Vektorinę sandaugą naudokite statmeniems vektoriams, plotams ir momentams: atidžiai užrašykite tris komponentes, išlaikydami tvarką a × b.
Sijų atramų reakcijos
Pusiausvyra
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Tolygi apkrova
atstojamoji w·L apkrovos viduryje
Momentas
M = F·d
Metodas
Nubraižykite laisvojo kūno diagramą ir kiekvieną atramą pakeiskite jos reakcijomis.
Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite viena jėga, veikiančia jos svorio centre.
Momentų lygtį užrašykite vienos atramos atžvilgiu ir raskite kitos atramos reakciją.
Likusiai reakcijai rasti naudokite ΣFy = 0 ir patikrinkite antrąja momentų lygtimi.
Santvara: mazgų metodas
Mazgų metodas
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Pjūvių metodas
ΣM = 0 about a cut point
Strypo jėga
teigiama = tempimas, neigiama = gniuždymas
Metodas
Raskite visos santvaros atramų reakcijas.
Mazgų metodas: pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos, ir naudokite ΣFx = 0 ir ΣFy = 0.
Pjūvių metodas: perpjaukite per reikiamą strypą ir užrašykite momentų lygtį taško, kuriame susikerta kiti nežinomi strypai, atžvilgiu.
Tarkite, kad strypas tempiamas; neigiamas atsakymas reiškia gniuždymą.
Rėmai ir mechanizmai
Kiekvieno strypo pusiausvyra
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Dviejų jėgų strypas
jėga veikia tiese, einančia per jo du šarnyrus
Šarnyro jėga
vienodo didumo ir priešingos jėgos dviem sujungiamiems strypams
Šarnyro jėgos modulis
F = √(Fx² + Fy²)
Svertas, replės, kampinis svertas
Fin·a = Fout·b
Alkūninis mechanizmas
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Tolygi apkrova
atstojamoji w·L apkrovos viduryje
Metodas
Nubraižykite visą konstrukciją ir raskite atramų reakcijas, jei nežinomųjų ne daugiau kaip trys.
Raskite dviejų jėgų strypus: apkrauti tik dviejuose šarnyruose, jų jėga veikia tiese tarp tų šarnyrų.
Išardykite rėmą ir nubraižykite kiekvieną strypą atskirai; kur strypai susijungia, šarnyrų jėgos vienodo didumo ir priešingos krypties.
Kiekvienam strypui imkite momentus šarnyro, kuriame veikia nežinomos jėgos, atžvilgiu, tada naudokite ΣFx = 0 ir ΣFy = 0; komponentes į modulį sujunkite pačioje pabaigoje.
Skersinė jėga ir lenkimo momentas
Skersinė jėga ir momentas
V = ΣF vienoje pusėje, M = ΣF·d vienoje pusėje
Lenkimo įtempis
σ = M·y/I
Stačiakampis
I = bh³/12
Atsparumo momentas
W = I/ymax
Laisvai atremta, tolygi apkrova
Mmax = wL²/8
Metodas
Atramų reakcijas raskite iš visos sijos pusiausvyros.
Perpjaukite siją reikiamame pjūvyje ir palikite vieną pusę.
Skersinė jėga: tos pusės vertikaliųjų jėgų suma. Lenkimo momentas: jų momentų pjūvio atžvilgiu suma.
Didžiausiam momentui rasti nustatykite, kur skersinė jėga lygi nuliui.
Svorio centras ir inercijos momentas
Svorio centras
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Stačiakampis
I = bh³/12
Šteinerio teorema
I = Ic + A·d²
Sudėtinis skerspjūvis
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Uždaviniai
1.Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandaugaVidutinis
Raskite vektorių a = (2, 0, −6) ir b = (1, 1, −4) skaliarinę sandaugą a·b.
a = (2, 0, −6)b = (1, 1, −4)
a·b =
2.Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandaugaSunkus
Vienetinis vektorius n̂ statmenas abiem vektoriams a = (−4, 4, 5) ir b = (−5, 3, −3) ir turi teigiamą z komponentę. Raskite jo y komponentę n̂y.
a = (−4, 4, 5)b = (−5, 3, −3)n̂z > 0
n̂y =
3.Sijų atramų reakcijosVidutinis
Gembinė sija taške A įtvirtinta sienoje. Ją visu ilgiu veikia tolygiai išskirstyta apkrova w ir sutelktoji jėga P, esanti 2,5 m atstumu nuo sienos. Raskite reakcijos momento sienoje didumą MA.
