Statika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandauga

Modulis: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Vienetinis vektorius: û = a/|a|
Komponentės pagal kampą: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Skaliarinė sandauga: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a skaliarinė projekcija į b: a·b/|b|
Darbas: W = F·d
Vektorinė sandauga: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Plotai: lygiagretainis |a × b|, trikampis ½|a × b|
Momentas taško O atžvilgiu: M_O = r × F, r = A − O
Gretasienio tūris: V = |a·(b × c)|

Metodas

Kiekvieną vektorių užrašykite komponentėmis; jėgai, pateiktai moduliu ir kampu, naudokite F·cos θ ir F·sin θ.
Ilgiams ir kryptims naudokite modulį √(x² + y² + z²) ir vienetinį vektorių a/|a|.
Skaliarinę sandaugą naudokite kampams, projekcijoms, statmenumui ir darbui: a·b = |a||b|cos θ.
Vektorinę sandaugą naudokite statmeniems vektoriams, plotams ir momentams: atidžiai užrašykite tris komponentes, išlaikydami tvarką a × b.

Sijų atramų reakcijos

Pusiausvyra: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Tolygi apkrova: atstojamoji w·L apkrovos viduryje
Momentas: M = F·d

Metodas

Nubraižykite laisvojo kūno diagramą ir kiekvieną atramą pakeiskite jos reakcijomis.
Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite viena jėga, veikiančia jos svorio centre.
Momentų lygtį užrašykite vienos atramos atžvilgiu ir raskite kitos atramos reakciją.
Likusiai reakcijai rasti naudokite ΣF_y = 0 ir patikrinkite antrąja momentų lygtimi.

Santvara: mazgų metodas

Mazgų metodas: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Pjūvių metodas: ΣM = 0 about a cut point
Strypo jėga: teigiama = tempimas, neigiama = gniuždymas

Metodas

Raskite visos santvaros atramų reakcijas.
Mazgų metodas: pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos, ir naudokite ΣF_x = 0 ir ΣF_y = 0.
Pjūvių metodas: perpjaukite per reikiamą strypą ir užrašykite momentų lygtį taško, kuriame susikerta kiti nežinomi strypai, atžvilgiu.
Tarkite, kad strypas tempiamas; neigiamas atsakymas reiškia gniuždymą.

Rėmai ir mechanizmai

Kiekvieno strypo pusiausvyra: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Dviejų jėgų strypas: jėga veikia tiese, einančia per jo du šarnyrus
Šarnyro jėga: vienodo didumo ir priešingos jėgos dviem sujungiamiems strypams
Šarnyro jėgos modulis: F = √(F_x² + F_y²)
Svertas, replės, kampinis svertas: F_in·a = F_out·b
Alkūninis mechanizmas: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Tolygi apkrova: atstojamoji w·L apkrovos viduryje

Metodas

Nubraižykite visą konstrukciją ir raskite atramų reakcijas, jei nežinomųjų ne daugiau kaip trys.
Raskite dviejų jėgų strypus: apkrauti tik dviejuose šarnyruose, jų jėga veikia tiese tarp tų šarnyrų.
Išardykite rėmą ir nubraižykite kiekvieną strypą atskirai; kur strypai susijungia, šarnyrų jėgos vienodo didumo ir priešingos krypties.
Kiekvienam strypui imkite momentus šarnyro, kuriame veikia nežinomos jėgos, atžvilgiu, tada naudokite ΣF_x = 0 ir ΣF_y = 0; komponentes į modulį sujunkite pačioje pabaigoje.

Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Skersinė jėga ir momentas: V = ΣF vienoje pusėje, M = ΣF·d vienoje pusėje
Lenkimo įtempis: σ = M·y/I
Stačiakampis: I = bh³/12
Atsparumo momentas: W = I/y_max
Laisvai atremta, tolygi apkrova: M_max = wL²/8

Metodas

Atramų reakcijas raskite iš visos sijos pusiausvyros.
Perpjaukite siją reikiamame pjūvyje ir palikite vieną pusę.
Skersinė jėga: tos pusės vertikaliųjų jėgų suma. Lenkimo momentas: jų momentų pjūvio atžvilgiu suma.
Didžiausiam momentui rasti nustatykite, kur skersinė jėga lygi nuliui.

Svorio centras ir inercijos momentas

Svorio centras: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Stačiakampis: I = bh³/12
Šteinerio teorema: I = I_c + A·d²
Sudėtinis skerspjūvis: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Uždaviniai

1.Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandaugaVidutinis

Raskite vektorių a = (−7, 0, 3) ir b = (4, 5, −1) skaliarinę sandaugą a·b.

a = (−7, 0, 3)b = (4, 5, −1)

a·b =

2.Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandaugaSunkus

Vienetinis vektorius n̂ statmenas abiem vektoriams a = (0, 3, 1) ir b = (−5, −1, −4) ir turi teigiamą z komponentę. Raskite jo x komponentę n̂_x.

a = (0, 3, 1)b = (−5, −1, −4)n̂_z > 0

n̂_x =

3.Sijų atramų reakcijosVidutinis

Gembinė sija taške A įtvirtinta sienoje. Ją veikia tolygiai išskirstyta apkrova w nuo sienos iki 2,5 m ir sutelktoji jėga P, esanti 1,5 m atstumu nuo sienos. Raskite vertikaliąją reakciją R_A sienoje.

L = 4 mP = 50 kN ties 1,5 mw = 12 kN/m nuo 0 iki 2,5 m

R_A = kN

4.Sijų atramų reakcijosSunkus

Laisvai atremta sija turi šarnyrinę atramą A ir ritininę atramą B. 2 m atstumu nuo A veikia apkrova P, pasvirusi 45° kampu į horizontalę, o 7 m atstumu nuo A – vertikalioji apkrova Q. Raskite suminės reakcijos jėgos šarnyre A didumą R_A.

L = 8 mP = 20 kN ties 2 m, θ = 45°Q = 70 kN ties 7 m

R_A = kN

5.Santvara: mazgų metodasVidutinis

Mazgų metodu raskite jėgą F_BC strype BC. Tempimą nurodykite teigiamu, gniuždymą – neigiamu.

tarpatramis = 4 maukštis = 2 mB yra 3 m nuo Avertikalioji apkrova = 60 kN

F_BC = kN

6.Santvara: mazgų metodasSunkus

Mazgų metodu raskite jėgą F_AC strype AC. Tempimą nurodykite teigiamu, gniuždymą – neigiamu.

tarpatramis = 5 maukštis = 4 mB yra 1 m nuo Avertikalioji apkrova = 15 kNhorizontalioji apkrova = 30 kN →

F_AC = kN

7.Rėmai ir mechanizmaiVidutinis

Parodytame alkūniniame spaustuve dvi vienodos jungtys AB ir BC sujungtos šarnyru B, ir kiekviena su tiese AC sudaro 20° kampą. Taške B veikia žemyn nukreipta 400 N jėga. Slankiklis C spaudžia ruošinį. Nepaisydami trinties ir svorių, raskite horizontaliąją spaudimo jėgą Q.

F = 400 Nθ = 20°

Q = N

8.Rėmai ir mechanizmaiSunkus

Tolygi horizontali strėlė AB, sverianti 1 kN, šarnyru pritvirtinta prie sienos taške A ir laikoma lyno nuo B iki sienos taško C, 2,5 m virš A. Taške B kabo 12 kN apkrova. Raskite šarnyro reakcijos didumą A.

W = 12 kNW_b = 1 kNAB = 6 mAC = 2,5 m

A = kN

9.Skersinė jėga ir lenkimo momentasVidutinis

Žymės nuo A iki G padalija siją į šešias lygias dalis. Ties kuria žyme lenkimo momentas yra didžiausias dydžiu, įlenkiantis ar išlenkiantis? Spustelėkite ją diagramoje.

60 kN @ 6 m25 kN @ 4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

10.Skersinė jėga ir lenkimo momentasSunkus

Žymės nuo A iki G padalija siją į šešias lygias dalis. Ties kuria žyme lenkimo momentas yra didžiausias dydžiu, įlenkiantis ar išlenkiantis? Spustelėkite ją diagramoje.

35 kN @ 0 m40 kN @ 6 m35 kN @ 3 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

11.Svorio centras ir inercijos momentasVidutinis

Raskite tėjinio skerspjūvio inercijos momentą I_x horizontaliosios ašies x, einančios per svorio centrą, atžvilgiu.

b_f = 240 mmt_f = 25 mmt_w = 12 mmh_w = 260 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Svorio centras ir inercijos momentasSunkus

Suvirinto dvitėjo skerspjūvio viršutinė lentyna yra 190 × 10 mm, sienelė 200 mm aukščio ir 14 mm storio, o apatinė lentyna 260 × 16 mm (plotis × storis). Raskite jo inercijos momentą I_x horizontaliosios ašies x, einančios per svorio centrą, atžvilgiu.

viršutinė lentyna: 190 × 10 mmsienelė: 14 × 200 mmapatinė lentyna: 260 × 16 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3Tirpalai

1.Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandauga

Atsakymas: a·b = −31

Skaliarinė sandauga: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, skaliaras. Ji duoda kampą tarp dviejų vektorių, cos θ = a·b/(|a|·|b|), ir lygi nuliui, kai vektoriai statmeni. Skaliarinė a projekcija į b yra a·b/|b|, o pastovi jėga F, poslinkiu d atliekanti darbą, atlieka darbą W = F·d.

Sudauginkite atitinkamas komponentes ir sudėkite

a·b = (−7)·4 + 0·5 + 3·(−1) = (−28) + 0 + (−3) = −31

Atsakymas

a·b = −31

Neigiama: kampas tarp vektorių didesnis nei 90°.

2.Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandauga

Atsakymas: n̂_x = −0,5711

Vektorinė sandauga: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) yra statmena abiem vektoriams, o |a × b| = |a|·|b|·sin θ yra jų sudaryto lygiagretainio plotas (trikampio plotas yra pusė jo). Eilės tvarka svarbi: b × a = −(a × b). Jėgos F, veikiančios taške A, momentas taško O atžvilgiu yra M_O = r × F, kur r = A − O.

Vektorinė sandauga

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = 3·(−4) − 1·(−1) = −11

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = 1·(−5) − 0·(−4) = −5

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = 0·(−1) − 3·(−5) = 15

Normalizuokite

a × b z komponentė jau teigiama.

|a × b| = √((−11)² + (−5)² + 15²) = 19,26

n̂ = (−11, −5, 15)/19,26 = (−0,5711, −0,2596, 0,7788)

n̂_x = −0,5711

Atsakymas

n̂_x = −0,5711

3.Sijų atramų reakcijos

Atsakymas: R_A = 80 kN

Gembės pusiausvyra: įtvirtinimas gali stumti aukštyn ir priešintis posūkiui, todėl jame atsiranda vertikalioji reakcija R_A ir reakcijos momentas M_A. ΣF_y = 0 duoda R_A, o momentai sienos atžvilgiu duoda M_A = Σ(apkrova × atstumas nuo sienos). Išskirstytoji apkrova veikia kaip jos atstojamoji apkrovos diagramos svorio centre.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji

W = 12·2,5 = 30 kN, x̄ = 1,25 m

Vertikalioji pusiausvyra

R_A = P + W = 50 + 30 = 80 kN

Atsakymas

R_A = 80 kN

4.Sijų atramų reakcijos

Atsakymas: R_A = 23,97 kN

Statinė pusiausvyra: rimties būsenos kūnui ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 ir ΣM = 0 bet kurio taško atžvilgiu. Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite jos atstojamąja (diagramos plotu), veikiančia apkrovos diagramos svorio centre, ir imkite momentus atramos atžvilgiu, kad tos atramos reakcija dingtų iš lygties.

P dedamosios

P_v = 20·sin 45° = 14,14 kN

P_h = 20·cos 45° = 14,14 kN

Reakcijos

ΣM_A = 0: R_B·8 = 14,14·2 + 70·7 → R_B = 64,79 kN

A_y = 14,14 + 70 − 64,79 = 19,36 kN

A_x = P_h = 14,14 kN

Atstojamoji ties A

R_A = √(14,14² + 19,36²) = 23,97 kN

Atsakymas

R_A = 23,97 kN

5.Santvara: mazgų metodas

Atsakymas: F_BC = −50,31 kN

Mazgų metodas: kiekvienas santvaros mazgas yra pusiausvyroje, todėl kiekviename mazge ΣF_x = 0 ir ΣF_y = 0. Pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos. Neigiamas rezultatas reiškia, kad strypas gniuždomas.

Atramų reakcijos

Visos santvaros pusiausvyra. Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 60·3 → C_y = 45 kN

ΣF_y = 0: A_y = 60 − 45 = 15 kN

Mazgas C

Ritininė atrama duoda tik vertikaliąją reakciją, todėl mazge C yra tik dvi nežinomos strypų jėgos. Tarkite, kad abu tempiami.

sin γ = 2/2,236 = 0,8944, cos γ = 1/2,236 = 0,4472

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −45/0,8944 = −50,31 kN

Atsakymas

F_BC = −50,31 kN (gniuždymas)

6.Santvara: mazgų metodas

Atsakymas: F_AC = 27 kN

Atramų reakcijos

Visos santvaros pusiausvyra. Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 15·1 + 30·4 → C_y = 27 kN

ΣF_y = 0: A_y = 15 − 27 = −12 kN

ΣF_x = 0: A_x = −30 kN

Mazgas C

Ritininė atrama duoda tik vertikaliąją reakciją, todėl mazge C yra tik dvi nežinomos strypų jėgos. Tarkite, kad abu tempiami.

sin γ = 4/5,657 = 0,7071, cos γ = 4/5,657 = 0,7071

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −27/0,7071 = −38,18 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−38,18)·0,7071 = 27 kN

Atsakymas

F_AC = 27 kN (tempimas)

7.Rėmai ir mechanizmai

Atsakymas: Q = 549,5 N

Mechanizmai: replės, svertai, jungčių sistemos ir spaustuvai įėjimo jėgą paverčia didesne ar kitos krypties išėjimo jėga. Vieną dalį nubraižykite kaip laisvąjį kūną ir imkite momentus jos sukimosi ašies atžvilgiu: šarnyro jėga iškrenta, o F_in·a = F_out·b duoda mechaninį išlošį a/b. Šarnyro jėgą tada gaunate iš ΣF = 0 tai pačiai daliai. Alkūniniame mechanizme dvi jungtys susitinka mažu kampu θ; kiekviena jungtis yra dviejų jėgų strypas, todėl maža jėga F sandūroje sukuria dideles jungčių jėgas F/(2 sin θ) ir spaudimo jėgą F/(2 tan θ).

Šarnyro B pusiausvyra

2·F_link·sin 20° = 400

F_link = 584,8 N

Spaudimo jėga

Q = F_link·cos 20° = 400/(2·tan 20°) = 549,5 N

Atsakymas

Q = 549,5 N

Jėgų santykis Q/F = 1,374 auga neribotai, jungtims tiesėjant.

8.Rėmai ir mechanizmai

Atsakymas: A = 30 kN

Rėmai ir mechanizmai: skirtingai nei santvara, rėmas turi bent vieną strypą, kuris apkrautas daugiau nei dviejuose taškuose arba turi apkrovą tarp šarnyrų. Pirmiausia ieškokite dviejų jėgų strypų: strypo, apkrauto tik dviejuose šarnyruose, jėga veikia tiese per juos, todėl jis prideda vieną nežinomąjį, o ne du. Tada atramų reakcijoms naudokite visą konstrukciją, jei nežinomųjų ne daugiau kaip trys. Galiausiai išardykite rėmą: kiekvieną strypą nubraižykite atskirai, su vienodo didumo ir priešingomis šarnyrų jėgomis dviem juos jungiantiems strypams, ir užrašykite jam ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 ir ΣM = 0. Imant momentus šarnyro atžvilgiu, abi to šarnyro jėgos komponentės iš lygties iškrenta.

Lyno įtempimas

T = (12 + 1/2)/0,3846 = 32,5 kN

Komponentės taške A

A_x = T·cos β = 30 kN

A_y = 12 + 1 − T·sin β = 0,5 kN

Modulis

A = √(30² + 0,5²) = 30 kN

Atsakymas

A = 30 kN

9.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: D (x = 6 m)

Didžiausias lenkimo momentas: M nuolydis keičiasi ten, kur keičiasi skersinė jėga, todėl jo viršūnės yra ten, kur skersinė jėga kerta nulį: po koncentruota apkrova, paskirstytos apkrovos viduje arba virš gembės atramos. Įtvirtintoje gembės atramoje momentas didžiausias prie sienos. Palyginkite M dydį tose vietose, įlenkiantį ar išlenkiantį.

Atramų reakcijos

Paimkite momentus apie vieną atramą, tada naudokite vertikalių jėgų balansą.

R₁ = 46,67 kN, R₂ = 38,33 kN

Lenkimo momentas ties kiekviena žyme

Susumuokite visų vienoje pjūvio pusėje esančių jėgų momentus. Įlenkiantis teigiamas, išlenkiantis neigiamas.

M_A = 0, M_B = 93,33, M_C = 186,7, M_D = 230 kN·m, M_E = 153,3, M_F = 76,67, M_G = 0

Atsakymas

Žymė D: M_D = 230 kN·m

10.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: F (x = 5 m)

Atramų reakcijos

Paimkite momentus apie vieną atramą, tada naudokite vertikalių jėgų balansą.

R₁ = 51,25 kN, R₂ = 58,75 kN

Lenkimo momentas ties kiekviena žyme

Susumuokite visų vienoje pjūvio pusėje esančių jėgų momentus. Įlenkiantis teigiamas, išlenkiantis neigiamas.

M_A = 0, M_B = −35, M_C = −18,75, M_D = −2,5, M_E = −21,25, M_F = −40 kN·m, M_G = 0

Atsakymas

Žymė F: M_F = −40 kN·m

11.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: I_x = 59,57 × 10⁶ mm⁴

Sudėtiniai skerspjūviai: padalykite skerspjūvį į stačiakampius. Svorio centras yra plotais svertinis vidurkis ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Inercijos momentas centrinės ašies atžvilgiu sumuoja kiekvienos dalies nuosavą bh³/12 ir Šteinerio narį A·d², kur d – atstumas nuo dalies svorio centro iki bendro svorio centro. Lenkimo įtempis σ = M·y/I.

Padalykite į du stačiakampius

Kiekvieną y matuokite nuo apatinio krašto.

lentyna: A_f = 240·25 = 6000 mm², y_f = 260 + 25/2 = 272,5 mm

sienelė: A_w = 12·260 = 3120 mm², y_w = 260/2 = 130 mm

Svorio centras

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (6000·272,5 + 3120·130)/9120 = 223,8 mm

Šteinerio teorema

lentyna: 240·25³/12 + 6000·(272,5 − 223,8)² = 1,457 × 10⁷ mm⁴

sienelė: 12·260³/12 + 3120·(130 − 223,8)² = 4,5 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,457 × 10⁷ + 4,5 × 10⁷ = 5,957 × 10⁷ mm⁴ = 59,57 × 10⁶ mm⁴

Atsakymas

I_x = 59,57 × 10⁶ mm⁴

12.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: I_x = 71,87 × 10⁶ mm⁴

Padalykite į tris stačiakampius

Kiekvieną y matuokite nuo apatinio krašto.

viršutinė lentyna: A = 1900 mm², y = 221 mm

sienelė: A = 2800 mm², y = 116 mm

apatinė lentyna: A = 4160 mm², y = 8 mm

Svorio centras

ȳ = (1900·221 + 2800·116 + 4160·8)/8860 = 87,81 mm

Šteinerio teorema

viršutinė lentyna: 190·10³/12 + 1900·133,2² = 3,372 × 10⁷ mm⁴

sienelė: 14·200³/12 + 2800·28,19² = 1,156 × 10⁷ mm⁴

apatinė lentyna: 260·16³/12 + 4160·79,81² = 2,659 × 10⁷ mm⁴

I_x = 3,372 × 10⁷ + 1,156 × 10⁷ + 2,659 × 10⁷

I_x = 7,187 × 10⁷ mm⁴ = 71,87 × 10⁶ mm⁴

Atsakymas

I_x = 71,87 × 10⁶ mm⁴

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics