Vektorinę sandaugą naudokite statmeniems vektoriams, plotams ir momentams: atidžiai užrašykite tris komponentes, išlaikydami tvarką a × b.
Sijų atramų reakcijos
Pusiausvyra
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Tolygi apkrova
atstojamoji w·L apkrovos viduryje
Momentas
M = F·d
Metodas
Nubraižykite laisvojo kūno diagramą ir kiekvieną atramą pakeiskite jos reakcijomis.
Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite viena jėga, veikiančia jos svorio centre.
Momentų lygtį užrašykite vienos atramos atžvilgiu ir raskite kitos atramos reakciją.
Likusiai reakcijai rasti naudokite ΣFy = 0 ir patikrinkite antrąja momentų lygtimi.
Santvara: mazgų metodas
Mazgų metodas
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Pjūvių metodas
ΣM = 0 about a cut point
Strypo jėga
teigiama = tempimas, neigiama = gniuždymas
Metodas
Raskite visos santvaros atramų reakcijas.
Mazgų metodas: pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos, ir naudokite ΣFx = 0 ir ΣFy = 0.
Pjūvių metodas: perpjaukite per reikiamą strypą ir užrašykite momentų lygtį taško, kuriame susikerta kiti nežinomi strypai, atžvilgiu.
Tarkite, kad strypas tempiamas; neigiamas atsakymas reiškia gniuždymą.
Rėmai ir mechanizmai
Kiekvieno strypo pusiausvyra
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Dviejų jėgų strypas
jėga veikia tiese, einančia per jo du šarnyrus
Šarnyro jėga
vienodo didumo ir priešingos jėgos dviem sujungiamiems strypams
Šarnyro jėgos modulis
F = √(Fx² + Fy²)
Svertas, replės, kampinis svertas
Fin·a = Fout·b
Alkūninis mechanizmas
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Tolygi apkrova
atstojamoji w·L apkrovos viduryje
Metodas
Nubraižykite visą konstrukciją ir raskite atramų reakcijas, jei nežinomųjų ne daugiau kaip trys.
Raskite dviejų jėgų strypus: apkrauti tik dviejuose šarnyruose, jų jėga veikia tiese tarp tų šarnyrų.
Išardykite rėmą ir nubraižykite kiekvieną strypą atskirai; kur strypai susijungia, šarnyrų jėgos vienodo didumo ir priešingos krypties.
Kiekvienam strypui imkite momentus šarnyro, kuriame veikia nežinomos jėgos, atžvilgiu, tada naudokite ΣFx = 0 ir ΣFy = 0; komponentes į modulį sujunkite pačioje pabaigoje.
Skersinė jėga ir lenkimo momentas
Skersinė jėga ir momentas
V = ΣF vienoje pusėje, M = ΣF·d vienoje pusėje
Lenkimo įtempis
σ = M·y/I
Stačiakampis
I = bh³/12
Atsparumo momentas
W = I/ymax
Laisvai atremta, tolygi apkrova
Mmax = wL²/8
Metodas
Atramų reakcijas raskite iš visos sijos pusiausvyros.
Perpjaukite siją reikiamame pjūvyje ir palikite vieną pusę.
Skersinė jėga: tos pusės vertikaliųjų jėgų suma. Lenkimo momentas: jų momentų pjūvio atžvilgiu suma.
Didžiausiam momentui rasti nustatykite, kur skersinė jėga lygi nuliui.
Svorio centras ir inercijos momentas
Svorio centras
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Stačiakampis
I = bh³/12
Šteinerio teorema
I = Ic + A·d²
Sudėtinis skerspjūvis
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Uždaviniai
1.Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandaugaVidutinis
Raskite kampą θ tarp vektorių a = (0, −6, −1) ir b = (−4, 1, 1) laipsniais.
a = (0, −6, −1)b = (−4, 1, 1)
θ = °
2.Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandaugaSunkus
Kai a = (2, 6, 6) ir b = (6, −6, −1), raskite vektorinės sandaugos a × b y komponentę (a × b)y.
a = (2, 6, 6)b = (6, −6, −1)
(a × b)y =
3.Sijų atramų reakcijosVidutinis
Gembinė sija taške A įtvirtinta sienoje. Ją veikia tolygiai išskirstyta apkrova w nuo sienos iki 7 m ir sutelktoji jėga P, esanti 8 m atstumu nuo sienos. Raskite reakcijos momento sienoje didumą MA.
L = 10 mP = 80 kN ties 8 mw = 12 kN/m nuo 0 iki 7 m
MA = kN·m
4.Sijų atramų reakcijosSunkus
Sija turi šarnyrinę atramą A ir ritininę atramą B, esančią 4,5 m atstumu nuo A, o už B tęsiasi konsolė iki laisvojo galo C. Ją veikia sutelktoji jėga P, esanti 1,5 m atstumu nuo A, ir tolygiai išskirstyta apkrova w nuo 4,5 m iki laisvojo galo ties 6 m. Raskite vertikaliąją reakciją RA, teigiama kryptimi laikydami kryptį aukštyn.
AB = 4,5 mAC = 6 mP = 55 kN ties 1,5 mw = 6 kN/m nuo 4,5 iki 6 m
RA = kN
5.Santvara: mazgų metodasVidutinis
Tiksliai vienas šios santvaros elementas neneša jėgos esant šioms apkrovoms. Kuris yra nulinės jėgos elementas? Spustelėkite jį diagramoje.
B: 20 kN ↓C: 40 kN ↓D: 15 kN ↓F: 35 kN ↓
1elementas AB
2elementas BC
3elementas CD
4elementas DE
5elementas FG
6elementas GH
7elementas AF
8elementas HE
9elementas BF
10elementas CG
11elementas DH
12elementas FC
13elementas HC
6.Santvara: mazgų metodasSunkus
Mazgų metodu raskite jėgą FAB strype AB. Tempimą nurodykite teigiamu, gniuždymą – neigiamu.
tarpatramis = 4 maukštis = 4 mB yra 1 m nuo Avertikalioji apkrova = 20 kNhorizontalioji apkrova = 30 kN ←
FAB = kN
7.Rėmai ir mechanizmaiVidutinis
Parodytame alkūniniame spaustuve dvi vienodos jungtys AB ir BC sujungtos šarnyru B, ir kiekviena su tiese AC sudaro 12° kampą. Taške B veikia žemyn nukreipta 100 N jėga. Slankiklis C spaudžia ruošinį. Nepaisydami trinties ir svorių, raskite horizontaliąją spaudimo jėgą Q.
F = 100 Nθ = 12°
Q = N
8.Rėmai ir mechanizmaiSunkus
Alkūninio preso dvi vienodos jungtys AB ir BC yra po 200 mm ilgio tarp šarnyrų. Šarnyras B yra 30 mm virš tiesės AC. Kokia žemyn nukreipta jėga F taške B sukuria 2500 N horizontalią spaudimo jėgą ties slankikliu C? Nepaisykite trinties ir svorių.
Q = 2500 NAB = BC = 200 mmh = 30 mm
F = N
9.Skersinė jėga ir lenkimo momentasVidutinis
Sija remiasi į šarnyrinę atramą A ir ritininę atramą B, o už B tęsiasi 1,5 m ilgio konsolė iki laisvojo galo C. Ją veikia sutelktoji jėga P1 tarp atramų ir sutelktoji jėga P2 taške C. Raskite skersinę jėgą Vx iš karto kairiau atramos B. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.
L = 6,5 mP1 = 50 kN ties 1,5 mP2 = 80 kN ties 6,5 matramos ties x = 0 ir x = 5 m
Vx = kN
10.Skersinė jėga ir lenkimo momentasSunkus
Sija remiasi į šarnyrinę atramą A ir ritininę atramą B, o už B tęsiasi 1,5 m ilgio konsolė iki laisvojo galo C. Visą ilgį A–C veikia tolygiai išskirstyta apkrova w. Raskite lenkimo momentą MB ties atrama B. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.
L = 7,5 mw = 6 kN/m nuo 0 iki 7,5 matramos ties x = 0 ir x = 6 m
MB = kN·m
11.Svorio centras ir inercijos momentasVidutinis
120 mm × 200 mm plokštė turi apvalią 60 mm skersmens skylę vertikalioje simetrijos ašyje, kurios centras yra 130 mm virš apačios. Raskite ploto inercijos momentą Ix horizontaliosios ašies, einančios per svorio centrą, atžvilgiu.
b = 120 mmh = 200 mmd = 60 mmskylės centras: y = 130 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Svorio centras ir inercijos momentasSunkus
150 mm × 200 mm plokštė turi stačiakampį iškirpimą, 80 mm pločio ir 40 mm aukščio, vertikalioje simetrijos ašyje, kurio centras yra 70 mm virš apačios. Raskite ploto inercijos momentą Ix horizontaliosios ašies, einančios per svorio centrą, atžvilgiu.
b = 150 mmh = 200 mmiškirpimas: 80 × 40 mmskylės centras: y = 70 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
3Tirpalai
1.Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandauga
Atsakymas: θ = 105,7 °
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
Skaliarinė sandauga
a·b = 0·(−4) + (−6)·1 + (−1)·1 = −7
Moduliai
|a| = √(0² + (−6)² + (−1)²) = 6,083
|b| = √((−4)² + 1² + 1²) = 4,243
Kampas
cos θ = −7/(6,083·4,243) = −0,2712
θ = arccos(−0,2712) = 105,7°
Atsakymas
θ = 105,7°
2.Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandauga
Atsakymas: (a × b)y = 38
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
Vektorinė sandauga komponentėmis
(a × b)x = aybz − azby = 6·(−1) − 6·(−6) = 30
(a × b)y = azbx − axbz = 6·6 − 2·(−1) = 38
(a × b)z = axby − aybx = 2·(−6) − 6·6 = −48
Prašoma komponentė
(a × b)y = 38
Atsakymas
(a × b)y = 38
Patikra: a × b yra statmena abiem vektoriams, todėl jos skaliarinė sandauga su a ir su b lygi nuliui.
3.Sijų atramų reakcijos
Atsakymas: MA = 934 kN·m
Gembės pusiausvyra: įtvirtinimas gali stumti aukštyn ir priešintis posūkiui, todėl jame atsiranda vertikalioji reakcija RA ir reakcijos momentas MA. ΣFy = 0 duoda RA, o momentai sienos atžvilgiu duoda MA = Σ(apkrova × atstumas nuo sienos). Išskirstytoji apkrova veikia kaip jos atstojamoji apkrovos diagramos svorio centre.
Išskirstytosios apkrovos atstojamoji
W = 12·7 = 84 kN, x̄ = 3,5 m
Momentas sienos atžvilgiu
MA = P·a + W·x̄ = 80·8 + 84·3,5 = 934 kN·m
Atsakymas
MA = 934 kN·m
4.Sijų atramų reakcijos
Atsakymas: RA = 35,17 kN
Statinė pusiausvyra: rimties būsenos kūnui ΣFx = 0, ΣFy = 0 ir ΣM = 0 bet kurio taško atžvilgiu. Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite jos atstojamąja (diagramos plotu), veikiančia apkrovos diagramos svorio centre, ir imkite momentus atramos atžvilgiu, kad tos atramos reakcija dingtų iš lygties.
Išskirstytosios apkrovos atstojamoji
W = 6·1,5 = 9 kN, x̄ = (4,5 + 6)/2 = 5,25 m
Pusiausvyra
Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę. Tada vertikaliųjų jėgų pusiausvyra.
ΣMA = 0: RB·4,5 = 55·1,5 + 9·5,25
RB = 129,8/4,5 = 28,83 kN
RA = 64 − 28,83 = 35,17 kN
Atsakymas
RA = 35,17 kN
5.Santvara: mazgų metodas
Atsakymas: elementas CG
Nulinės jėgos elementai: mazge jėgos turi atsvirti visomis kryptimis. Jei mazgas neturi apkrovos ir atramos, o du iš trijų jo elementų yra vienoje linijoje, tai pusiausvyra skersai tos linijos apima tik trečiąjį elementą, todėl jo jėga lygi nuliui. Jei neapkrautame mazge susitinka tik du elementai ir jie nėra vienoje linijoje, abu yra nulis.
Mazgas G
FG ir GH yra vienoje tiesėje, o mazgas neapkrautas. Subalansavus jėgas skersai tos linijos lieka tik CG.
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
Patikrinkite mazgų metodu
Išsprendus visus mazgus gaunamos šios elementų jėgos (T = tempimas, C = gniuždymas).
Mazgų metodas: kiekvienas santvaros mazgas yra pusiausvyroje, todėl kiekviename mazge ΣFx = 0 ir ΣFy = 0. Pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos. Neigiamas rezultatas reiškia, kad strypas gniuždomas.
Atramų reakcijos
Visos santvaros pusiausvyra. Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę.
ΣMA = 0: Cy·4 = 20·1 − 30·4 → Cy = −25 kN
ΣFy = 0: Ay = 20 − −25 = 45 kN
ΣFx = 0: Ax = 30 kN
Mazgas A
Tarkite, kad kiekvienas strypas tempiamas (traukia nuo mazgo). Tik AB turi vertikaliąją dedamąją mazge A.
sin α = 4/4,123 = 0,9701
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −45/0,9701 = −46,38 kN
Atsakymas
FAB = −46,38 kN (gniuždymas)
7.Rėmai ir mechanizmai
Atsakymas: Q = 235,2 N
Mechanizmai: replės, svertai, jungčių sistemos ir spaustuvai įėjimo jėgą paverčia didesne ar kitos krypties išėjimo jėga. Vieną dalį nubraižykite kaip laisvąjį kūną ir imkite momentus jos sukimosi ašies atžvilgiu: šarnyro jėga iškrenta, o Fin·a = Fout·b duoda mechaninį išlošį a/b. Šarnyro jėgą tada gaunate iš ΣF = 0 tai pačiai daliai. Alkūniniame mechanizme dvi jungtys susitinka mažu kampu θ; kiekviena jungtis yra dviejų jėgų strypas, todėl maža jėga F sandūroje sukuria dideles jungčių jėgas F/(2 sin θ) ir spaudimo jėgą F/(2 tan θ).
Šarnyro B pusiausvyra
2·Flink·sin 12° = 100
Flink = 240,5 N
Spaudimo jėga
Q = Flink·cos 12° = 100/(2·tan 12°) = 235,2 N
Atsakymas
Q = 235,2 N
Jėgų santykis Q/F = 2,352 auga neribotai, jungtims tiesėjant.
8.Rėmai ir mechanizmai
Atsakymas: F = 758,6 N
Mechanizmai: replės, svertai, jungčių sistemos ir spaustuvai įėjimo jėgą paverčia didesne ar kitos krypties išėjimo jėga. Vieną dalį nubraižykite kaip laisvąjį kūną ir imkite momentus jos sukimosi ašies atžvilgiu: šarnyro jėga iškrenta, o Fin·a = Fout·b duoda mechaninį išlošį a/b. Šarnyro jėgą tada gaunate iš ΣF = 0 tai pačiai daliai. Alkūniniame mechanizme dvi jungtys susitinka mažu kampu θ; kiekviena jungtis yra dviejų jėgų strypas, todėl maža jėga F sandūroje sukuria dideles jungčių jėgas F/(2 sin θ) ir spaudimo jėgą F/(2 tan θ).
Jungties kampas
sin θ = 30/200 = 0,15, θ = 8,627°
Jungties jėga
Flink = Q/cos θ = 2529 N
Jėga taške B
F = 2·Flink·sin θ = 2·2500·tan θ = 758,6 N
Atsakymas
F = 758,6 N
9.Skersinė jėga ir lenkimo momentas
Atsakymas: Vx = −39 kN
Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu.
Atramų reakcijos
Visos sijos pusiausvyra. Konsolės apkrova taip pat sukuria momentą taško A atžvilgiu.
ΣMA = 0: RB·5 = 50·1,5 + 80·6,5
RB = 595/5 = 119 kN
ΣFy = 0: RA = 130 − 119 = 11 kN
Pjūvis iš karto kairiau B, paliekama kairioji dalis
Vx = RA − P1 = 11 − 50 = −39 kN
Atsakymas
Vx = −39 kN
10.Skersinė jėga ir lenkimo momentas
Atsakymas: MB = −6,75 kN·m
Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu. Didžiausias momentas: kadangi dM/dx = V, lenkimo momentas didžiausias ten, kur skersinė jėga eina per nulį – sutelktosios jėgos vietoje arba išskirstytosios apkrovos ruože.
Atramų reakcijos
Visos sijos pusiausvyra, įskaitant konsolės apkrovą.
Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 6·7,5 = 45 kN, veikianti taške x̄ = 3,75 m
ΣMA = 0: RB·6 = 6·7,5·3,75
RB = 168,8/6 = 28,13 kN
ΣFy = 0: RA = 45 − 28,13 = 16,88 kN
Pjūvis ties B, paliekama konsolė
Konsolės apkrova w·a veikia a/2 atstumu nuo B ir lenkia siją virš atramos neigiamai.
MB = −w·a²/2 = −6·1,5²/2 = −6,75 kN·m
Atsakymas
MB = −6,75 kN·m
11.Svorio centras ir inercijos momentas
Atsakymas: Ix = 76,48 × 10⁶ mm⁴
Pjūviai su skylėmis: skylę traktuokite kaip neigiamą plotą. Svorio centras yra ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), kai A₁, y₁ – pilnos plokštės, o A₂, y₂ – skylės. Ploto inercijos momentui centrinės ašies atžvilgiu kiekvienai daliai taikykite lygiagrečiųjų ašių (Šteinerio) teoremą ir skylę atimkite: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), kur d yra atstumas nuo kiekvienos dalies savojo svorio centro iki ašies, einančios per ȳ. Stačiakampio Ic = bh³/12, o skritulio Ic = πd⁴/64.
Svorio centras
ȳ = (24000·100 − 2827·130)/(24000 − 2827) = 95,99 mm
Pilna plokštė ȳ atžvilgiu
120·200³/12 + 24000·4,006² = 80,39 × 10⁶ mm⁴
Skylė ȳ atžvilgiu
π·60⁴/64 + 2827·34,01² = 3,906 × 10⁶ mm⁴
Atimkite
Ix = 76,48 × 10⁶ mm⁴
Atsakymas
Ix = 76,48 × 10⁶ mm⁴
12.Svorio centras ir inercijos momentas
Atsakymas: Ix = 96,35 × 10⁶ mm⁴
Pjūviai su skylėmis: skylę traktuokite kaip neigiamą plotą. Svorio centras yra ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), kai A₁, y₁ – pilnos plokštės, o A₂, y₂ – skylės. Ploto inercijos momentui centrinės ašies atžvilgiu kiekvienai daliai taikykite lygiagrečiųjų ašių (Šteinerio) teoremą ir skylę atimkite: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), kur d yra atstumas nuo kiekvienos dalies savojo svorio centro iki ašies, einančios per ȳ. Stačiakampio Ic = bh³/12, o skritulio Ic = πd⁴/64.
Svorio centras
ȳ = (30000·100 − 3200·70)/(30000 − 3200) = 103,6 mm