L = 5 mP = 50 kN ties 2,5 mw = 12 kN/m nuo 0 iki 5 m
MA = kN·m
4.Sijų atramų reakcijosSunkus
Laisvai atremta sija turi šarnyrinę atramą A ir ritininę atramą B. Raskite vertikaliąją atramos reakciją RB.
L = 4 mP = 10 kN ties 3 mw = 5 kN/m nuo 0 iki 3 m
RB = kN
5.Santvara: mazgų metodasVidutinis
Tiksliai vienas šios santvaros elementas neneša jėgos esant šioms apkrovoms. Kuris yra nulinės jėgos elementas? Spustelėkite jį diagramoje.
tarpatramis = 8 maukštis = 2 mB yra 7 m nuo Avertikalioji apkrova = 25 kNhorizontalioji apkrova = 15 kN →
FAC = kN
7.Rėmai ir mechanizmaiVidutinis
Parodytas rėmas turi šarnyrus A, B ir C; A ir C pritvirtinti prie žemės 6 m atstumu, o B yra 4 m virš žemės ir 0,9 m į dešinę nuo A. Vertikali 12 kN apkrova veikia strypą AB taške K, 0,675 m (horizontaliai) nuo A. Raskite jėgą FBC strype BC.
P = 12 kNL = 6 mH = 4 mhorizontalus atstumas nuo A iki B = 0,9 mhorizontalus atstumas nuo A iki K = 0,675 m
FBC = kN
8.Rėmai ir mechanizmaiSunkus
Tolygi horizontali strėlė AB, sverianti 2 kN, šarnyru pritvirtinta prie sienos taške A ir laikoma lyno nuo B iki sienos taško C, 1 m virš A. Taške B kabo 2 kN apkrova. Raskite šarnyro reakcijos didumą A.
W = 2 kNWb = 2 kNAB = 6 mAC = 1 m
A = kN
9.Skersinė jėga ir lenkimo momentasVidutinis
Laisvai atremta sija apkrauta dviem sutelktosiomis jėgomis. Raskite didžiausią sijos lenkimo momentą Mmax.
L = 10 mP1 = 35 kN ties 1 mP2 = 80 kN ties 4 m
Mmax = kN·m
10.Skersinė jėga ir lenkimo momentasSunkus
Žymės nuo A iki G padalija siją į šešias lygias dalis. Ties kuria žyme lenkimo momentas yra didžiausias dydžiu, įlenkiantis ar išlenkiantis? Spustelėkite ją diagramoje.
40 kN @ 0 m15 kN @ 12 m10 kN @ 8 m6 kN/m, 2–10 m
1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)
11.Svorio centras ir inercijos momentasVidutinis
Raskite tėjinio skerspjūvio inercijos momentą Ix horizontaliosios ašies x, einančios per svorio centrą, atžvilgiu.
bf = 180 mmtf = 25 mmtw = 10 mmhw = 240 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Svorio centras ir inercijos momentasSunkus
150 mm × 300 mm plokštė turi stačiakampį iškirpimą, 60 mm pločio ir 20 mm aukščio, vertikalioje simetrijos ašyje, kurio centras yra 180 mm virš apačios. Raskite ploto inercijos momentą Ix horizontaliosios ašies, einančios per svorio centrą, atžvilgiu.
b = 150 mmh = 300 mmiškirpimas: 60 × 20 mmskylės centras: y = 180 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
3Tirpalai
1.Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandauga
Atsakymas: a·b = 26
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
Sudauginkite atitinkamas komponentes ir sudėkite
a·b = 2·1 + 0·1 + (−6)·(−4) = 2 + 0 + 24 = 26
Atsakymas
a·b = 26
Teigiama: kampas tarp vektorių mažesnis nei 90°.
2.Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandauga
Atsakymas: n̂y = −0,7957
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
Gembės pusiausvyra: įtvirtinimas gali stumti aukštyn ir priešintis posūkiui, todėl jame atsiranda vertikalioji reakcija RA ir reakcijos momentas MA. ΣFy = 0 duoda RA, o momentai sienos atžvilgiu duoda MA = Σ(apkrova × atstumas nuo sienos). Išskirstytoji apkrova veikia kaip jos atstojamoji apkrovos diagramos svorio centre.
Išskirstytosios apkrovos atstojamoji
W = 12·5 = 60 kN, x̄ = 2,5 m
Momentas sienos atžvilgiu
MA = P·a + W·x̄ = 50·2,5 + 60·2,5 = 275 kN·m
Atsakymas
MA = 275 kN·m
4.Sijų atramų reakcijos
Atsakymas: RB = 13,13 kN
Statinė pusiausvyra: rimties būsenos kūnui ΣFx = 0, ΣFy = 0 ir ΣM = 0 bet kurio taško atžvilgiu. Imant momentus vienos atramos atžvilgiu, tos atramos reakcija dingsta iš lygties.
Laisvojo kūno diagrama
Atramas pakeiskite reakcijos jėgomis. Ritininė atrama duoda vieną vertikaliąją reakciją; kai apkrovos tik vertikalios, šarnyrinė atrama taip pat duoda vieną vertikaliąją reakciją.
Pusiausvyra
Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę. Tada vertikaliųjų jėgų pusiausvyra.
Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 5·3 = 15 kN, veikianti taške x̄ = 1,5 m
ΣMA = 0: RB·4 = 10·3 + 5·3·1,5
RB = 52,5/4 = 13,13 kN
ΣFy = 0: RA = 25 − 13,13 = 11,88 kN
Atsakymas
RB = 13,13 kN
5.Santvara: mazgų metodas
Atsakymas: elementas DH
Nulinės jėgos elementai: mazge jėgos turi atsvirti visomis kryptimis. Jei mazgas neturi apkrovos ir atramos, o du iš trijų jo elementų yra vienoje linijoje, tai pusiausvyra skersai tos linijos apima tik trečiąjį elementą, todėl jo jėga lygi nuliui. Jei neapkrautame mazge susitinka tik du elementai ir jie nėra vienoje linijoje, abu yra nulis.
Mazgas D
CD ir DE yra vienoje tiesėje, o mazgas neapkrautas. Subalansavus jėgas skersai tos linijos lieka tik DH.
ΣF⊥ = 0 → FDH = 0
Patikrinkite mazgų metodu
Išsprendus visus mazgus gaunamos šios elementų jėgos (T = tempimas, C = gniuždymas).
Mazgų metodas: kiekvienas santvaros mazgas yra pusiausvyroje, todėl kiekviename mazge ΣFx = 0 ir ΣFy = 0. Pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos. Neigiamas rezultatas reiškia, kad strypas gniuždomas.
Atramų reakcijos
Visos santvaros pusiausvyra. Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę.
ΣMA = 0: Cy·8 = 25·7 + 15·2 → Cy = 25,63 kN
ΣFy = 0: Ay = 25 − 25,63 = −0,625 kN
ΣFx = 0: Ax = −15 kN
Mazgas C
Ritininė atrama duoda tik vertikaliąją reakciją, todėl mazge C yra tik dvi nežinomos strypų jėgos. Tarkite, kad abu tempiami.
sin γ = 2/2,236 = 0,8944, cos γ = 1/2,236 = 0,4472
Rėmai ir mechanizmai: skirtingai nei santvara, rėmas turi bent vieną strypą, kuris apkrautas daugiau nei dviejuose taškuose arba turi apkrovą tarp šarnyrų. Pirmiausia ieškokite dviejų jėgų strypų: strypo, apkrauto tik dviejuose šarnyruose, jėga veikia tiese per juos, todėl jis prideda vieną nežinomąjį, o ne du. Tada atramų reakcijoms naudokite visą konstrukciją, jei nežinomųjų ne daugiau kaip trys. Galiausiai išardykite rėmą: kiekvieną strypą nubraižykite atskirai, su vienodo didumo ir priešingomis šarnyrų jėgomis dviem juos jungiantiems strypams, ir užrašykite jam ΣFx = 0, ΣFy = 0 ir ΣM = 0. Imant momentus šarnyro atžvilgiu, abi to šarnyro jėgos komponentės iš lygties iškrenta.
Dviejų jėgų strypas BC
BC = √(5,1² + 4²) = 6,482 m
Visas rėmas: momentai taško A atžvilgiu
Žemė stumia BC taške C išilgai CB; jos horizontalioji komponentė eina per A, momentą turi tik vertikalioji.
FBC·(4/6,482)·6 = 12·0,675
FBC = 2,188 kN (gniuždymas)
Atsakymas
FBC = 2,188 kN
8.Rėmai ir mechanizmai
Atsakymas: A = 18,03 kN
Rėmai ir mechanizmai: skirtingai nei santvara, rėmas turi bent vieną strypą, kuris apkrautas daugiau nei dviejuose taškuose arba turi apkrovą tarp šarnyrų. Pirmiausia ieškokite dviejų jėgų strypų: strypo, apkrauto tik dviejuose šarnyruose, jėga veikia tiese per juos, todėl jis prideda vieną nežinomąjį, o ne du. Tada atramų reakcijoms naudokite visą konstrukciją, jei nežinomųjų ne daugiau kaip trys. Galiausiai išardykite rėmą: kiekvieną strypą nubraižykite atskirai, su vienodo didumo ir priešingomis šarnyrų jėgomis dviem juos jungiantiems strypams, ir užrašykite jam ΣFx = 0, ΣFy = 0 ir ΣM = 0. Imant momentus šarnyro atžvilgiu, abi to šarnyro jėgos komponentės iš lygties iškrenta.
Lyno įtempimas
T = (2 + 2/2)/0,1644 = 18,25 kN
Komponentės taške A
Ax = T·cos β = 18 kN
Ay = 2 + 2 − T·sin β = 1 kN
Modulis
A = √(18² + 1²) = 18,03 kN
Atsakymas
A = 18,03 kN
9.Skersinė jėga ir lenkimo momentas
Atsakymas: Mmax = 213 kN·m
Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu. Didžiausias momentas: kadangi dM/dx = V, lenkimo momentas didžiausias ten, kur skersinė jėga eina per nulį – sutelktosios jėgos vietoje arba išskirstytosios apkrovos ruože.
Atramų reakcijos
Visos sijos pusiausvyra.
ΣMA = 0: RB·10 = 35·1 + 80·4
RB = 355/10 = 35,5 kN
ΣFy = 0: RA = 115 − 35,5 = 79,5 kN
Momentas po kiekviena apkrova
Palikite dalį kairiau kiekvienos apkrovos.
po P1: M = RA·1 = 79,5·1 = 79,5 kN·m
po P2: M = RB·6 = 35,5·6 = 213 kN·m
Didžiausia reikšmė
Mmax = 213 kN·m (po P2)
Atsakymas
Mmax = 213 kN·m
10.Skersinė jėga ir lenkimo momentas
Atsakymas: B (x = 2 m)
Didžiausias lenkimo momentas: M nuolydis keičiasi ten, kur keičiasi skersinė jėga, todėl jo viršūnės yra ten, kur skersinė jėga kerta nulį: po koncentruota apkrova, paskirstytos apkrovos viduje arba virš gembės atramos. Įtvirtintoje gembės atramoje momentas didžiausias prie sienos. Palyginkite M dydį tose vietose, įlenkiantį ar išlenkiantį.
Atramų reakcijos
Paimkite momentus apie vieną atramą, tada naudokite vertikalių jėgų balansą.
R1 = 72,75 kN, R2 = 40,25 kN
Lenkimo momentas ties kiekviena žyme
Susumuokite visų vienoje pjūvio pusėje esančių jėgų momentus. Įlenkiantis teigiamas, išlenkiantis neigiamas.
MA = 0, MB = −80 kN·m, MC = −26,5, MD = 3, ME = 8,5, MF = −30, MG = 0
Atsakymas
Žymė B: MB = −80 kN·m
11.Svorio centras ir inercijos momentas
Atsakymas: Ix = 39,23 × 10⁶ mm⁴
Sudėtiniai skerspjūviai: padalykite skerspjūvį į stačiakampius. Svorio centras yra plotais svertinis vidurkis ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Inercijos momentas centrinės ašies atžvilgiu sumuoja kiekvienos dalies nuosavą bh³/12 ir Šteinerio narį A·d², kur d – atstumas nuo dalies svorio centro iki bendro svorio centro. Lenkimo įtempis σ = M·y/I.
Padalykite į du stačiakampius
Kiekvieną y matuokite nuo apatinio krašto.
lentyna: Af = 180·25 = 4500 mm², yf = 240 + 25/2 = 252,5 mm
sienelė: Aw = 10·240 = 2400 mm², yw = 240/2 = 120 mm
Pjūviai su skylėmis: skylę traktuokite kaip neigiamą plotą. Svorio centras yra ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), kai A₁, y₁ – pilnos plokštės, o A₂, y₂ – skylės. Ploto inercijos momentui centrinės ašies atžvilgiu kiekvienai daliai taikykite lygiagrečiųjų ašių (Šteinerio) teoremą ir skylę atimkite: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), kur d yra atstumas nuo kiekvienos dalies savojo svorio centro iki ašies, einančios per ȳ. Stačiakampio Ic = bh³/12, o skritulio Ic = πd⁴/64.
Svorio centras
ȳ = (45000·150 − 1200·180)/(45000 − 1200) = 149,2 mm