikampis ½|a × b|
Momentas taško O atžvilgiu: M_O = r × F, r = A − O
Gretasienio tūris: V = |a·(b × c)|

Metodas

Kiekvieną vektorių užrašykite komponentėmis; jėgai, pateiktai moduliu ir kampu, naudokite F·cos θ ir F·sin θ.
Ilgiams ir kryptims naudokite modulį √(x² + y² + z²) ir vienetinį vektorių a/|a|.
Skaliarinę sandaugą naudokite kampams, projekcijoms, statmenumui ir darbui: a·b = |a||b|cos θ.
Vektorinę sandaugą naudokite statmeniems vektoriams, plotams ir momentams: atidžiai užrašykite tris komponentes, išlaikydami tvarką a × b.

Sijų atramų reakcijos

Pusiausvyra: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Tolygi apkrova: atstojamoji w·L apkrovos viduryje
Momentas: M = F·d

Metodas

Nubraižykite laisvojo kūno diagramą ir kiekvieną atramą pakeiskite jos reakcijomis.
Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite viena jėga, veikiančia jos svorio centre.
Momentų lygtį užrašykite vienos atramos atžvilgiu ir raskite kitos atramos reakciją.
Likusiai reakcijai rasti naudokite ΣF_y = 0 ir patikrinkite antrąja momentų lygtimi.

Santvara: mazgų metodas

Mazgų metodas: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Pjūvių metodas: ΣM = 0 about a cut point
Strypo jėga: teigiama = tempimas, neigiama = gniuždymas

Metodas

Raskite visos santvaros atramų reakcijas.
Mazgų metodas: pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos, ir naudokite ΣF_x = 0 ir ΣF_y = 0.
Pjūvių metodas: perpjaukite per reikiamą strypą ir užrašykite momentų lygtį taško, kuriame susikerta kiti nežinomi strypai, atžvilgiu.
Tarkite, kad strypas tempiamas; neigiamas atsakymas reiškia gniuždymą.

Rėmai ir mechanizmai

Kiekvieno strypo pusiausvyra: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Dviejų jėgų strypas: jėga veikia tiese, einančia per jo du šarnyrus
Šarnyro jėga: vienodo didumo ir priešingos jėgos dviem sujungiamiems strypams
Šarnyro jėgos modulis: F = √(F_x² + F_y²)
Svertas, replės, kampinis svertas: F_in·a = F_out·b
Alkūninis mechanizmas: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Tolygi apkrova: atstojamoji w·L apkrovos viduryje

Metodas

Nubraižykite visą konstrukciją ir raskite atramų reakcijas, jei nežinomųjų ne daugiau kaip trys.
Raskite dviejų jėgų strypus: apkrauti tik dviejuose šarnyruose, jų jėga veikia tiese tarp tų šarnyrų.
Išardykite rėmą ir nubraižykite kiekvieną strypą atskirai; kur strypai susijungia, šarnyrų jėgos vienodo didumo ir priešingos krypties.
Kiekvienam strypui imkite momentus šarnyro, kuriame veikia nežinomos jėgos, atžvilgiu, tada naudokite ΣF_x = 0 ir ΣF_y = 0; komponentes į modulį sujunkite pačioje pabaigoje.

Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Skersinė jėga ir momentas: V = ΣF vienoje pusėje, M = ΣF·d vienoje pusėje
Lenkimo įtempis: σ = M·y/I
Stačiakampis: I = bh³/12
Atsparumo momentas: W = I/y_max
Laisvai atremta, tolygi apkrova: M_max = wL²/8

Metodas

Atramų reakcijas raskite iš visos sijos pusiausvyros.
Perpjaukite siją reikiamame pjūvyje ir palikite vieną pusę.
Skersinė jėga: tos pusės vertikaliųjų jėgų suma. Lenkimo momentas: jų momentų pjūvio atžvilgiu suma.
Didžiausiam momentui rasti nustatykite, kur skersinė jėga lygi nuliui.

Svorio centras ir inercijos momentas

Svorio centras: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Stačiakampis: I = bh³/12
Šteinerio teorema: I = I_c + A·d²
Sudėtinis skerspjūvis: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Uždaviniai

1.Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandaugaVidutinis

Pastovi jėga F = (−20, 25, 10) N veikia kūną, kuris tiesiai juda iš taško A(−5, 1, 2) į tašką B(1, 1, 5). Koordinatės pateiktos metrais. Raskite jėgos atliktą darbą W.

F = (−20, 25, 10) NA(−5, 1, 2) mB(1, 1, 5) m

W = J

2.Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandaugaSunkus

Raskite lygiagretainio, sudaryto vektorių a = (3, −2, 4) ir b = (2, −2, −1), plotą A.

a = (3, −2, 4)b = (2, −2, −1)

A =

3.Sijų atramų reakcijosVidutinis

Laisvai atremta sija turi šarnyrinę atramą A ir ritininę atramą B. Ją veikia sutelktoji jėga P, esanti 2 m atstumu nuo A, ir jėgų pora M (prieš laikrodžio rodyklę), esanti 4 m atstumu nuo A. Raskite vertikaliąją reakciją R_A, teigiama kryptimi laikydami kryptį aukštyn.

L = 5 mP = 50 kN ties 2 mM = 10 kN·m (prieš laikrodžio rodyklę) ties 4 m

R_A = kN

4.Sijų atramų reakcijosSunkus

Gembinė sija taške A įtvirtinta sienoje. Ją veikia tiesiškai kintanti apkrova, kuri ties siena lygi nuliui ir didėja iki 12 kN/m laisvajame gale B, bei sutelktoji jėga P, esanti 4 m atstumu nuo sienos. Raskite reakcijos momento sienoje didumą M_A.

L = 4 mw₀ = 12 kN/mP = 20 kN ties 4 m

M_A = kN·m

5.Santvara: mazgų metodasVidutinis

Mazgų metodu raskite jėgą F_AC strype AC. Tempimą nurodykite teigiamu, gniuždymą – neigiamu.

tarpatramis = 6 maukštis = 2 mB yra 2 m nuo Avertikalioji apkrova = 20 kN

F_AC = kN

6.Santvara: mazgų metodasSunkus

Mazgų metodu raskite jėgą F_AB strype AB. Tempimą nurodykite teigiamu, gniuždymą – neigiamu.

tarpatramis = 6 maukštis = 2 mB yra 5 m nuo Avertikalioji apkrova = 60 kNhorizontalioji apkrova = 10 kN ←

F_AB = kN

7.Rėmai ir mechanizmaiVidutinis

Parodytas A formos rėmas stovi ant šarnyrinės atramos A ir ritininės atramos B, nutolusių 2,4 m. Kojos susitinka šarnyre C, 3,6 m aukštyje, o horizontalus ryšys DE yra 1,2 m virš žemės. Taške C veikia 2 kN apkrova. Raskite jėgos C, kuria šarnyras C veikia koją BC, didumą.

P = 2 kNAB = 2,4 mC aukštis = 3,6 mDE aukštis = 1,2 m

C = kN

8.Rėmai ir mechanizmaiSunkus

Parodyto sieninio kronšteino sija AB šarnyru pritvirtinta taške A ir paremta atspara CD (C yra 1,5 m žemiau A). Sija per visą ilgį apkrauta tolygiąja 3 kN/m apkrova, o laisvajame gale B – 10 kN taškine apkrova. Raskite jėgą F_CD atsparoje.

w = 3 kN/mP = 10 kNAD = 1,2 mAB = 2 mAC = 1,5 m

F_CD = kN

9.Skersinė jėga ir lenkimo momentasVidutinis

Žymės nuo A iki G padalija siją į šešias lygias dalis. Ties kuria žyme lenkimo momentas yra didžiausias dydžiu, įlenkiantis ar išlenkiantis? Spustelėkite ją diagramoje.

30 kN @ 4 m40 kN @ 2 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

10.Skersinė jėga ir lenkimo momentasSunkus

Laisvai atremta sija visu tarpatramiu apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w ir sutelktąja jėga P. Raskite didžiausią sijos lenkimo momentą M_max.

L = 6 mP = 15 kN ties 3,5 mw = 10 kN/m nuo 0 iki 6 m

M_max = kN·m

11.Svorio centras ir inercijos momentasVidutinis

Lovinis skerspjūvis atvira puse į viršų: 220 mm pločio pagrindo plokštė su dviem vertikaliomis lentynomis, bendrasis aukštis 110 mm. Pagrindo ir lentynų storis vienodas – 16 mm. Raskite svorio centro aukštį ȳ virš apatinės kraštinės.

b = 220 mmh = 110 mmt = 16 mm

ȳ = mm

12.Svorio centras ir inercijos momentasSunkus

Simetriško dvitėjo skerspjūvio lentynos yra 130 mm pločio ir 18 mm storio, bendrasis aukštis 340 mm, o sienelės storis 14 mm. Jį veikia 150 kN·m lenkimo momentas ašies x atžvilgiu. Raskite didžiausio lenkimo įtempio didumą σ_max skerspjūvyje.

B = 130 mmH = 340 mmt_f = 18 mmt_w = 14 mmM = 150 kN·m

σ_max = MPa

3Tirpalai

1.Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandauga

Atsakymas: W = −90 J

Skaliarinė sandauga: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, skaliaras. Ji duoda kampą tarp dviejų vektorių, cos θ = a·b/(|a|·|b|), ir lygi nuliui, kai vektoriai statmeni. Skaliarinė a projekcija į b yra a·b/|b|, o pastovi jėga F, poslinkiu d atliekanti darbą, atlieka darbą W = F·d.

Poslinkis

d = B − A = (1, 1, 5) − (−5, 1, 2) = (6, 0, 3) m

Darbas

W = F·d = (−20)·6 + 25·0 + 10·3 = −90 J

Atsakymas

W = −90 J

Neigiamas darbas: jėga daugiausia veikia prieš judėjimą.

2.Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandauga

Atsakymas: A = 15

Vektorinė sandauga: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) yra statmena abiem vektoriams, o |a × b| = |a|·|b|·sin θ yra jų sudaryto lygiagretainio plotas (trikampio plotas yra pusė jo). Eilės tvarka svarbi: b × a = −(a × b). Jėgos F, veikiančios taške A, momentas taško O atžvilgiu yra M_O = r × F, kur r = A − O.

Vektorinė sandauga

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = (−2)·(−1) − 4·(−2) = 10

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = 4·2 − 3·(−1) = 11

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = 3·(−2) − (−2)·2 = −2

Plotas

A = |a × b| = √(10² + 11² + (−2)²) = 15

Atsakymas

A = 15

3.Sijų atramų reakcijos

Atsakymas: R_A = 32 kN

Statinė pusiausvyra: rimties būsenos kūnui ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 ir ΣM = 0 bet kurio taško atžvilgiu. Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite jos atstojamąja (diagramos plotu), veikiančia apkrovos diagramos svorio centre, ir imkite momentus atramos atžvilgiu, kad tos atramos reakcija dingtų iš lygties.

Momentai A atžvilgiu

Prieš laikrodžio rodyklę – teigiama.

ΣM_A = 0: R_B·5 − 50·2 + 10 = 0

R_B = 90/5 = 18 kN

Vertikalioji pusiausvyra

R_A = 50 − 18 = 32 kN

Atsakymas

R_A = 32 kN

Neigiama reakcija nukreipta žemyn.

4.Sijų atramų reakcijos

Atsakymas: M_A = 144 kN·m

Gembės pusiausvyra: įtvirtinimas gali stumti aukštyn ir priešintis posūkiui, todėl jame atsiranda vertikalioji reakcija R_A ir reakcijos momentas M_A. ΣF_y = 0 duoda R_A, o momentai sienos atžvilgiu duoda M_A = Σ(apkrova × atstumas nuo sienos). Išskirstytoji apkrova veikia kaip jos atstojamoji apkrovos diagramos svorio centre.

Trikampės apkrovos atstojamoji

W = ½·12·4 = 24 kN

x̄ = 2L/3 = 2,667 m

Momentas sienos atžvilgiu

M_A = W·x̄ + P·a = 24·2,667 + 20·4 = 144 kN·m

Atsakymas

M_A = 144 kN·m

5.Santvara: mazgų metodas

Atsakymas: F_AC = 13,33 kN

Mazgų metodas: kiekvienas santvaros mazgas yra pusiausvyroje, todėl kiekviename mazge ΣF_x = 0 ir ΣF_y = 0. Pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos. Neigiamas rezultatas reiškia, kad strypas gniuždomas.

Atramų reakcijos

Visos santvaros pusiausvyra. Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 20·2 → C_y = 6,667 kN

ΣF_y = 0: A_y = 20 − 6,667 = 13,33 kN

Mazgas C

Ritininė atrama duoda tik vertikaliąją reakciją, todėl mazge C yra tik dvi nežinomos strypų jėgos. Tarkite, kad abu tempiami.

sin γ = 2/4,472 = 0,4472, cos γ = 4/4,472 = 0,8944

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −6,667/0,4472 = −14,91 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−14,91)·0,8944 = 13,33 kN

Atsakymas

F_AC = 13,33 kN (tempimas)

6.Santvara: mazgų metodas

Atsakymas: F_AB = −35,9 kN

Atramų reakcijos

Visos santvaros pusiausvyra. Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 60·5 − 10·2 → C_y = 46,67 kN

ΣF_y = 0: A_y = 60 − 46,67 = 13,33 kN

ΣF_x = 0: A_x = 10 kN

Mazgas A

Tarkite, kad kiekvienas strypas tempiamas (traukia nuo mazgo). Tik AB turi vertikaliąją dedamąją mazge A.

sin α = 2/5,385 = 0,3714

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −13,33/0,3714 = −35,9 kN

Atsakymas

F_AB = −35,9 kN (gniuždymas)

7.Rėmai ir mechanizmai

Atsakymas: C = 1,118 kN

Rėmai ir mechanizmai: skirtingai nei santvara, rėmas turi bent vieną strypą, kuris apkrautas daugiau nei dviejuose taškuose arba turi apkrovą tarp šarnyrų. Pirmiausia ieškokite dviejų jėgų strypų: strypo, apkrauto tik dviejuose šarnyruose, jėga veikia tiese per juos, todėl jis prideda vieną nežinomąjį, o ne du. Tada atramų reakcijoms naudokite visą konstrukciją, jei nežinomųjų ne daugiau kaip trys. Galiausiai išardykite rėmą: kiekvieną strypą nubraižykite atskirai, su vienodo didumo ir priešingomis šarnyrų jėgomis dviem juos jungiantiems strypams, ir užrašykite jam ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 ir ΣM = 0. Imant momentus šarnyro atžvilgiu, abi to šarnyro jėgos komponentės iš lygties iškrenta.

Ryšio jėga iš kojos BC

B_y = 1 kN

T = 1·1,2/2,4 = 0,5 kN

Šarnyro jėgos komponentės, veikiančios BC

C_x = T = 0,5 kN, C_y = −B_y = −1 kN

Modulis

C = √(0,5² + 1²) = 1,118 kN

Atsakymas

C = 1,118 kN

8.Rėmai ir mechanizmai

Atsakymas: F_CD = 27,75 kN

Tolygiosios apkrovos atstojamoji

w·L = 3·2 = 6 kN ties 1 m

Sijos momentai taško A atžvilgiu

F_CD·0,7809·1,2 = 6·1 + 10·2 = 26 kN·m

F_CD = 27,75 kN

Atsakymas

F_CD = 27,75 kN

9.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: C (x = 4 m)

Didžiausias lenkimo momentas: M nuolydis keičiasi ten, kur keičiasi skersinė jėga, todėl jo viršūnės yra ten, kur skersinė jėga kerta nulį: po koncentruota apkrova, paskirstytos apkrovos viduje arba virš gembės atramos. Įtvirtintoje gembės atramoje momentas didžiausias prie sienos. Palyginkite M dydį tose vietose, įlenkiantį ar išlenkiantį.

Atramų reakcijos

Paimkite momentus apie vieną atramą, tada naudokite vertikalių jėgų balansą.

R₁ = 53,33 kN, R₂ = 16,67 kN

Lenkimo momentas ties kiekviena žyme

Susumuokite visų vienoje pjūvio pusėje esančių jėgų momentus. Įlenkiantis teigiamas, išlenkiantis neigiamas.

M_A = 0, M_B = 106,7, M_C = 133,3 kN·m, M_D = 100, M_E = 66,67, M_F = 33,33, M_G = 0

Atsakymas

Žymė C: M_C = 133,3 kN·m

10.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: M_max = 65,63 kN·m

Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu. Didžiausias momentas: kadangi dM/dx = V, lenkimo momentas didžiausias ten, kur skersinė jėga eina per nulį – sutelktosios jėgos vietoje arba išskirstytosios apkrovos ruože.

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 10·6 = 60 kN, veikianti taške x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 15·3,5 + 10·6·3

R_B = 232,5/6 = 38,75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 75 − 38,75 = 36,25 kN

Kur V = 0?

V(3,5⁻) = R_A − w·3,5 = 1,25 kN

V(3,5⁺) = 1,25 − 15 = −13,75 kN

Skersinė jėga keičia ženklą ties apkrova, todėl maksimumas yra po apkrova.

Didžiausias momentas

M_max = R_A·3,5 − w·3,5²/2 = 36,25·3,5 − 10·3,5²/2 = 65,63 kN·m

Atsakymas

M_max = 65,63 kN·m

Tai yra taške x = 3,5 m nuo A.

11.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: ȳ = 33,34 mm

Sudėtiniai skerspjūviai: padalykite skerspjūvį į stačiakampius. Svorio centras yra plotais svertinis vidurkis ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Inercijos momentas centrinės ašies atžvilgiu sumuoja kiekvienos dalies nuosavą bh³/12 ir Šteinerio narį A·d², kur d – atstumas nuo dalies svorio centro iki bendro svorio centro. Lenkimo įtempis σ = M·y/I.

Padalykite į stačiakampius

Pagrindą imkite viso pločio, o dvi lentynas virš jo (aukštis h − t), kad niekas nebūtų įskaičiuota du kartus.

bazė: A₁ = 220·16 = 3520 mm², y₁ = 8 mm

dvi lentynos: A₂ = 2·16·94 = 3008 mm², y₂ = 16 + 94/2 = 63 mm

Svorio centras

ȳ = (3520·8 + 3008·63)/6528 = 33,34 mm

Atsakymas

ȳ = 33,34 mm

12.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: σ_max = 165,4 MPa

Išorinis stačiakampis atėmus dvi šonines išpjovas

Abi išpjovos kartu yra (B − t_w) pločio ir h_w = H − 2t_f aukščio, o jų ašis ta pati – x.

h_w = 340 − 2·18 = 304 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (130·340³ − 116·304³)/12

I_x = 1,542 × 10⁸ mm⁴

Lenkimo įtempis

y = 170 mm

σ = M·y/I = 1,5 × 10⁸·170/1,542 × 10⁸ = 165,4 MPa

Atsakymas

σ_max = 165,4 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics