Vektorinę sandaugą naudokite statmeniems vektoriams, plotams ir momentams: atidžiai užrašykite tris komponentes, išlaikydami tvarką a × b.
Sijų atramų reakcijos
Pusiausvyra
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Tolygi apkrova
atstojamoji w·L apkrovos viduryje
Momentas
M = F·d
Metodas
Nubraižykite laisvojo kūno diagramą ir kiekvieną atramą pakeiskite jos reakcijomis.
Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite viena jėga, veikiančia jos svorio centre.
Momentų lygtį užrašykite vienos atramos atžvilgiu ir raskite kitos atramos reakciją.
Likusiai reakcijai rasti naudokite ΣFy = 0 ir patikrinkite antrąja momentų lygtimi.
Santvara: mazgų metodas
Mazgų metodas
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Pjūvių metodas
ΣM = 0 about a cut point
Strypo jėga
teigiama = tempimas, neigiama = gniuždymas
Metodas
Raskite visos santvaros atramų reakcijas.
Mazgų metodas: pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos, ir naudokite ΣFx = 0 ir ΣFy = 0.
Pjūvių metodas: perpjaukite per reikiamą strypą ir užrašykite momentų lygtį taško, kuriame susikerta kiti nežinomi strypai, atžvilgiu.
Tarkite, kad strypas tempiamas; neigiamas atsakymas reiškia gniuždymą.
Rėmai ir mechanizmai
Kiekvieno strypo pusiausvyra
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Dviejų jėgų strypas
jėga veikia tiese, einančia per jo du šarnyrus
Šarnyro jėga
vienodo didumo ir priešingos jėgos dviem sujungiamiems strypams
Šarnyro jėgos modulis
F = √(Fx² + Fy²)
Svertas, replės, kampinis svertas
Fin·a = Fout·b
Alkūninis mechanizmas
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Tolygi apkrova
atstojamoji w·L apkrovos viduryje
Metodas
Nubraižykite visą konstrukciją ir raskite atramų reakcijas, jei nežinomųjų ne daugiau kaip trys.
Raskite dviejų jėgų strypus: apkrauti tik dviejuose šarnyruose, jų jėga veikia tiese tarp tų šarnyrų.
Išardykite rėmą ir nubraižykite kiekvieną strypą atskirai; kur strypai susijungia, šarnyrų jėgos vienodo didumo ir priešingos krypties.
Kiekvienam strypui imkite momentus šarnyro, kuriame veikia nežinomos jėgos, atžvilgiu, tada naudokite ΣFx = 0 ir ΣFy = 0; komponentes į modulį sujunkite pačioje pabaigoje.
Skersinė jėga ir lenkimo momentas
Skersinė jėga ir momentas
V = ΣF vienoje pusėje, M = ΣF·d vienoje pusėje
Lenkimo įtempis
σ = M·y/I
Stačiakampis
I = bh³/12
Atsparumo momentas
W = I/ymax
Laisvai atremta, tolygi apkrova
Mmax = wL²/8
Metodas
Atramų reakcijas raskite iš visos sijos pusiausvyros.
Perpjaukite siją reikiamame pjūvyje ir palikite vieną pusę.
Skersinė jėga: tos pusės vertikaliųjų jėgų suma. Lenkimo momentas: jų momentų pjūvio atžvilgiu suma.
Didžiausiam momentui rasti nustatykite, kur skersinė jėga lygi nuliui.
Svorio centras ir inercijos momentas
Svorio centras
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Stačiakampis
I = bh³/12
Šteinerio teorema
I = Ic + A·d²
Sudėtinis skerspjūvis
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Uždaviniai
1.Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandaugaVidutinis
Raskite k reikšmę, su kuria vektoriai a = (5, 6, −4) ir b = (4, 0, k) yra statmeni.
a = (5, 6, −4)b = (4, 0, k)
k =
2.Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandaugaSunkus
Kai a = (2, 0, −4) ir b = (−1, −6, 6), raskite vektorinės sandaugos a × b z komponentę (a × b)z.
a = (2, 0, −4)b = (−1, −6, 6)
(a × b)z =
3.Sijų atramų reakcijosVidutinis
Laisvai atremta sija turi šarnyrinę atramą A ir ritininę atramą B. Raskite vertikaliąją atramos reakciją RA.
L = 6 mP1 = 35 kN ties 2 mP2 = 55 kN ties 4 m
RA = kN
4.Sijų atramų reakcijosSunkus
Laisvai atremta sija turi šarnyrinę atramą A ir ritininę atramą B. Raskite vertikaliąją atramos reakciją RB.
L = 4 mP = 35 kN ties 2,5 mw = 6 kN/m nuo 0 iki 2 m
tarpatramis = 8 maukštis = 3 mB yra 3 m nuo Avertikalioji apkrova = 40 kN
FBC = kN
6.Santvara: mazgų metodasSunkus
Tiksliai vienas šios santvaros elementas neneša jėgos esant šioms apkrovoms. Kuris yra nulinės jėgos elementas? Spustelėkite jį diagramoje.
B: 30 kN ↓H: 10 kN ↓H: 35 kN ←
1elementas AB
2elementas BC
3elementas CD
4elementas DE
5elementas FG
6elementas GH
7elementas AF
8elementas HE
9elementas BF
10elementas CG
11elementas DH
12elementas BG
13elementas DG
7.Rėmai ir mechanizmaiVidutinis
Parodytas kampinis svertas sukasi apie šarnyrą O. Vertikali 50 N jėga taške A (120 mm nuo O) subalansuota horizontalia jėga taške B (60 mm virš O). Raskite šarnyro reakcijos didumą FO.
F = 50 NOA = 120 mmOB = 60 mm
FO = N
8.Rėmai ir mechanizmaiSunkus
Parodytas rėmas turi šarnyrus A, B ir C; A ir C pritvirtinti prie žemės 6 m atstumu, o B yra 4 m aukštyje ir 0,9 m į dešinę nuo A. Strypas AB neša vertikalią 6 kN apkrovą taške K, 0,225 m (horizontaliai) nuo A, o taške B strypą AB veikia horizontali 5 kN apkrova į dešinę. Raskite horizontaliosios reakcijos Ax taške A didumą.
P = 6 kNQ = 5 kNL = 6 mH = 4 mhorizontalus atstumas nuo A iki B = 0,9 mhorizontalus atstumas nuo A iki K = 0,225 m
Ax = kN
9.Skersinė jėga ir lenkimo momentasVidutinis
Žymės nuo A iki G padalija siją į šešias lygias dalis. Ties kuria žyme lenkimo momentas yra didžiausias dydžiu, įlenkiantis ar išlenkiantis? Spustelėkite ją diagramoje.
10 kN @ 1 m10 kN/m, 1–6 m
1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)
10.Skersinė jėga ir lenkimo momentasSunkus
Laisvai atremta sija dalyje tarpatramio apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova. Raskite atstumą x0 nuo A iki pjūvio, kuriame lenkimo momentas didžiausias.
L = 4 mw = 4 kN/m nuo 0 iki 3 m
x0 = m
11.Svorio centras ir inercijos momentasVidutinis
Lovinis skerspjūvis atvira puse į viršų: 160 mm pločio pagrindo plokštė su dviem vertikaliomis lentynomis, bendrasis aukštis 140 mm. Pagrindo ir lentynų storis vienodas – 10 mm. Raskite svorio centro aukštį ȳ virš apatinės kraštinės.
b = 160 mmh = 140 mmt = 10 mm
ȳ = mm
12.Svorio centras ir inercijos momentasSunkus
Simetriško dvitėjo skerspjūvio lentynos yra 150 mm pločio ir 16 mm storio, bendrasis aukštis 400 mm, o sienelės storis 10 mm. Jį veikia 30 kN·m lenkimo momentas ašies x atžvilgiu. Raskite lenkimo įtempio didumą σj sienelės ir viršutinės lentynos sandūroje.
Skaliarinė sandauga:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, skaliaras. Ji duoda kampą tarp dviejų vektorių, cos θ = a·b/(|a|·|b|), ir lygi nuliui, kai vektoriai statmeni. Skaliarinė a projekcija į b yra a·b/|b|, o pastovi jėga F, poslinkiu d atliekanti darbą, atlieka darbą W = F·d.
Skaliarinė sandauga lygi nuliui
a·b = 5·4 + 6·0 + (−4)·k = 0
20 + (−4)·k = 0
Išspręskite k atžvilgiu
k = −20/(−4) = 5
Atsakymas
k = 5
2.Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandauga
Atsakymas: (a × b)z = −12
Vektorinė sandauga:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) yra statmena abiem vektoriams, o |a × b| = |a|·|b|·sin θ yra jų sudaryto lygiagretainio plotas (trikampio plotas yra pusė jo). Eilės tvarka svarbi: b × a = −(a × b). Jėgos F, veikiančios taške A, momentas taško O atžvilgiu yra MO = r × F, kur r = A − O.
Vektorinė sandauga komponentėmis
(a × b)x = aybz − azby = 0·6 − (−4)·(−6) = −24
(a × b)y = azbx − axbz = (−4)·(−1) − 2·6 = −8
(a × b)z = axby − aybx = 2·(−6) − 0·(−1) = −12
Prašoma komponentė
(a × b)z = −12
Atsakymas
(a × b)z = −12
Patikra: a × b yra statmena abiem vektoriams, todėl jos skaliarinė sandauga su a ir su b lygi nuliui.
3.Sijų atramų reakcijos
Atsakymas: RA = 41,67 kN
Statinė pusiausvyra: rimties būsenos kūnui ΣFx = 0, ΣFy = 0 ir ΣM = 0 bet kurio taško atžvilgiu. Imant momentus vienos atramos atžvilgiu, tos atramos reakcija dingsta iš lygties.
Laisvojo kūno diagrama
Atramas pakeiskite reakcijos jėgomis. Ritininė atrama duoda vieną vertikaliąją reakciją; kai apkrovos tik vertikalios, šarnyrinė atrama taip pat duoda vieną vertikaliąją reakciją.
Pusiausvyra
Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę. Tada vertikaliųjų jėgų pusiausvyra.
ΣMA = 0: RB·6 = 35·2 + 55·4
RB = 290/6 = 48,33 kN
ΣFy = 0: RA = 90 − 48,33 = 41,67 kN
Atsakymas
RA = 41,67 kN
4.Sijų atramų reakcijos
Atsakymas: RB = 24,88 kN
Statinė pusiausvyra: rimties būsenos kūnui ΣFx = 0, ΣFy = 0 ir ΣM = 0 bet kurio taško atžvilgiu. Imant momentus vienos atramos atžvilgiu, tos atramos reakcija dingsta iš lygties.
Laisvojo kūno diagrama
Atramas pakeiskite reakcijos jėgomis. Ritininė atrama duoda vieną vertikaliąją reakciją; kai apkrovos tik vertikalios, šarnyrinė atrama taip pat duoda vieną vertikaliąją reakciją.
Pusiausvyra
Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę. Tada vertikaliųjų jėgų pusiausvyra.
Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 6·2 = 12 kN, veikianti taške x̄ = 1 m
ΣMA = 0: RB·4 = 35·2,5 + 6·2·1
RB = 99,5/4 = 24,88 kN
ΣFy = 0: RA = 47 − 24,88 = 22,13 kN
Atsakymas
RB = 24,88 kN
5.Santvara: mazgų metodas
Atsakymas: FBC = −29,15 kN
Mazgų metodas: kiekvienas santvaros mazgas yra pusiausvyroje, todėl kiekviename mazge ΣFx = 0 ir ΣFy = 0. Pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos. Neigiamas rezultatas reiškia, kad strypas gniuždomas.
Atramų reakcijos
Visos santvaros pusiausvyra. Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę.
ΣMA = 0: Cy·8 = 40·3 → Cy = 15 kN
ΣFy = 0: Ay = 40 − 15 = 25 kN
Mazgas C
Ritininė atrama duoda tik vertikaliąją reakciją, todėl mazge C yra tik dvi nežinomos strypų jėgos. Tarkite, kad abu tempiami.
sin γ = 3/5,831 = 0,5145, cos γ = 5/5,831 = 0,8575
Nulinės jėgos elementai: mazge jėgos turi atsvirti visomis kryptimis. Jei mazgas neturi apkrovos ir atramos, o du iš trijų jo elementų yra vienoje linijoje, tai pusiausvyra skersai tos linijos apima tik trečiąjį elementą, todėl jo jėga lygi nuliui. Jei neapkrautame mazge susitinka tik du elementai ir jie nėra vienoje linijoje, abu yra nulis.
Mazgas C
BC ir CD yra vienoje tiesėje, o mazgas neapkrautas. Subalansavus jėgas skersai tos linijos lieka tik CG.
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
Patikrinkite mazgų metodu
Išsprendus visus mazgus gaunamos šios elementų jėgos (T = tempimas, C = gniuždymas).
Mechanizmai: replės, svertai, jungčių sistemos ir spaustuvai įėjimo jėgą paverčia didesne ar kitos krypties išėjimo jėga. Vieną dalį nubraižykite kaip laisvąjį kūną ir imkite momentus jos sukimosi ašies atžvilgiu: šarnyro jėga iškrenta, o Fin·a = Fout·b duoda mechaninį išlošį a/b. Šarnyro jėgą tada gaunate iš ΣF = 0 tai pačiai daliai. Alkūniniame mechanizme dvi jungtys susitinka mažu kampu θ; kiekviena jungtis yra dviejų jėgų strypas, todėl maža jėga F sandūroje sukuria dideles jungčių jėgas F/(2 sin θ) ir spaudimo jėgą F/(2 tan θ).
Jėga taške B
Q = 50·120/60 = 100 N
Šarnyro reakcija
Ox = 100 N, Oy = 50 N
FO = √(100² + 50²) = 111,8 N
Atsakymas
FO = 111,8 N
8.Rėmai ir mechanizmai
Atsakymas: Ax = 0,4631 kN
Rėmai ir mechanizmai: skirtingai nei santvara, rėmas turi bent vieną strypą, kuris apkrautas daugiau nei dviejuose taškuose arba turi apkrovą tarp šarnyrų. Pirmiausia ieškokite dviejų jėgų strypų: strypo, apkrauto tik dviejuose šarnyruose, jėga veikia tiese per juos, todėl jis prideda vieną nežinomąjį, o ne du. Tada atramų reakcijoms naudokite visą konstrukciją, jei nežinomųjų ne daugiau kaip trys. Galiausiai išardykite rėmą: kiekvieną strypą nubraižykite atskirai, su vienodo didumo ir priešingomis šarnyrų jėgomis dviem juos jungiantiems strypams, ir užrašykite jam ΣFx = 0, ΣFy = 0 ir ΣM = 0. Imant momentus šarnyro atžvilgiu, abi to šarnyro jėgos komponentės iš lygties iškrenta.
BC kryptis
BC = 6,482 m, cos = 0,7869, sin = 0,6171
Visas rėmas: momentai taško A atžvilgiu
FBC·0,6171·6 = 6·0,225 + 5·4
FBC = 5,766 kN
Horizontalioji pusiausvyra
Ax + 5 − 5,766·0,7869 = 0
Ax = −0,4631 kN → |Ax| = 0,4631 kN
Atsakymas
Ax = 0,4631 kN
Minuso ženklas reiškia, kad Ax nukreiptas į kairę.
9.Skersinė jėga ir lenkimo momentas
Atsakymas: D (x = 3 m)
Didžiausias lenkimo momentas: M nuolydis keičiasi ten, kur keičiasi skersinė jėga, todėl jo viršūnės yra ten, kur skersinė jėga kerta nulį: po koncentruota apkrova, paskirstytos apkrovos viduje arba virš gembės atramos. Įtvirtintoje gembės atramoje momentas didžiausias prie sienos. Palyginkite M dydį tose vietose, įlenkiantį ar išlenkiantį.
Atramų reakcijos
Paimkite momentus apie vieną atramą, tada naudokite vertikalių jėgų balansą.
R1 = 29,17 kN, R2 = 30,83 kN
Lenkimo momentas ties kiekviena žyme
Susumuokite visų vienoje pjūvio pusėje esančių jėgų momentus. Įlenkiantis teigiamas, išlenkiantis neigiamas.
MA = 0, MB = 29,17, MC = 43,33, MD = 47,5 kN·m, ME = 41,67, MF = 25,83, MG = 0
Atsakymas
Žymė D: MD = 47,5 kN·m
10.Skersinė jėga ir lenkimo momentas
Atsakymas: x0 = 1,875 m
Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu. Didžiausias momentas: kadangi dM/dx = V, lenkimo momentas didžiausias ten, kur skersinė jėga eina per nulį – sutelktosios jėgos vietoje arba išskirstytosios apkrovos ruože.
Atramų reakcijos
Visos sijos pusiausvyra.
Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 4·3 = 12 kN, veikianti taške x̄ = 1,5 m
ΣMA = 0: RB·4 = 4·3·1,5
RB = 18/4 = 4,5 kN
ΣFy = 0: RA = 12 − 4,5 = 7,5 kN
Nulinė skersinė jėga
Skersinė jėga prasideda nuo RA, neapkrautuose ruožuose išlieka pastovi, o apkrovos ruože mažėja nuolydžiu w.
RA − w·(x0 − 0) = 0
x0 = 0 + 7,5/4 = 1,875 m
Atsakymas
x0 = 1,875 m
11.Svorio centras ir inercijos momentas
Atsakymas: ȳ = 48,33 mm
Sudėtiniai skerspjūviai: padalykite skerspjūvį į stačiakampius. Svorio centras yra plotais svertinis vidurkis ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Inercijos momentas centrinės ašies atžvilgiu sumuoja kiekvienos dalies nuosavą bh³/12 ir Šteinerio narį A·d², kur d – atstumas nuo dalies svorio centro iki bendro svorio centro. Lenkimo įtempis σ = M·y/I.
Padalykite į stačiakampius
Pagrindą imkite viso pločio, o dvi lentynas virš jo (aukštis h − t), kad niekas nebūtų įskaičiuota du kartus.
bazė: A1 = 160·10 = 1600 mm², y1 = 5 mm
dvi lentynos: A2 = 2·10·130 = 2600 mm², y2 = 10 + 130/2 = 75 mm
Svorio centras
ȳ = (1600·5 + 2600·75)/4200 = 48,33 mm
Atsakymas
ȳ = 48,33 mm
12.Svorio centras ir inercijos momentas
Atsakymas: σj = 25,25 MPa
Sudėtiniai skerspjūviai: padalykite skerspjūvį į stačiakampius. Svorio centras yra plotais svertinis vidurkis ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Inercijos momentas centrinės ašies atžvilgiu sumuoja kiekvienos dalies nuosavą bh³/12 ir Šteinerio narį A·d², kur d – atstumas nuo dalies svorio centro iki bendro svorio centro. Lenkimo įtempis σ = M·y/I.
Išorinis stačiakampis atėmus dvi šonines išpjovas
Abi išpjovos kartu yra (B − tw) pločio ir hw = H − 2tf aukščio, o jų ašis ta pati – x.